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3.1.1 函数的概念（一）
教材分析：
1.函数概念的引入，学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合 之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知 的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会 用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次．
2.本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y = f (x) 的含义，学 生要加深理解．
教学目标及核心素养：
课程目标
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则.
2.掌握判定函数和函数相等的方法.
3.学会求函数的定义域与函数值.
素养目标
1.通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的 作用. (数学抽象)
2.了解构成函数的三要素. (数学抽象)
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. (直观想象)
4.理解同一个函数的概念. (数学抽象)
5.能判断两个函数是否是同一个函数. (逻辑推理)
教学重难点：
重点：函数的概念，函数的三要素.
难点：函数概念及符号y = f (x) 的理解.
课前准备：
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.
教学工具：多媒体.
教学过程：
一、情景导入
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初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是 怎样定义的？高中又是怎样定义？
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察，研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本60 66 页，思考并完成以下问题:
1.在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？
2.如何用区间表示数集？
3.相等函数是指什么样的函数？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题.
三、新知探究
知识点 1．函数的概念
定义 设 A 、B 是非空的__________，如果对于集合A 中的 _______________，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中 都有 的数y 和它对应，那么就称f : A→ B 为 从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y = f (x) ，x ∈ A
三 要 素 对应 关系 y = f (x) ，x ∈ A
定义域 的取值集合
值域 与x 的值相对应的y 的值的集合{f (x) | x ∈ A} .
思考 1：（1）对应关系f 一定是解析式吗？
（2）f (x) 与f (a) 有何区别与联系？
知识点 2．区间及有关概念
（1）一般区间的表示．
设 a, b ∈ R ，且 a < b ，规定如下：
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（2）特殊区间的表示．
思考 2：
（1）区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？
（2）“ ∞ ”是数吗？以“ ∞ ”或“ +∞ ”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？ 基础自测
1．区间[5,8) 表示的集合是( )
A． {x | x ≤ 5或x > 8} B． {x | 5 < x ≤ 8}
C． {x | 5 ≤ x < 8} D． {x | 5 ≤ x ≤ 8}
2．已知f (x) = 2x +1，则 f (5) = ( )
A ． 3 B ． 7
C．11 D．25
3．函数 的定义域是.
4．已知
（1）求 f (3) ， g(3) 的值；
（2）求 f [g(2)]的值；
（3）求 f [g(x)]的解析式．
四、题型探究
题型一 函数概念的理解
例 1（1）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( )
A．A ∈ R ，B ∈ R ，x2 + y2 = 1
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B． A = {1, 2,3, 4} ，B = {0,1}，对应关系如图：
C． A = R ，B = R ，f : x →
D． A = Z ，B = Z ，f : x →
（2）设M = {x | 2 ≤ x ≤ 2} ，N = {y | 0 ≤ y ≤ 2}，函数y = f (x) 的定义域为M ，值域 为 N ，对于下列四个图象，不可作为函数y = f (x) 的图象的是( )
(
C.
) (
B.
)A.
D.
[归纳提升]
1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A ，B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．
2.函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一
对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 【对点练习】下列对应是否为A 到B 的函数：
（1） A = R ，B = {x | x > 0} ，f : x → y =| x | ；
（2） A = Z ，B = Z ，f : x → y = x2 ；
（3） A = Z ，B = Z ，f : x → y = ；
（4） A = [ 1,1] ，B = {0} ，f : x → y = 0 .
题型二 求函数的定义域
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例 2.求下列函数的定义域：
（1）
（2）
[归纳提升]
求函数的定义域：
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分 母不为0 ；②偶次根式的被开方数非负；③ y = x0 要求x ≠ 0 .
（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合．
（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接， 而应该用并集符号“U”连接．
【对点练习】 (2020 ·吉林乾安七中高一期末测试)函数 的定义域是 ( )
A．[ 1, +∞) B．[ 1, 0]C．( 1, +∞) D．( 1, 0)
题型三 求函数值
例 3. (2019 ·安徽合肥高一期末测试)已知
求 的值；
求 的值． 【对点练习】已知函数 则
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、作业
课本67 页练习、72 页1 5
教学反思：
本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般” 的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，要根据特殊函数的规律总结一般规律.
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