资源简介

26.1反比例函数
【题型1】实际问题中的反比例关系 5
【题型2】反比例与正比例 6
【题型3】反比例函数的判定 9
【题型4】反比例函数定义的有关计算 12
【题型5】求反比例函数值 12
【题型6】由反比例函数值求自变量 14
【题型7】反比例函数图象经过的象限 15
【题型8】反比例函数与一次函数的图象 17
【题型9】反比例函数与二次函数的图象 20
【题型10】函数图象的综合应用 26
【题型11】反比例函数图象的增减性 28
【题型12】求反比例函数的变量范围 31
【题型13】反比例函数k值的确定 32
【题型14】用待定系数法求反比例函数的解析式 34
【题型15】待定系数法及反比例函数的性质 36
【题型16】验证点在反比例函数图象上 38
【题型17】反比例函数图象上点的函数值大小比较 40
【题型18】反比例函数性质的应用 42
【题型19】反比例函数与其它函数的性质应用 45
【题型20】反比例函数系数k的几何意义 48
【题型21】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 51
【题型22】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 53
【题型23】反比例函数与一次函数的交点问题 56
【知识点1】反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念
形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）． 1.（2024秋 惠城区期末）下列函数：①y=2x,②，③xy=-2，④，⑤．其中反比例函数有（　　） A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义即可作答． 【解答】解：①是正比例函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③是反比例函数；
④y是x+1反比例函数；
⑤y-3是x反比例函数；
所以反比例函数有2个．
故选：C． 【知识点2】反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 1.（2023秋 陕州区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数的图象大致是（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】对k进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【解答】解：当k＞0时，-k＜0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，故C，D错误；
当k＜0时，-k＞0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确；
故选：A． 2.（2025 钢城区一模）函数与y=kx-k（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】分当k＞0时，当k＜0时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【解答】解：当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，函数y=kx-k在第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，函数y=kx-k在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：D． 【知识点3】反比例函数的性质 反比例函数的性质
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 1.（2024秋 白银期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞4B．k≥4C．k＜4D．k＞0
【答案】A 【分析】由题意得，反比例函数经过一、三象限，则k-4＞0，求出k的取值范围即可． 【解答】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限，
则k-4＞0，
解得：k＞4．
故选：A．
【题型1】实际问题中的反比例关系
【典型例题】下列两个变量之间的关系，是反比例函数关系的是（ ）
A.直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系
B.面积为16的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系
C.等腰三角形的顶角与底角之间的关系
D.圆的面积S与它的直径d之间的关系
【答案】B
【解析】A、在直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系是：y＝x，是正比例函数关系，故本选项错误；
B.因为菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，所以，所以，
是反比例函数关系，故本选项正确；
C.在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系是：y＝180 2x，是一次函数关系，故本选项错误；
D. 圆的面积S与它的直径d之间的关系是：S＝π×（d）2＝πd2，是二次函数关系，故本选项错误；
故选B.
【举一反三1】下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h；
③面积为定值的矩形的长与宽；
④圆的周长与它的半径．
A.①④ B.①③ C.②③ D.②④
【答案】C
【解析】①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h是成正比例关系，故不符合题意；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h是反比例函数关系；故符合题意；
③面积为定值的矩形的长与宽；是反比例函数关系；故符合题意；
④圆的周长与它的半径，是成正比例关系，故不符合题意．
所以符合题意的是②③.
故选：C．
【举一反三2】下列各问题情景中均包含一对变量，试判断哪对变量是成反比例的(　　)
A.圆的周长l和圆的半径r
B.在压力不变的情况下，压强P和支承面的面积S
C.y＝＋1中，y与x的关系
D.龙游三中的男生人数a和女生人数b
【答案】B
【解析】A．l＝2πr，是正比例函数，不符合题意；
B．P＝(F为定值)是反比例函数，符合题意；
C．不符合反比例关系的定义，不符合题意；
D．不存在任何比例关系，不符合题意；
故选B.
【举一反三3】三角形的面积一定，它的底和高成______比例．
【答案】反
【解析】设三角形的底为a，高为h，则S＝12ah，a＝2Sh，∵S≠0，∴a、h成反比例．
【举一反三4】写出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1500t，该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为6.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式.
【答案】解：（1）由题意，得是反比例函数；
（2）由单价乘以加油量等于总价，得，是正比例函数，不是反比例函数.
【题型2】反比例与正比例
【典型例题】下列命题错误的是(　　)
A.如果y与x成反比例关系，那么x也与y成反比例关系
B.如果y与z成反比例关系，z与x成正比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系
C.如果y与z成正比例关系，z与x成反比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系
D.如果y与z成反比例关系，z与x成反比例关系，那么y与x成反比例关系
【答案】D
【解析】A．如果y与x成反比例关系，那么x也与y成反比例关系，说法正确，故本选项正确；
B．如果y与z成反比例关系，z与x成正比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系，说法正确，故本选项正确；
C．如果y与z成正比例关系，z与x成反比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系，说法正确，故本选项正确；
D．如果y与z成反比例关系，z与x成反比例关系，那么y不一定与x成反比例关系，原说法错误，故本选项错误．
故选D.
【举一反三1】在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）
A.反比例函数 B.正比例函数 C.二次函数 D.以上答案都不对
【答案】B
【解析】油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，（为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【举一反三2】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【答案】C
【解析】A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；
B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意；
C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；
D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【举一反三3】已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5. y与x之间的函数关系式______，当x＝4时，求y＝________.
【答案】y＝2x＋
【解析】y1与x成正比例，则可以设y1＝mx，y2与x成反比例，则可以设y2＝，因而y与x的函数关系式是y＝mx＋，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5.就可以得到方程组：m+n=4,2m+=5,解得m=2,n=2,因而y与x之间的函数关系式y＝y1＋y2＝2x＋，当x＝4时，代入得到y＝.
【举一反三4】下列各问题情境中，哪些量成正比例，哪些量成反比例？
(1)在压力不变的情况下，压强p与支承面的面积S．
(2)在利息不变的条件下，本金a与利率r．
(3)在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U．
【答案】解：（1）因为（F表示压力），所以，
因为压力不变，所以压强与面积的乘积为定值，压强p与支承面的面积S成反比例；
（2）因为利息=本金×利率，所以在利息不变的情况下，本金a与利率r的乘积为定值，
所以本金a与利率r成反比例；
（3）因为，所以，U=I·R
所以在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U成正比例．
【举一反三5】已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝3，求y与x的函数关系式．
【答案】解 由题意，得y1＝k1(x＋1)，y2＝，
∵y＝2y1－y2，∴y＝2k1(x＋1)－，
∴4=4k1-k2，3=6k1-，解得k1=，k2=-3，
∴y＝(x＋1)－，即y＝x＋＋.
【题型3】反比例函数的判定
【典型例题】若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（　　）
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.其他函数
【答案】B
【解析】，，，
圆柱的高h与圆柱的底面半径r之间的函数关系是反比例函数，
故选B．
【举一反三1】下列式子中表示y是x的反比例函数的是( )
A. B.y= C.y= D.y=
【答案】D
【解析】A.，y是x的一次函数，故不符合题意；
B. y=，y是x的正比例函数，故不符合题意；
C.，y是x 的反比例函数，故不符合题意；
D. y=，y是x的反比例函数，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】下列函数中是反比例函数关系的是(　　)
A.当速度v＝100 km/h时，路程S(km)与时间T(h)的函数
B.等边三角形面积S与边长a之间的关系
C.菱形面积一定时，两条对角线a、b之间的关系
D.当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系
【答案】C
【解析】A.当速度v＝100 km/h时，路程S(km)与时间T(h)的函数关系式为S＝100T，不是反比例函数，故本选项错误；
B．等边三角形面积S与边长a之间的关系为S＝a2，不是反比例函数，故本选项错误；C．菱形面积一定时，设为S，则两条对角线a、b之间的关系为：a＝，是反比例函数，故本选项正确；
D．当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系为H＝，不是反比例函数，故本选项错误．
故选C.
【举一反三3】小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x成______比例函数，表达式为________．
【答案】反 y＝
【解析】根据反比例关系和需要的天数等于总页数除以平均每天看的页数解答．∵总页数300一定，∴所需的天数y与平均每天看的页数x成反比例函数，表达式为y＝.
【举一反三4】在匀速直线运动中，当路程s一定时，用时间t来表示速度v的式子是______，这时v是t的________函数．
【答案】v＝ 反比例
【解析】根据等量关系“路程＝速度×时间”写出函数表达式，然后再根据函数的定义判断它们的关系．根据题意，v＝(s一定)，所以速度v与时间t之间的函数关系是反比例函数．故答案为v＝，反比例．
【举一反三5】如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y是x的反比例函数吗？请说明理由．
【答案】解 如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y是x的正比例函数．理由如下：∵y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，∴设y＝，z＝(其中m，n是常数，且不等于0)，∴y＝==x，即y＝x，所以y是x的正比例函数．
【举一反三6】下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)xy＝6；
(4)3x＋y＝0；
(5)x－2y＝1；
(6)3xy＋2＝0.
【答案】解 (1)y＝不是反比例函数．
(2)∵y＝，∴xy＝.∴y＝，是反比例函数．
(3)∵xy＝6，∴y＝，是反比例函数．
(4)∵3x＋y＝0，∴y＝－3x，不是反比例函数．
(5)∵x－2y＝1，∴2y＝x－1.∴y＝，不是反比例函数．
(6)∵＋2＝0，∴xy＝－.∴y＝-，是反比例函数．
【题型4】反比例函数定义的有关计算
【典型例题】函数是反比例函数，则的值是（　　）
A.－1 B.－2 C.2 D.2或－2
【答案】B
【解析】因为函数是反比例函数，所以且a-2≠0，
所以a=-2.
故选B.
【举一反三1】函数y＝(m2－m)是反比例函数，则(　　)
A.m≠0 B.m≠0且m≠1 C.m＝2 D.m＝1或2
【答案】C
【解析】由题意知，m2－3m＋1＝－1，整理得 m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，m2－m＝0，不合题意，应舍去．∴m的值为2.故选C.
【举一反三2】函数y＝3xm+1，当m＝____________时y是x反比例函数．
【答案】－2
【解析】∵y＝3xm+1是反比例函数，∴m＋1＝－1，解得m＝－2.故答案为－2.
【举一反三3】当k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数？
【答案】解 ∵函数y＝(k2＋k)是反比例函数，
∴= -1且，
解得k＝2.
故k为2时，y＝(k2＋k)是反比例函数．
【题型5】求反比例函数值
【典型例题】在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（ ）
A. B. C.1 D.－1
【答案】A
【解析】中，当x＝1时，．
故选A.
【举一反三1】在反比例函数中，当时，y的值为（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入得：，
故选：B．
【举一反三2】已知函数，当x＝﹣2时，y的值是 ．
【答案】-3
【解析】当x＝﹣2时，则.
故答案为：-3.
【举一反三3】已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
【答案】解：（1）∵y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，
设y1=a(x+1)(a≠0)，y2=(b≠0)．
因为y=y1+y2，所以y=a(x+1)+，
把(0，﹣5)，(2，﹣7)代入得：，
解得：，∴y=﹣2(x+1)﹣，
答：y与x的函数关系式是y=﹣2(x+1)﹣．
（2）当x=5时，y=﹣2(x+1)﹣=﹣2×(5+1)﹣=﹣12，
即当x=5时，y的值是﹣12．
【题型6】由反比例函数值求自变量
【典型例题】函数中，自变量的取值范围是（　　）
A.x≠0 B.x≠1 C.x>1 D.x≥1
【答案】B
【解析】根据题意得：x-1≠0，解得x≠1，
故选B.
【举一反三1】按如图所示的运算程序，能使输出y值为3的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当为偶数时，，令，可得，即=4，4是偶数，符合；
当为奇数时，，令，可得，即=2，2不是奇数，不符合．
故选D．
【举一反三2】已知与成反比例，当时，．那么当时，的值为（ ）
A.4 B. C.3 D.
【答案】C
【解析】设，把，代入得，
所以该反比例函数为，
把y=4代入，得，解得x=3
故选：C．
【举一反三3】函数中自变量的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数中，自变量x的取值范围是．
【举一反三4】反比例函数y =(a－3)x|a|-4的函数值为4时，自变量x的值是 ．
【答案】-
【解析】因为函数y =(a－3)x|a|-4是反比例函数，所以，
所以a=-3，反比例函数的解析式为：y=，
当y=4时，x =，
故答案为：．
【举一反三5】已知y与x的函数解析式是y＝.
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【答案】解：（1）当x＝4时，函数y＝；
（2）当y＝﹣2时，则﹣2＝， 解得x＝5．
【举一反三6】已知一个反比例函数y=-．当y=-3时，求自变量x的值.
【答案】解：函数的解析式为，
当时，，．
【题型7】反比例函数图象经过的象限
【典型例题】表示的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以该函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，
故选B．
【举一反三1】如图，双曲线y＝－的一个分支为(　　)
A.① B.② C.③ D.④
【答案】A
【解析】A.反比例函数进过点(－3,4)，代入函数解析式得k＝－12，故选项正确；
B．反比例函数进过点(－3,2)，代入函数解析式得k＝－6，故选项错误；
C．反比例函数进过点(1,4)，代入函数解析式得k＝4，故选项错误；
D．反比例函数进过点(2,4)，代入函数解析式得k＝8，故选项错误．
故选A.
【举一反三2】函数y＝－的图象的两个分支分布在第__________象限．
【答案】二、四
【解析】∵k＝－2＜0，∴函数y＝－的图象的两个分支分布在第二、四象限．故答案是二、四．
【举一反三3】已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【答案】解：（1）把，代入得，， 解得；
（2）由（1）知反比例函数的解析式为，
所以当时，，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
【题型8】反比例函数与一次函数的图象
【典型例题】一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，所以，，
所以，反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，，
∴，反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象不符，故不合题意；
、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，，
∴，反比例函数图象经过二、四象限，与选项图象相符，故符合题意；
、∵一次函数图象经过第二、三、四象限，∴，，
∴，反比例函数图象经过一、三象限，与选项图象不符，故不合题意；
故选：．
【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A选项，依图得一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图象应在一、三象限，与图象不符，A选项错误；
B选项，依图得一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图象应在一、三象限，与图象不符，B选项错误；
C选项，依图得一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图象应在二、四象限，与图象相符，C选项正确；
D选项，依图得一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图象应在二、四象限，与图象不符，D选项错误．
故选：C．
【举一反三2】已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、因为函数的图象经过，故A、B不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两结论矛盾，故C不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三3】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第 象限．
【答案】三
【解析】将（2，﹣）代入y＝得﹣＝，解得k＝-3，
∴一次函数解析式为y＝-3x+3，直线经过第一、二、四象限，
故答案为：三．
【举一反三4】若双曲线在第二、四象限，则直线y=kx-2不经过第 象限．
【答案】一
【解析】因为双曲线在第二、四象限，所以k<0，
所以直线y=kx-2经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：一．
【举一反三5】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内， 画出这两个函数的图象．

【答案】解：把代入得到：，∴交点为，
把代入得：，∴，
函数图象如图：
【举一反三6】在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，利用这两个图象回答：取什么值时，比大
【答案】解：直线经过点和，
根据函数图象可得，当或，时，比大．
【题型9】反比例函数与二次函数的图象
【典型例题】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；
B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；
D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
故选：C.
【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵的图象如图所示，
∴，∴的图象开口向上，
∴对称轴，
故选A．
【举一反三2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分两种情况讨论：
①当k＞0时，反比例函数y=(k≠0)在一、三象限，而二次函数y=-x2-k开口向下，与y轴交点在原点下方，都不符．
②当k＜0时，反比例函数y=(k≠0)在二、四象限，而二次函数y=-x2-k开口向下，与y轴交点在原点上方，B符合．
故在同一平面直角坐标系中的图象大致是B．
故选：B．
【举一反三3】某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设虚线为（显然，），
由图中可知，当时，，所以，
当时，，所以，可得在m的左右两侧时，
符号是不同的，即；
当时，，而，所以显然另外一条分割线为，
故选：B．
【举一反三4】已知函数的图象与的图象交于点，点的纵坐标1，则关于的方程的解为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
【答案】D
【解析】∵Q的纵坐标为1，∴，∴x=6，
∵化为关于x的方程，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=6．
故选D．
【举一反三5】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
【答案】(，0)
【解析】作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y=的图象相交于点B，
且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴，解得，∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2，
∴点A的坐标为（2,2），∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n，
∴，∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）.
【举一反三6】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限．
【答案】二
【解析】根据题意得，2﹣2k＞0，∴2k﹣2＜0.
∴反比例函数的图象位于第二、四象限.
∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为（0，2﹣2k）在y轴正半轴，
∴抛物线的图象不经过第四象限.
∴双曲线与抛物线的交点在第二象限.
【举一反三7】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
【答案】(，0)
【解析】作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y=的图象相交于点B，
且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴，解得，∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2，
∴点A的坐标为（2,2），∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n，
∴，∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=,
故答案为（）.
【题型10】函数图象的综合应用
【典型例题】一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】观察函数图象可知，a＜0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，对称轴x＝－＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选A.
【举一反三1】已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y＝ax＋b(a≠0)与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0；∵抛物线对称轴大于0，即－b2a＞0，∴ab＜0，∴b＜0；∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0.当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax＋b的图象过第一、三、四象限；当c＜0时，反比例函数图象在第二、四象限．故选C.
【举一反三2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下可知，a＜0，对称轴位于y轴左侧，a、b同号，即b＜0.图象经过y轴正半可知，c＞0，由a＜0，b<0可知，直线y＝ax－2b经过一、二、四象限，由c＞0可知，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，故选C.
【举一反三3】已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c和二次函数y＝cx2+bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵反比例函数的图象在一、三象限，∴b＞0，
A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴c＞0，b＜0，a＜0，一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴，
∴c＜0， b＞0，a＞0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，B正确；
C．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴c＜0，b＞0，a＜0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，C错误；
D．∵二次函数图象开口向上，对称轴为y轴，
∴a＞0，b=0，这与反比例函数的b＞0矛盾，D错误，
故选：B.
【举一反三4】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由二次函数图象可知，a＞0，c＞0，由对称轴x＝－＞0可知，b＜0，当x＝1时，a＋b＋c＜0，即b＋c＜0，所以正比例函数y＝(b＋c)x经过二四象限；∵b＜0，∴-b＞0∴a-b＋c>0，反比例函数y＝图象经过一三象限，故选C.
【题型11】反比例函数图象的增减性
【典型例题】下列关于反比例函数的叙述，不正确的是（ ）
A.反比例函数y=的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合
B.反比例函数y=的图象既不与x轴相交，也不与y轴相交
C.反比例函数y=的图象关于直线成轴对称
D.反比例函数y=，当k＞0时，y随x的增大而减少
【答案】C
【解析】A，反比例函数y=的图象关于坐标原点成中心对称，选项A正确；
B，反比例函数y=中，x和y都不等于0，所以图象既不与x轴相交，也不与y轴相交，B正确；
C， 反比例函数y=的图象关于直线或y=x成轴对称，选项C错误；
D，根据反比例函数的性质可得反比例函数y=，当k＞0时，y随x的增大而减少，
D正确．
故答案选C．
【举一反三1】反比例函数y＝－(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(　　)
A.增大 B.减小 C.不变 D.先增大后减小
【答案】A
【解析】此题可根据反比例函数的图象及性质作答．由图象可得随着x值的增大，y值也在增大．故选A.
【举一反三2】函数y＝是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m等于(　　)
A.1 B.－1 C.±1 D.±3
【答案】A
【解析】根据反比例函数的定义列出方程求解，再根据它的性质决定解的取舍．根据题意，得m2-2=-1，2m-1>0，解得m＝1.故选A.
【举一反三3】已知反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式__________．
【答案】y＝－(答案不唯一)
【解析】∵反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0.故答案为y＝－.
【举一反三4】已知一个反比例函数y＝－，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)．
【答案】增大
【解析】反比例函数y＝－中，k＝－3＜0，故每个象限内，y随x增大而增大．故答案为增大．
【举一反三5】已知：反比例函数的图象经过．
(1)求k的值；
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，-4），∴代入得：k=-4×2=-8；
（2）∵反比例函数的解析式为， k=-8＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；
函数图象为：
【题型12】求反比例函数的变量范围
【典型例题】已知函数y＝－，当x≥－1时，y的取值范围是(　　)
A.y≥1 B.y≤1 C.y≥1或y＜0 D.y≤1或y＞0
【答案】C
【解析】∵函数y＝－中k＝－1＜0，∴在每个象限内y随着x的增大而增大，∵当x＝－1时，y＝1，∴当－1≤x＜0时，y≥1，当x＞0时，y＜0，即y≥1或y＜0，故选C.
【举一反三1】已知反比例函数，则当时，的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵反比例函数中，∴当时，y随x的增大而减小，
当时，，当时，，
∴当时，，
故选：B．
【举一反三2】已知函数y＝－，当自变量的取值为－1＜x＜0或x≥2，函数值y的取值范围是______．
【答案】y＞1或－≤y＜0
【解析】当x＝－1时，y＝1，当x＝2时，y＝－，由图象，得当－1＜x＜0时，y＞1，当x≥2时，－≤y＜0，故答案为y＞1或－≤y＜0.
【举一反三3】已知反比例函数，若，求的取值范围．
【答案】解：，∵，∴y随x的增大而增大，
当时，；当时，，
故当时，的取值范围为.
【题型13】反比例函数k值的确定
【典型例题】如图，图象对应的函数表达式为(　　)
A.y＝5x B.y＝2x C.y＝ D.y＝－
【答案】D
【解析】∵函数的图象为双曲线，∴为反比例函数，∵反比例函数的图象位于二、四象限，∴k＜0，只有D符合，故选D.
【举一反三1】若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵反比例函数(为常数)的图象在第二、四象限，
∴，解得．
故选：D．
【举一反三2】若反比例函数的值在每个象限内随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
【答案】
【解析】反比例函数的值在每个象限内随x的增大而减小，
∴，解得，
故答案为：．
【举一反三3】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么常数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴，解得：，
故答案为：．
【举一反三4】已知是关于x的反比例函数．
(1)若时，y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值．
【答案】解：（1）由题意可知，解得．
（2）由题意可知，解得，即，
所以，．
【解析】
【题型14】用待定系数法求反比例函数的解析式
【典型例题】如图，Rt△OAB的直角边OB在x轴上，反比例函数y=在第一象限的图象经过其顶点A，点D为斜边OA的中点，另一个反比例函数y1=在第一象限的图象经过点D，则k的值为（ ）

A.1 B.2 C. D.无法确定
【答案】A
【解析】过点D作DE⊥x轴于点E.
∵点D为斜边OA的中点，点A在反比例函数y=上，
∴DE是△AOB的中位线，
设A（x，），则D（），
则：，解得k=1．
故选：A．

【举一反三1】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上．则反比例函数的解析式是(　　)
A.y＝ B.y＝ C.y＝－ D.y＝－
【答案】A
【解析】根据题意得正方形OABC的面积＝|k|＝4，∴AB＝BC＝2，∴点B的坐标为(－2，－2)把(－2，－2)代入y＝，可得k＝4，∴反比例函数的解析式是y＝，故选A.
【举一反三2】如图，直线经过点和点，交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ．
【答案】
【解析】，，
，，即，
过点作轴于点， 点的横坐标为，
直线经过点和点，
设直线，将点和点代入得，解得，
直线，
直线交反比例函数的图象于点，
当时，，即，
，即反比例函数表达式为，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别为A (2,0)、C (－1,2)，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B.
(1)直接写出点B坐标．
(2)求反比例函数的表达式．
【答案】解 (1)设BC与y轴的交点为F，过点B作BE⊥x轴于E，
如图．∵平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别为A(2,0)、C(－1,2)，
∴CF＝1，OF＝2，OA＝2，OC＝BA，
∠C＝∠EAB，∠CFO＝∠AEB＝90°.
在△CFO和△AEB中，∠C=∠EAB，∠CFO=∠AEB，
OC=BA，∴△CFO≌△AEB，
∴CF＝AE＝1，OF＝BE＝2，
∴OE＝OA－AE＝2－1＝1，
∴点B的坐标为(1,2)．
(2)∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝.
【题型15】待定系数法及反比例函数的性质
【典型例题】若反比例函数y＝的图象经过点(－3,2)，则该反比例函数的图象在(　　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限
【答案】D
【解析】设反比例函数解析式为y＝，∵图象经过点(－3,2)，∴k＝－6，∵k＝－6＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限．故选D.
【举一反三1】若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象经过（ ）
A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限
【答案】C
【解析】反比例函数的图象经过点，
，解得，
，反比例函数的图象经过二、四象限．
故选：C．
【举一反三2】已知反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的图象在（　　）
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第一、三象限
【答案】D
【解析】∵反比例函数的图象经过点，
∴，∴根据反比例函数图象与性质可得该反比例函数图象在第一、三象限，
故选：D．
【举一反三3】直线y＝kx+b过一、三、四象限，则函数y＝的图象在 象限，并且在每一象限内y随x的增大而 ．
【答案】二，四 增大
【解析】∵直线过一、三、四象限，
∴，，，
根据反比例函数的性质函数的图象在二，四象限，
并且在每一象限内y随x的增大而增大．
故答案为：二，四；增大．
【举一反三4】反比例函数的图象经过点．
求的值；
画出该函数的图象；
根据图象，当时，求的取值范围．
【答案】解：把点代入，得，解得．
由知，该反比例函数为，即该反比例函数图象上点的横、纵坐标的乘积为，其图象如图所示：
由图象可知，当时，则．
【题型16】验证点在反比例函数图象上
【典型例题】若函数的图象经过点，则下列各点中不在图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵函数的图象经过点，∴k=xy=（-3）×8=-24，
A. 4×6=24，故不在该函数图象上；
B. 3×( 8)= 24，在该函数图象上；
C. 4×( 6)=-24，在该函数图象上；
D. ( 4)×6=-24，在该函数图象上.
故选A.
【举一反三1】点(－3，－5)在反比例函数y＝的图象上，则下列点一定在其图象上的是(　　)
A.(－3,5) B.(－5,3) C.(3，－5) D.(5,3)
【答案】D
【解析】∵反比例函数y＝的图象经过点(－3，－5)，∴k＝－3×(－5)＝15，∴y＝，∴函数图象上点的横、纵坐标的积是定值15，即xy＝15，∴(5,3)在函数图象上．故选D.
【举一反三2】反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图象经过，
∴，解得：，
∴，∴反比例数解析式为，
将点代入得，，解得：，
故答案为：．
【举一反三3】若反比例函数的图象经过点A（2，﹣1），则k= ，该函数的图象还经过点B（-2， ）．
【答案】-2 1
【解析】∵k=xy，过（2，﹣1）点，
∴k=2×（﹣1）=﹣2．
∵B点的横坐标为﹣2．
∴y==1．
【举一反三4】已知反比例函数的图象经过点A(－6，－3)．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)判断点B(4,2)，C(9,2)是否在此函数图象上，并说明理由．
【答案】解　(1)设反比例函数解析式为y＝，
∵图象经过点A(－6，－3)，
∴k＝18，
∴反比例函数解析式为y＝；
(2)因为4×2＝8，9×2＝18，
所以B点不在函数图象上，C点在函数图象上．
【举一反三5】已知y是x的反比例函数，并且当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）试判断点A(-2，5)是否在这个函数图象上．
【答案】解：（1）设，将，．
代入得:，∴；
∴这个反比例函数的解析式为；
（2）当x＝2时，y＝6，
∴点A不在这个函数图象上．
【题型17】反比例函数图象上点的函数值大小比较
【典型例题】反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【答案】C
【解析】∵点，，，
都在反比例函数的图象上，且，
若，则在一三象限y随x的增大而减小，
若，则，
若，则，
若，则，
若，则；
若，则在二四象限y随x的增大而增大，
若，则，
若，则，
若，则，
若，则；
综上，若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：C．
【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c所满足的大小关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】反比例函数中，，此函数图象在二、四象限，
，点，在第二象限，，
，在第四象限，
， 、、的大小关系是，
，，．
故选：．
【举一反三2】已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】，
在图象的每一支上，随的增大而增大，
①当点、在图象的同一支上时，与同正或同负，与相矛盾，
无解；
②当点、在图象的两支上时，<0<，，，
解得：．
故答案为：．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小．
【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，∴反比例函数的表达式为：.
（2）∵，
∴反比例函数的图象在每一个象限内，的值随的增大而增大，
分以下两种情形：
①在同一象限内，当时，，
当时，，
②两点不在同一象限内，
当时，，即，
综上所述，在同一象限内，；两点不在同一象限内，.
【解析】
【题型18】反比例函数性质的应用
【典型例题】点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，y1＜y2，则此函数图象位于(　　)
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第二、三象限
【答案】B
【解析】∵x1＜x2＜0，y1＜y2，∴k＜0，∴反比例函数经过二、四象限，故选B.
【举一反三1】已知点(2，－6)在函数y＝的图象上，则函数y＝(　　)
A.图象经过(－3，－4)
B.在每一个分支，y随x的增大而减少
C.图象在第二，四象限
D.图象在第一，三象限
【答案】C
【解析】∵y＝图象过(2，－6)，∴k＝2×(－6)＝－12＜0，
A．(－3)×(－4)＝12，故图象不经过(－3，－4)，故选项错误；
B．在每一个分支，y随x的增大而增大，故选项错误；
C．函数图象位于第二，四象限，正确，
D．错误．故选C.
【举一反三2】已知函数y＝的图形如图，以下结论：
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】①由图象，得两分支在二、四象限，所以m＜0，此结论正确；②在每个分支上y随x的增大而增大，所以此结论正确；③∵当x＝－1时，a＞0，当x＝2时，b＜0，∴a＞b，∴所以此结论不正确；④∵反比例函数关于原点中心对称，∴若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上，∴所以此结论正确；本题正确的结论有①②④，三个，故选C.
【举一反三3】反比例函数的图象经过、两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【解析】∵反比例函数的图象经过、两点，
当时，，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：﹣1（答案不唯一，取的一切实数均可）
【举一反三4】如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支．
(1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围；
(2)点在该反比例函数的图象上．
①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？
【答案】解：（1）∵这个函数的图象的一支位于第二象限，
∴另一支必位于第四象限．
∴，解得．
（2）∵点在其图象上，∴，解得．
∴ 这个反比例函数的解析式为．
①当时，；当时，；当时，．
∴点，在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上．
②∵，
∴在这个函数图象的每一支上，都随的增大而增大．
∴当时，．
【题型19】反比例函数与其它函数的性质应用
【典型例题】下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小的函数是(　　)
A.y＝3x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝2x2
【答案】C
【解析】A.y＝3x，y随x的增大而增大，故A选项错误；
B．y＝x－1，y随x的增大而增大，故B选项错误；
C．y＝，当x＞0时，y值随x值的增大而减小，此C选项正确；
D．y＝2x2，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，此D选项错误．
故选C.
【举一反三1】若，则下列函数：
①，②，③中，
y的值随x的值增大而增大的函数共有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
【解析】①∵m＜0，∴x＞0时，y的值随x的值增大而增大，符合题意；
②∵m＜﹣0，∴﹣m＞0，∴y的值随x的值增大而增大，符合题意；
③∵m＜0∴开口向下，时，y的值随x的值增大而减小，不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小的函数是(　　)
A.y＝3x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝2x2
【答案】C
【解析】A.y＝3x，y随x的增大而增大，故A选项错误；
B．y＝x－1，y随x的增大而增大，故B选项错误；
C．y＝，当x＞0时，y值随x值的增大而减小，此C选项正确；
D．y＝2x2，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，此D选项错误．
故选C.
【举一反三3】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．，∵，∴当时，随的增大而增大，故不符合题意；
B．，∵，∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，故符合题意；
C．，∵，∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，故不符合题意；
D．，∵，∴双曲线在二四象限，当时，随的增大而增大，故不符合题意．
故选B．
【举一反三4】下列四个函数：
①；②；③；④中，
当x＜0时，y随x的增大而增大的函数是 （选填序号）．
【答案】②③
【解析】①在y=-2x+1中，k=-2＜0，则y随x的增大而减少；
②在y=3x+2中，k=3＞，则y随x的增大而增大；
③在中，k=-3＜0，当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大；
④在y=x2+2中，开口向上，对称轴为x=0，所以当x＜0时，y随x的增大而减小；
综上可知满足条件的为：②③．
故答案为②③．
【举一反三5】下列关于的函数中，随的增大而增大的有 ．（填序号）
①，②，③，④
【答案】③
【解析】①中，，所以随的增大而减小，故该项错误；
②中，在每个象限内，随的增大而减小，故该项错误；
③，随的增大而增大，故该项正确；
④随的增大而减小，故该项错误；
随的增大而增大的有：③，
故答案为：③．
【举一反三6】已知函数y＝－x＋5，y＝，它们的共同点是：①函数y随x的增大而增大；②都有部分图象在第一象限；③都经过点(1,4)，其中错误的有____个．
【答案】一
【解析】①y＝ “y随x的增大而减少”应为“在每个象限内，y随x的增大而减少”，错误；②y＝－x＋5过一、二、四象限，y＝ 过一、三象限，故都有部分图象在第一象限，正确；③将(1,4)代入两函数解析式，均成立，正确．所以错误的有一个．
【举一反三7】下列四个函数：
①；②；③；④中，
当x＜0时，y随x的增大而增大的函数是 （选填序号）．
【答案】②③
【解析】①在y=-2x+1中，k=-2＜0，则y随x的增大而减少；
②在y=3x+2中，k=3＞，则y随x的增大而增大；
③在中，k=-3＜0，当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大；
④在y=x2+2中，开口向上，对称轴为x=0，所以当x＜0时，y随x的增大而减小；
综上可知满足条件的为：②③．
故答案为②③．
【题型20】反比例函数系数k的几何意义
【典型例题】如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一 点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为3可知，S=|k|=3，k=±3．
又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0，
则k=-3，所以反比例函数的解析式为，
故选B．
【举一反三1】点P反比例函数y＝－的图象上，过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，则四边形OMPN的面积等于(　　)
A.3 B.2 C.23 D.1
【答案】C
【解析】∵点P反比例函数y＝－的图象上，∴过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，所得四边形OMPN的面积为＝23.故选C.
【举一反三2】如图，双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】∵双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，∴点P与点Q关于直线y＝x对称，∴Q点的坐标为(3,1)，∴图中阴影部分的面积＝2×(3－1)＝4.故选D.
【举一反三3】如图，点C、D在双曲线y＝(x＞0)上，点A、B在x轴上，且OA＝AB，CO＝CA，DA＝DB，则S△OCA＋S△ADB＝__________.
【答案】4
【解析】作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，连接OD，如图，∵CO＝CA，DA＝DB，∴OM＝AM＝OA，AN＝BN＝AB，∴S△MOC＝S△MAC，S△NAD＝S△NBD.∵点C、D在双曲线y＝(x＞0)上，∴S△MOC＝S△NOD＝×3＝1.5，又∵OA＝AB，∴S△NAD＝S△OAD＝S△NOD＝0.5，∴S△OCA＋S△ADB＝2S△MOC＋2S△NAD＝2×1.5＋2×0.5＝4.
【举一反三4】如图反比例函数图象过A(2，2)，AB⊥x轴于B，则△OAB的面积为 .
【答案】2
【解析】∵反比例函数图象过A(2，2)，AB⊥x轴于B，
∴OB=2，AB=2，
∴S△ABC=OB·AB=2，
故答案为：2．
【举一反三5】如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM＝3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
【答案】解 ∵S△AOM＝|k|，而S△AOM＝3，
∴|k|＝3，解得k＝±6，∵反比例函数的图象在第二象限内，
∴k＝－6，
∴该反比例函数的解析式为y＝－(x＜0)．
【举一反三6】如图，若点A在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3.
(1)求k的值；
(2)当A点在反比例函数图象上运动时，其它条件不变，△AMO的面积发生变化吗？并说明你的理由．
【答案】解 (1)∵△AOM的面积是3，
∴|k|＝2×3＝6.
又∵图象在二，四象限，k＜0，
∴k＝－6.
(2)∵A是反比例函数y＝－ (x＞0)图象上的点，
∴S△AMO＝|xy|＝3，
∴△AMO的面积不发生变化．
【题型21】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点
【典型例题】如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为(3，－5)，则B点的坐标为(　　)
A.(3，－5) B.(－5,3) C.(－3,5) D.(3，－5)
【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴它的另一个交点的坐标是(－3,5)．故选C.
【举一反三1】如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（3，1） C.（1，－3） D.（－1，3）
【答案】C
【解析】∵反比例函数的图象关于原点对称，直线经过原点，
∴它们的另一个交点坐标是（1，－3）
故答案为：C．
【举一反三2】若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是(2,3)，则另一个交点的坐标是(　　)
A.(2,3) B.(3,2) C.(－2,3) D.(－2，－3)
【答案】D
【解析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是(2,3)，∴另一个交点的坐标是(－2，－3)．故选D.
【举一反三3】若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ．
【答案】
【解析】∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中一个交点坐标为，且反比例函数的图象关于原点对称，
∴另一个交点坐标为．
【举一反三4】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
(1)求证：；
(2)求点B的横坐标；
【答案】（1）证明：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，其中点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为.
【举一反三5】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】∵直线与双曲线的图象均关于原点对称，
∴点Q的坐标与点P的坐标关于原点对称，
∵点P的坐标为(－3，4)，
∴点Q的坐标为(3，－4)．
【题型22】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式
【典型例题】已知如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax＋b＞的解集为(　　)
A.x＜－3 B.x＜－3或x＞1 C.－3＜x＜0或x＞1 D.－3＜x＜1
【答案】C
【解析】不等式ax＋b＞的解集为－3＜x＜0或x＞1.故选C.
【举一反三1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A. B.或 C.或 D.
【答案】C
【解析】∵一次函数 (k，b是常数，且) 与反比例函数(c是常数，且) 的图象相交于，两点，
∴不等式的解集是或．
故选：C．
【举一反三2】已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（ ）
A.或
B.
C.或
D.或
【答案】C
【解析】联立方程组，解得，，
∵当时，；当时，，
∴或，
解得：或，
故选C．
【举一反三3】如图，一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象相交于两点(－1，3)、(3，－1)，则当y1＜y2时，x的取值范围是________________．
【答案】－1＜x＜0或x＞3
【解析】由图象可知，当－1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2，故答案为－1＜x＜0或x＞3.
【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的纵坐标为3．
(1)求一次函数的表达式和B点坐标；
(2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围．
【答案】解：（1）∵点A的纵坐标为3，且A在反比例函数的图象上，
∴，解得，∴，
∵点在一次函数的图象上，
∴，解得， ∴一次函数解析式为：．
联立方程组，解得或，
∵∴；
（2）∵点在一次函数上，点在反比例函数上，且，
由两个函数图象m的取值范围为：或．
【举一反三5】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
【答案】解：（1）∵，，
由反比例函数的性质可知，，解得：或 (舍去)，
∴，∴．
∴反比例函数的表达式为：．
由图象可知：不等式的解集为；
【解析】
【题型23】反比例函数与一次函数的交点问题
【典型例题】如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　)
①点C坐标为(3，0)；②k＝；③S四边形OCBA＝；
④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】①∵将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，y3与双曲线交于B，与x轴交于C，∴直线BC的解析式为y3＝x－4，把y＝0代入，得x－4＝0，解得x＝3，∴C点坐标为(3，0)，故本结论正确；②作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，∵OA∥BC，∴∠AOC＝∠BCF，∴Rt△OAE∽Rt△CBF，∴，设A点坐标为(a，a)，则OE＝a，AE＝a，∴CF＝a，BF＝a，∴OF＝OC＋CF＝3＋a，∴B点坐标为(3+a，a)，∵点A与点B都在y2＝(x＞0)的图象上，∴a·a＝3+a·a，解得a＝2，∴点A的坐标为(2，)，把A(2，)代入y＝，得k＝2×＝，故本结论正确；③∵A(2，)，B(4，)，CF＝a＝1，∴S四边形OCBA＝S△OAE＋S梯形AEFB－S△BCF＝×2×＋×+×2－×1×＝＋4－＝6，故本结论错误；④由图象可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3，故本结论正确；⑤∵S△COD＝×3×4＝6，S四边形ABDO＝S四边形OCBA＋S△OCD＝6＋6＝12，∴S四边形ABDO＝2S△COD，故本结论正确．故选A.
【举一反三1】如图，双曲线与直线相交于A、B两点，点A坐标为，则点B坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线与直线相交于A、B两点，
点A和点B关于原点对称，
点A坐标为，点B坐标为，
故选：A.
【举一反三2】把反比例函数：的图象绕点顺时针旋转后得到双曲线的图象若直线与在第一，三象限交于A，两点，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，，，
则有，解得，，
，，
故选：．
【举一反三3】如图，Rt△ABC在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是______________．
【答案】1≤k≤4
【解析】根据题意可知，点A的坐标为(1，1)，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴点B，C关于直线y＝x对称，∴点B的坐标为(3，1)，点C的坐标为(1，3)，∴线段BC中点的横坐标为＝2，线段BC中点的纵坐标为＝2，∴线段BC的中点坐标为(2，2)，∵双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，∴过A点的双曲线k＝1，过B，C中点的双曲线k＝4，即1≤k≤4.
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A．B两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出的取值范围；
(3)连接，求的面积．
【答案】解：（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入得：，解得：，
∴一次函数的解析式：；
（2）当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当时，的取值范围为：；
（3）设直线与x轴，y轴交于C，D点，
令，则，∴，∴，
∴．
【举一反三5】已知反比例函数y＝的图象过点A(3，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．
【答案】解 (1)∵反比例函数y＝的图象过点A(3，1)，∴k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；(2)解，得ax2＋6x－3＝0，
∵一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，
∴△＝36＋12a＝0，∴a＝－3，
∴一次函数的解析式为y＝－3x＋6.26.1反比例函数
【题型1】实际问题中的反比例关系 3
【题型2】反比例与正比例 4
【题型3】反比例函数的判定 5
【题型4】反比例函数定义的有关计算 6
【题型5】求反比例函数值 6
【题型6】由反比例函数值求自变量 7
【题型7】反比例函数图象经过的象限 7
【题型8】反比例函数与一次函数的图象 8
【题型9】反比例函数与二次函数的图象 10
【题型10】函数图象的综合应用 12
【题型11】反比例函数图象的增减性 14
【题型12】求反比例函数的变量范围 15
【题型13】反比例函数k值的确定 15
【题型14】用待定系数法求反比例函数的解析式 16
【题型15】待定系数法及反比例函数的性质 17
【题型16】验证点在反比例函数图象上 18
【题型17】反比例函数图象上点的函数值大小比较 18
【题型18】反比例函数性质的应用 19
【题型19】反比例函数与其它函数的性质应用 20
【题型20】反比例函数系数k的几何意义 21
【题型21】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点 23
【题型22】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式 24
【题型23】反比例函数与一次函数的交点问题 26
【知识点1】反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念
形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）． 1.（2024秋 惠城区期末）下列函数：①y=2x,②，③xy=-2，④，⑤．其中反比例函数有（　　） A．0个B．1个C．2个D．3个
【知识点2】反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 1.（2023秋 陕州区期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数的图象大致是（　　） A．B．C．D．
2.（2025 钢城区一模）函数与y=kx-k（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D．
【知识点3】反比例函数的性质 反比例函数的性质
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 1.（2024秋 白银期末）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是（　　） A．k＞4B．k≥4C．k＜4D．k＞0
【题型1】实际问题中的反比例关系
【典型例题】下列两个变量之间的关系，是反比例函数关系的是（ ）
A.直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系
B.面积为16的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系
C.等腰三角形的顶角与底角之间的关系
D.圆的面积S与它的直径d之间的关系
【举一反三1】下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h；
③面积为定值的矩形的长与宽；
④圆的周长与它的半径．
A.①④ B.①③ C.②③ D.②④
【举一反三2】下列各问题情景中均包含一对变量，试判断哪对变量是成反比例的(　　)
A.圆的周长l和圆的半径r
B.在压力不变的情况下，压强P和支承面的面积S
C.y＝＋1中，y与x的关系
D.龙游三中的男生人数a和女生人数b
【举一反三3】三角形的面积一定，它的底和高成______比例．
【举一反三4】写出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1500t，该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为6.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式.
【题型2】反比例与正比例
【典型例题】下列命题错误的是(　　)
A.如果y与x成反比例关系，那么x也与y成反比例关系
B.如果y与z成反比例关系，z与x成正比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系
C.如果y与z成正比例关系，z与x成反比例关系，且x≠0，那么y与x成反比例关系
D.如果y与z成反比例关系，z与x成反比例关系，那么y与x成反比例关系
【举一反三1】在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）
A.反比例函数 B.正比例函数 C.二次函数 D.以上答案都不对
【举一反三2】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（ ）
A.当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系；
B.当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大；
C.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系；
D.当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系．
【举一反三3】已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5. y与x之间的函数关系式______，当x＝4时，求y＝________.
【举一反三4】下列各问题情境中，哪些量成正比例，哪些量成反比例？
(1)在压力不变的情况下，压强p与支承面的面积S．
(2)在利息不变的条件下，本金a与利率r．
(3)在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U．
【举一反三5】已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝3，求y与x的函数关系式．
【题型3】反比例函数的判定
【典型例题】若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（　　）
A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.其他函数
【举一反三1】下列式子中表示y是x的反比例函数的是( )
A. B.y= C.y= D.y=
【举一反三2】下列函数中是反比例函数关系的是(　　)
A.当速度v＝100 km/h时，路程S(km)与时间T(h)的函数
B.等边三角形面积S与边长a之间的关系
C.菱形面积一定时，两条对角线a、b之间的关系
D.当梯形的面积S与其上底a一定时，梯形的高H与下底b之间的关系
【举一反三3】小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x成______比例函数，表达式为________．
【举一反三4】在匀速直线运动中，当路程s一定时，用时间t来表示速度v的式子是______，这时v是t的________函数．
【举一反三5】如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那么y是x的反比例函数吗？请说明理由．
【举一反三6】下列函数中，哪些表示y是x的反比例函数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)xy＝6；
(4)3x＋y＝0；
(5)x－2y＝1；
(6)3xy＋2＝0.
【题型4】反比例函数定义的有关计算
【典型例题】函数是反比例函数，则的值是（　　）
A.－1 B.－2 C.2 D.2或－2
【举一反三1】函数y＝(m2－m)是反比例函数，则(　　)
A.m≠0 B.m≠0且m≠1 C.m＝2 D.m＝1或2
【举一反三2】函数y＝3xm+1，当m＝____________时y是x反比例函数．
【举一反三3】当k为何值时，y＝(k2＋k)是反比例函数？
【题型5】求反比例函数值
【典型例题】在反比例函数中，当x＝1时，y的值为（ ）
A. B. C.1 D.－1
【举一反三1】在反比例函数中，当时，y的值为（ ）
A.2 B. C. D.
【举一反三2】已知函数，当x＝﹣2时，y的值是 ．
【举一反三3】已知y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=﹣5；当x=2时，y=﹣7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=5时，求y的值．
【题型6】由反比例函数值求自变量
【典型例题】函数中，自变量的取值范围是（　　）
A.x≠0 B.x≠1 C.x>1 D.x≥1
【举一反三1】按如图所示的运算程序，能使输出y值为3的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知与成反比例，当时，．那么当时，的值为（ ）
A.4 B. C.3 D.
【举一反三3】函数中自变量的取值范围是 ．
【举一反三4】反比例函数y =(a－3)x|a|-4的函数值为4时，自变量x的值是 ．
【举一反三5】已知y与x的函数解析式是y＝.
（1）求当x＝4时，函数y的值；
（2）求当y＝﹣2时，函数自变量x的值．
【举一反三6】已知一个反比例函数y=-．当y=-3时，求自变量x的值.
【题型7】反比例函数图象经过的象限
【典型例题】表示的图象的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，双曲线y＝－的一个分支为(　　)
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三2】函数y＝－的图象的两个分支分布在第__________象限．
【举一反三3】已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；
(2)在图中画出该函数图象．
【题型8】反比例函数与一次函数的图象
【典型例题】一次函数与反比例函数（为常数且均不等于）．在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】若反比例函数的图象经过点（2，），则一次函数 的图象不经过第 象限．
【举一反三4】若双曲线在第二、四象限，则直线y=kx-2不经过第 象限．
【举一反三5】已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，求这个反比例函数的表达式，并在同一平面直角坐标系内， 画出这两个函数的图象．

【举一反三6】在同一平面直角坐标系中分别画出函数与的图象，利用这两个图象回答：取什么值时，比大
【题型9】反比例函数与二次函数的图象
【典型例题】函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】某同学利用数学绘图软件探究函数的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（ ）

A.
B.
C.
D.
【举一反三4】已知函数的图象与的图象交于点，点的纵坐标1，则关于的方程的解为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
【举一反三5】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
【举一反三6】若根式有意义，则双曲线与抛物线的交点在第 象限．
【举一反三7】如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．
【题型10】函数图象的综合应用
【典型例题】一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图，则一次函数y＝ax＋b(a≠0)与反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下，则一次函数y＝ax－2b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c和二次函数y＝cx2+bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是(　　)
A. B. C. D.
【题型11】反比例函数图象的增减性
【典型例题】下列关于反比例函数的叙述，不正确的是（ ）
A.反比例函数y=的图象绕原点旋转180°后，能与原来的图象重合
B.反比例函数y=的图象既不与x轴相交，也不与y轴相交
C.反比例函数y=的图象关于直线成轴对称
D.反比例函数y=，当k＞0时，y随x的增大而减少
【举一反三1】反比例函数y＝－(x＞0)的图象如图所示，随着x值的增大，y值(　　)
A.增大 B.减小 C.不变 D.先增大后减小
【举一反三2】函数y＝是反比例函数，在第一象限内y随x的增大而减小，则m等于(　　)
A.1 B.－1 C.±1 D.±3
【举一反三3】已知反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式__________．
【举一反三4】已知一个反比例函数y＝－，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增大而________(填“增大”或“减小”)．
【举一反三5】已知：反比例函数的图象经过．
(1)求k的值；
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
【题型12】求反比例函数的变量范围
【典型例题】已知函数y＝－，当x≥－1时，y的取值范围是(　　)
A.y≥1 B.y≤1 C.y≥1或y＜0 D.y≤1或y＞0
【举一反三1】已知反比例函数，则当时，的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知函数y＝－，当自变量的取值为－1＜x＜0或x≥2，函数值y的取值范围是______．
【举一反三3】已知反比例函数，若，求的取值范围．
【题型13】反比例函数k值的确定
【典型例题】如图，图象对应的函数表达式为(　　)
A.y＝5x B.y＝2x C.y＝ D.y＝－
【举一反三1】若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若反比例函数的值在每个象限内随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
【举一反三3】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么常数m的取值范围是 ．
【举一反三4】已知是关于x的反比例函数．
(1)若时，y随x的增大而减小，求m的值；
(2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值．
【题型14】用待定系数法求反比例函数的解析式
【典型例题】如图，Rt△OAB的直角边OB在x轴上，反比例函数y=在第一象限的图象经过其顶点A，点D为斜边OA的中点，另一个反比例函数y1=在第一象限的图象经过点D，则k的值为（ ）

A.1 B.2 C. D.无法确定
【举一反三1】如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y＝(x＜0)的图象上．则反比例函数的解析式是(　　)
A.y＝ B.y＝ C.y＝－ D.y＝－
【举一反三2】如图，直线经过点和点，交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，若，则反比例函数表达式为 ．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCO的顶点A、C的坐标分别为A (2,0)、C (－1,2)，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点B.
(1)直接写出点B坐标．
(2)求反比例函数的表达式．
【题型15】待定系数法及反比例函数的性质
【典型例题】若反比例函数y＝的图象经过点(－3,2)，则该反比例函数的图象在(　　)
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限
【举一反三1】若反比例函数的图象经过点，则反比例函数的图象经过（ ）
A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限
【举一反三2】已知反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的图象在（　　）
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第一、三象限
【举一反三3】直线y＝kx+b过一、三、四象限，则函数y＝的图象在 象限，并且在每一象限内y随x的增大而 ．
【举一反三4】反比例函数的图象经过点．
求的值；
画出该函数的图象；
根据图象，当时，求的取值范围．
【题型16】验证点在反比例函数图象上
【典型例题】若函数的图象经过点，则下列各点中不在图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】点(－3，－5)在反比例函数y＝的图象上，则下列点一定在其图象上的是(　　)
A.(－3,5) B.(－5,3) C.(3，－5) D.(5,3)
【举一反三2】反比例函数的图象经过，、三点，则的值为 ．
【举一反三3】若反比例函数的图象经过点A（2，﹣1），则k= ，该函数的图象还经过点B（-2， ）．
【举一反三4】已知反比例函数的图象经过点A(－6，－3)．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)判断点B(4,2)，C(9,2)是否在此函数图象上，并说明理由．
【举一反三5】已知y是x的反比例函数，并且当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）试判断点A(-2，5)是否在这个函数图象上．
【题型17】反比例函数图象上点的函数值大小比较
【典型例题】反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
【举一反三1】若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c所满足的大小关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知点，都在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 .
【举一反三3】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小．
【题型18】反比例函数性质的应用
【典型例题】点P(x1，y1)、Q(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2＜0，y1＜y2，则此函数图象位于(　　)
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第二、三象限
【举一反三1】已知点(2，－6)在函数y＝的图象上，则函数y＝(　　)
A.图象经过(－3，－4)
B.在每一个分支，y随x的增大而减少
C.图象在第二，四象限
D.图象在第一，三象限
【举一反三2】已知函数y＝的图形如图，以下结论：
①m＜0；
②在每个分支上y随x的增大而增大；
③若点A(－1，a)，点B(2，b)在图象上，则a＜b；
④若点P(x，y)在图象上，则点P1(－x，－y)也在图象上．其中正确的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】反比例函数的图象经过、两点，当时，，写出符合条件的的值 （答案不唯一，写出一个即可）．
【举一反三4】如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支．
(1)图象的另一支位于哪个象限？求的取值范围；
(2)点在该反比例函数的图象上．
①判断点，，是否在这个函数的图象上，并说明理由；
②在该函数图象的某一支上任取点和．如果，那么和有怎样的大小关系？
【题型19】反比例函数与其它函数的性质应用
【典型例题】下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小的函数是(　　)
A.y＝3x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝2x2
【举一反三1】若，则下列函数：
①，②，③中，
y的值随x的值增大而增大的函数共有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三2】下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而减小的函数是(　　)
A.y＝3x B.y＝x－1 C.y＝ D.y＝2x2
【举一反三3】下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】下列四个函数：
①；②；③；④中，
当x＜0时，y随x的增大而增大的函数是 （选填序号）．
【举一反三5】下列关于的函数中，随的增大而增大的有 ．（填序号）
①，②，③，④
【举一反三6】已知函数y＝－x＋5，y＝，它们的共同点是：①函数y随x的增大而增大；②都有部分图象在第一象限；③都经过点(1,4)，其中错误的有____个．
【举一反三7】下列四个函数：
①；②；③；④中，
当x＜0时，y随x的增大而增大的函数是 （选填序号）．
【题型20】反比例函数系数k的几何意义
【典型例题】如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一 点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】点P反比例函数y＝－的图象上，过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，则四边形OMPN的面积等于(　　)
A.3 B.2 C.23 D.1
【举一反三2】如图，双曲线y＝(k＞0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1,3)，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，点C、D在双曲线y＝(x＞0)上，点A、B在x轴上，且OA＝AB，CO＝CA，DA＝DB，则S△OCA＋S△ADB＝__________.
【举一反三4】如图反比例函数图象过A(2，2)，AB⊥x轴于B，则△OAB的面积为 .
【举一反三5】如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是原点，若S△AOM＝3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
【举一反三6】如图，若点A在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3.
(1)求k的值；
(2)当A点在反比例函数图象上运动时，其它条件不变，△AMO的面积发生变化吗？并说明你的理由．
【题型21】利用反比例函数图象对称性求与正比例函数的交点
【典型例题】如图，过原点的一条直线与反比例函数y＝(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为(3，－5)，则B点的坐标为(　　)
A.(3，－5) B.(－5,3) C.(－3,5) D.(3，－5)
【举一反三1】如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ）
A.（1，3） B.（3，1） C.（1，－3） D.（－1，3）
【举一反三2】若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是(2,3)，则另一个交点的坐标是(　　)
A.(2,3) B.(3,2) C.(－2,3) D.(－2，－3)
【举一反三3】若一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，且其中一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ．
【举一反三4】已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．
(1)求证：；
(2)求点B的横坐标；
【举一反三5】若直线与双曲线相交于点、，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【题型22】利用反比例函数与一次函数的图象解不等式
【典型例题】已知如图，一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，不等式ax＋b＞的解集为(　　)
A.x＜－3 B.x＜－3或x＞1 C.－3＜x＜0或x＞1 D.－3＜x＜1
【举一反三1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ）
A. B.或 C.或 D.
【举一反三2】已知正比例函数与反比例函数.对于实数m，当时，；当时，，则m的取值范围为（ ）
A.或
B.
C.或
D.或
【举一反三3】如图，一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象相交于两点(－1，3)、(3，－1)，则当y1＜y2时，x的取值范围是________________．
【举一反三4】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，已知点A的纵坐标为3．
(1)求一次函数的表达式和B点坐标；
(2)已知点在一次函数上，点在反比例函数上，若，观察图象，直接写出的取值范围．
【举一反三5】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
【题型23】反比例函数与一次函数的交点问题
【典型例题】如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　)
①点C坐标为(3，0)；②k＝；③S四边形OCBA＝；
④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三1】如图，双曲线与直线相交于A、B两点，点A坐标为，则点B坐标为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】把反比例函数：的图象绕点顺时针旋转后得到双曲线的图象若直线与在第一，三象限交于A，两点，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，Rt△ABC在第一象限，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点A在直线y＝x上，其中点A的横坐标为1，且AB∥x轴，AC∥y轴，若双曲线y＝(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是______________．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A．B两点，已知．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出的取值范围；
(3)连接，求的面积．
【举一反三5】已知反比例函数y＝的图象过点A(3，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

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