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《等比数列前n项和》教学设计
一、教材分析
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学》（北师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学情分析
从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是高二的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。
三、教学目标
(1)理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。
(2)培养学生观察、思考和解决问题的能力;加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。
(3)培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质;以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
四、教学重难点
1、教学重点:公式的推导和公式的运用
2、教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
3、教学方法:
在教学中，我采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段(利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率。
五、教学过程
学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程:
复习回顾
1、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？
2、（提问）等差数列前n项和公式是什么？
（二）创设情境，提出问题
古印度国王舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——达依尔。国王问他想要什么，发明者说：“请在第一个格子里放1粒麦子，在第二个格子里放2粒麦子，在第三个格子里放4粒麦子，在第四个格子里放8粒麦子，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求”。国王觉得太容易了，就同意了他的要求。
设计意图:设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
此时我问:同学们，你们知道需要的是多少粒小麦吗,引导学生写出麦粒总数 1+2+…+ ,从国王赏麦问题提炼出求首项为1，公比为2的等比数列的前64项和.(带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和，这时我对他们的这种思路给予肯定）
设计意图:在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律:
求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。
（三）师生互动，探究问题
在肯定他们的思路后，我接着问:1，2，， ，,是什么数列,有何特征,应归结为什么数学问题呢,
教师紧接着如何求？的问题
①若用公比2乘以上面等式的两边，得到
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
这就是一个等比数列前n项求和的问题，那么一个首项为，公比为q的等比数列,如何求前n项和Sn,
（四）引导学生用“特殊到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提出问题:如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法推导）
学生：
（1）-（2）有
在学生推导完成后，我再问:由(1-q)Sn=-得Sn=(-)/(1-q)
对不对,这里的q能不能等于1,等比数列中的公比能不能为1,q=1时是什么数列,此时Sn=,(这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础
再次追问:结合等比数列的通项公式=,如何把Sn 用，，q，表示出来,(引导学生得出公式的另一形式)
设计意图:通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。
（五）新知应用
1． 在公比为q的等比数列中
(1)若，则________；
（2）若，则________；
（3）若，则________；
2．判断正误：
（2)
（3)
（1）
例1、求等比数列的前8项的和．
变式1：求等比数列的第6项到第10项的和．
例2、求数列的前n项和。
变式2：求的值
设计意图:采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成，通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。
（六）故事结束，首尾呼应
最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺
设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维
（七）课后作业，分层练习
设计意图:作业分为两种形式，体现作业的巩固性和发展性原则。阅读作业中的问题思考是后续课堂的铺垫，而弹性作业不作统一要求，供学有余力的学生课后研究。同时，它也是新课标里研究性学习的一部分。
（八）课堂小结
以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面将等差与等比数列求和类比进行总结
等差数列 等比数列
求和公式
推导方法
公式应用
设计意图:以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力，对等差与等比类比，加深学生记忆。
六、教学反思
(1)以故事引入，设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性，且故事内容紧扣本节课的主题与重点。
(2)练习题和例题的选择对重难点的突破起到关键性的作用。精心挑选，紧扣重难点(运用公式时对n和q的判定)、层层深入且又符合学生的认知规律。例题中让学生进一步认识到, ,q,n,Sn五个量中“知三求二”，从中又渗透了方程思想。
(3)对求和公式的推导还算流畅，学生基本上能够跟上思路，并对“错位相减法”有一定的了解，期间让学生去发现公比为1和公比不为1的情况，让学生自己去体会运用公式时应注意的前提条件。
(4)板书设计方面较能够突出重点，分块清楚。
(5)教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法,学生在教师预设的思路中，一步步发现了公式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

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