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3.1.1 函数的概念 教案
教 学 目 标 、 重 点 难 点 教学 目标： 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应 的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3 ．能够正确使用区间表示数集． 教学重点：了解函数定义的三要素，掌握区间的符号表示方法，会求简单的定义 域和值域. 教学难点：理解函数的定义及符号f的含义．
教学 流程 课堂探究： 【探究一】 实际生活中的函数 问题 1. 某“ 复兴号”高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内列 车行进的路程 s（单位：km) ，与运行时间 t(单位:h)的关系为 s=350t① 问题 2. 某电气维修告诉要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6 天。如果公司 确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资。一个工人的工资 W 是他工作天数的 d 的函数吗？w 与 d 的对应关系是怎样的？ 问题 3：图中是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数（Air Quality Index， 简称 AQI） 变化图。 你认为这里的 I 是 t 的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描述 I 与 t 的对应关
系吗？ 问题 4. 国际上常用恩格尔系数 r(r=食物支出金额/总支出金额×100%) 反映一 个地区人民活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城 镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越 高。 你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份y 的函数吗？ 思考：上述问题一至问题四中的对应关系是否是函数关系？ 它们有哪些共同特 征？ 由此你能概括出函数的本质特征吗？ 【探究二】 函数的概念的形成 1. 以上 4 个问题的共同特征有: (1)都包含两个非空数集用 A,B 来表示 (2)都有一个对应关系 (3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征，对于数集 A 中的任 意，一个数 x ，按照对应关系在数集 B 中都有唯一确定的y 值和它对应 2. 函数的概念 一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个实数 x ，按照 某种确定的对应关系f，在集合 B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f： A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 显然，值域是集合 B
的子集. 3. 函数概念理解 (1)对数集的要求：集合 A，B 为非空数集． (2)任意性和唯一性：集合 A 中的数具有任意性（即定义域中的每一个元素都有 函数值），集合 B 中的数具有唯一性（每一个自变量都有唯一的函数值与之应）． (3)对符号 “f”的认识：它表示对应关系，它可以是一个或几个解析式, 可以是图 象、表格、也可以是文字描述，在不同的函数中f的具体含义不一样． (4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f 与 x 的乘积，而f(a)表示函数f(x)当 自变 量 x=a 时的一个函数值． 例如：y=3x+1 可以写成 f(x)= 3x+1, 当 x=2 时y=7 可以写成f(2)=7 4. 函数的三要素 (1)定义域 A （2）对应关系f （3）值域{f(x)|x∈B} 【探究三】 函数概念的应用 例 1. 下列对应为从集合 A 到集合 B 的一个函数的是______．(填序号) ①A = R, B = {X X > 0}, f: x → y = x ②A = Z, B = N+, f: x → y = x2 ③A = Z, B = Z, f: x → y = x ④A = [ - 1, 1], B = {0}, f: x → y = 0 例 2. 若集合 M＝{x|0≤x≤2} ，N＝{y|0≤y≤3} ，则下图给出的对应能构成从 M 到 N 的函数 f：M→N 的是( )
【探究四】利用函数的概念描述常见函数 思考：对照函数的定义，试着写出一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和 值域。
函数 一次函数 反比例函数 二次函数
a>0 a<0
图象
定义域
值域
例 3.试着构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式 y=x(10-x)描述 【探究五】 区间 各个区间的含义及表示方法如下表所示
【探究六】 函数三要素的应用 例 2. 下列函数哪个与函数 y=x 相等 课堂小结 学 了什么？ 函数的定义：会求函数的定义域、值域 函数的三要素 区间的表示
作业 作业设计：课时作业本
教 后 反 思 函数是高中数学中一个非常重要的内容之一,贯穿整个高中数学学习。然而函数这部分 知识在教学中又是一大难点这主要因为概念的抽象性,学生理解起来不容易,由于函数这部 分体现于一个“变 ”字,接受起来就更难。研究的主要是“变量 ”与“变量 ”之间的关系, 要求用变量的眼光学习函数。所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。突破了它后面 的学习就容易了。 函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式,在数学的教学中,要强调对数学本质的认 识。所以函数概念的教学更忌照本宣科,要注意对知识进行重组。努力去提示函数概念的本 质。

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