资源简介

23.1图形的旋转
【题型1】旋转的有关概念 3
【题型2】图形旋转的性质 4
【题型3】几何图形变换 6
【题型4】平面直角坐标系中的旋转 7
【知识点1】生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 1.（2023秋 琼中县期末）图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A．B．C．D．
【知识点2】旋转的性质 （1）旋转的性质：
______　　①对应点到旋转中心的距离相等．______　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．______　　③旋转前、后的图形全等．______（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．______　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 1.（2025 信都区二模）如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，则这个点是（　　） A．M点B．Q点C．P点D．N点
【知识点3】旋转对称图形 （1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 1.（2023春 遂平县期末）下列说法正确的是（　　） A．正八边形和正方形的组合不能铺满地面B．五角星是旋转对称图形，绕着它的中心至少旋转36°能与自身重合C．三条线段长度分别为2cm,4cm,6cm,则这三条线段可以组成一个三角形D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
2.（2023 海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45B．60C．72D．144
【知识点4】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2024 威远县校级模拟）在直角坐标系中，点（5，4）绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标是（　　） A．（4，5）B．（-4，5）C．（5，4）D．（-5，4）
【题型1】旋转的有关概念
【典型例题】下列四个图形中，最贴近“将线段AB绕其端点B顺时针旋转”这个描述的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列现象属于旋转的有 　 　.（填序号）
【举一反三4】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度．
【举一反三5】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒肘，求∠COQ的度数；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，求t的值．
【题型2】图形旋转的性质
【典型例题】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，当点C，B′，C′三点共线时，AB′交DC于点E，则DE的长度是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上，则旋转角的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【举一反三2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转的度数不超过180°）．若二块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是　 　．
【举一反三3】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AB',连接B'C,则△AB'C的面积为　　　　.
【举一反三4】如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【题型3】几何图形变换
【典型例题】把汉字“目”绕其中心旋转90°后，所得图形与汉字（ ）相似．
A.月 B.曰 C.回 D.四
【举一反三1】要使正八边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心顺时针旋转（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，这个图案绕它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 　 　（写出一个即可）．
【举一反三3】能否能过平移、轴对称和旋转，由△ABC得到△DEC？
【题型4】平面直角坐标系中的旋转
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（　　）
A. B. C.（1，0） D.（0，1）
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OA1B1的斜边OA1＝4，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将RtΔOA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，…；依此规律继续旋转，得到RtΔOA2024B2024，则点B2024的坐标为（　　）
A.（2，﹣2） B. C. D.（0，2）
【举一反三2】如图，点在轴上，，，，将饶点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为　 　．
【举一反三4】如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上．
（1）求点P的坐标；
（2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．23.1图形的旋转
【题型1】旋转的有关概念 5
【题型2】图形旋转的性质 8
【题型3】几何图形变换 13
【题型4】平面直角坐标系中的旋转 14
【知识点1】生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 1.（2023秋 琼中县期末）图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据旋转的定义进行判断即可． 【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意．
故选：B． 【知识点2】旋转的性质 （1）旋转的性质：
______　　①对应点到旋转中心的距离相等．______　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．______　　③旋转前、后的图形全等．______（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．______　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 1.（2025 信都区二模）如图，将线段AB绕一个点顺时针旋转90°得到线段CD，则这个点是（　　） A．M点B．Q点C．P点D．N点
【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得答案． 【解答】解：根据旋转的性质可得，旋转中心在BD和AC的垂直平分线上，
∴旋转中心是点M，
故选：A． 【知识点3】旋转对称图形 （1）旋转对称图形
如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 1.（2023春 遂平县期末）下列说法正确的是（　　） A．正八边形和正方形的组合不能铺满地面B．五角星是旋转对称图形，绕着它的中心至少旋转36°能与自身重合C．三条线段长度分别为2cm,4cm,6cm,则这三条线段可以组成一个三角形D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
【答案】D 【分析】根据平面镶嵌、旋转的性质、三角形的三边关系、直角三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：A、∵正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，
∴135°×2+90°=360°，
∴正八边形和正方形的组合能铺满地面，故不符合题意；
B、五角星被平分成五部分，因而每部分被分成的中心角是72°，因而最少旋转72度，就可以与自身重合，故不符合题意；
C、∵2+4=6，
∴长为2cm、4cm、6cm的线段，首尾相连不可以围成一个三角形；故不符合题意；
D、设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30°，
则2x=60°，3x=90°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故符合题意；
故选：D． 2.（2023 海安市模拟）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　） A．45B．60C．72D．144
【答案】C 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C． 【知识点4】坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（-x，-y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 1.（2024 威远县校级模拟）在直角坐标系中，点（5，4）绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标是（　　） A．（4，5）B．（-4，5）C．（5，4）D．（-5，4）
【答案】B 【分析】把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题． 【解答】解：过A点作AD⊥x轴，过B点作BE⊥y轴，垂足分别为D、E，

∵点A的坐标为（5，4），
∴AD=4，OD=5，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOE+∠AOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠BOE，
∵OA=OB，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴OE=OD=5，BE=AD=4，
∴点B的坐标为（-4，5）．
故选：B．
【题型1】旋转的有关概念
【典型例题】下列四个图形中，最贴近“将线段AB绕其端点B顺时针旋转”这个描述的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、该图形是由线段AB绕其端点B逆时针旋转得到，不合题意；
B、该图形是由线段AB绕其端点B顺时针旋转得到，符合题意；
C、该图形是由射线AB绕其端点B逆时针旋转得到，不合题意；
D、该图形是由射线AB绕其端点B顺时针旋转得到，不合题意；
故选：B．
【举一反三1】下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意；
B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意；
C、正五边形的最小旋转角度为＝72°，故本选项符合题意；
D、正六边形的最小旋转角度为＝60°，故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、最小旋转角度＝＝120°；
B、最小旋转角度＝＝90°；
C、最小旋转角度＝＝72°；
D、最小旋转角度＝＝60°；
故选：D．
【举一反三3】下列现象属于旋转的有 　 　.（填序号）
【答案】①②③
【解析】解：①转动的陀螺属于旋转现象；
②飞行中的直升飞机螺旋桨属于旋转现象；
③运动中的龙卷风属于旋转现象；
④流水线上的电视机属于平移现象．
故答案为：①②③．
【举一反三4】如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　度．
【答案】60
【解析】解：图形可看作由一个基本图形旋转6次所组成，故最小旋转角为＝60°．
故答案为：60．
【举一反三5】如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上．将图①中的三角尺绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中：
（1）当旋转6秒肘，求∠COQ的度数；
（2）第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，求t的值．
【答案】解：（1）当旋转6秒肘，∠AOP＝6×10°＝60°，
∵∠AOP+∠BOQ＝90°，
∴∠BOQ＝30°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠COQ＝∠BOC+∠BOQ，
＝60°+30°
＝90°；
（2）∵∠BOC＝60°且OQ所在直线恰好平分∠BOC，
∴∠BOQ＝∠BOC＝30°或∠BOQ＝180°+30°＝210°，
∴10t＝30+90或10t＝90+210，
解得t＝12或30．
【题型2】图形旋转的性质
【典型例题】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，当点C，B′，C′三点共线时，AB′交DC于点E，则DE的长度是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：如图，连接AC，AC′，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝AD＝3，AD＝AB＝4，
由旋转可知，BC＝B′C′＝3，AC＝AC′，∠ABC＝∠AB′C′＝90°，AB′＝AB＝4，
∴△ACC′是等腰三角形，且AB′⊥CC′，
∴B′C＝B′C′＝3，
∴AD＝B′C＝3，
在△ADE和△CB′E中，
，
∴△ADE≌△CB′E（AAS），
∴AE＝CE，DE＝B′E，
设AE＝x，则B′E＝4﹣x＝DE，
在Rt△ADE中，DE2+AD2＝AE2，
∴（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝，
∴DE＝4﹣x＝．
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上，则旋转角的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【答案】C
【解析】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝65°，
∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△DEC，且点A在边DE上，
∴CA＝CE，∠E＝∠BAC＝65°，∠ACE等于旋转角，
∴∠CAE＝∠E＝65°，
∴∠ACE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
即旋转角的度数为50°．
故选：C．
【举一反三2】小明把一副三角板按如图所示叠放在一起，固定三角板ABC，将另一块三角板DEF绕公共顶点B顺时针旋转（旋转的度数不超过180°）．若二块三角板有一边平行，则三角板DEF旋转的度数可能是　 　．
【答案】15°或45°或90°或135°
【解析】设旋转的度数为α，分四种情况：
若DE∥AB，则∠E＝∠ABE＝90°，
∴α＝90°﹣30°﹣45°＝15°，
若BE∥AC，则∠ABE＝180°﹣∠A＝120°，
∴α＝120°﹣30°﹣45°＝45°，
若BD∥AC，则∠ACB＝∠CBD＝90°，∴α＝90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴AC∥DE，∴α＝180°﹣45°＝135°．
【举一反三3】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AB',连接B'C,则△AB'C的面积为　　　　.
【答案】8
【解析】如图,作B'H⊥AC于H,∴∠AHB'=90°,∴∠HAB'+∠HB'A=90°.
由题可知,∠BAC+∠HAB'=∠BAB'=90°,∴∠HB'A=∠BAC.
又∵∠ACB=∠AHB',AB=AB',∴△ACB≌△B'HA,∴AC=B'H.
∵∠ACB=90°,AB=5,BC=3,∴AC==4,
∴B'H=AC=4,∴S△AB'C=×4×4=8.
【举一反三4】如图，△ABD和△AEC都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【答案】解：BE=DC．理由：
∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°．
∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°．
∴∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=DC．
方法二、∵AD=AB，AE=AC，∠DAC=∠BAE，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转到△ADC位置，
∴BE=CD．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
【答案】解：（1）由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）.
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，
由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，
∵AD＝BF，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝67.5°.
【题型3】几何图形变换
【典型例题】把汉字“目”绕其中心旋转90°后，所得图形与汉字（ ）相似．
A.月 B.曰 C.回 D.四
【答案】D
【解析】把汉字“目”绕其中心旋转90°后，观察图形，可知，它与汉字四相似．
故答案为：D．
【举一反三1】要使正八边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心顺时针旋转（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】÷8=.
【举一反三2】如图所示，这个图案绕它的中心旋转α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则α可以为 　 　（写出一个即可）．
【答案】90°（答案不唯一）
【解析】解：图形看作正方形，
而正方形的中心角为90°，
所以此图案绕旋转中心旋转90°的整数倍时能够与自身重合，
故α可以为90°（答案不唯一）（写出一个即可）．
故答案为：90°（答案不唯一）．
【举一反三3】能否能过平移、轴对称和旋转，由△ABC得到△DEC？
【答案】解：第一个图：△ABC绕C点顺时针旋转90°得△DEC；
第二个图：△ABC绕C点顺时针旋转90°，再沿BC折叠得△DEC．
【题型4】平面直角坐标系中的旋转
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转 45° 后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形OA2024B2024C2024，那么点A2024的坐标是（　　）
A. B. C.（1，0） D.（0，1）
【答案】D
【解析】解：由题知，
因为360°÷45°＝8，
所以每旋转八次点A的对应点重复出现．
因为2024÷8＝253，
所以点A2024的坐标与点A8的坐标相同．
又因为点A8与点A重合，且点A的坐标为（0，1），
所以点A2024的坐标为（0，1）．
故选：D．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OA1B1的斜边OA1＝4，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将RtΔOA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，…；依此规律继续旋转，得到RtΔOA2024B2024，则点B2024的坐标为（　　）
A.（2，﹣2） B. C. D.（0，2）
【答案】C
【解析】解：由所给旋转方式可知，
360°÷45°＝8，
∴每旋转八次，点Bi（i为正整数）的位置便循环一次．
又∵2024÷8＝253，
∴点B2024的坐标与点B8的坐标相同．
又∵点B8在x轴的正半轴上，且，
∴点B8的坐标为（），
即点B2024的坐标为（）．
故选：C．
【举一反三2】如图，点在轴上，，，，将饶点按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，∴，∴=，∴与A关于x轴对称，∵OB=OA=2，AB==，∴A（2，），∴.
【举一反三3】以原点为中心，把点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，则点N的坐标为　 　．
【答案】（﹣4，3）
【解析】如图，∵点M （3，4）逆时针旋转90°得到点N，
则点N的坐标为（﹣4，3）．
【举一反三4】如图，已知点P（3m﹣1，6m﹣7）在第一象限的平分线OC上，且AP⊥BP，点A在x轴上，点B在y轴上．
（1）求点P的坐标；
（2）当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
【答案】解：（1）∵点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线 OC上，
∴3m﹣1＝6m﹣7，
∴m＝2，
∴P（5，5）；
（2）不变．
过点P作 PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝5，
∴∠MPB＝∠NPA．
在△PMB和△PNA中，
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM＝AN，
∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝10．

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