资源简介

课题名称 角的平分线的性质 授课年级八年级
章节名称 14.3 角的平分线的性质 课型 数学概念课（ 1 课时）
课标要求 理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上 的点到角两边的距离相等。
课标分解 1. 学生学什么：掌握用尺规做已知角的角平分线，猜想角的平分线的 性质并证明，感悟证明以文字命题形式给出的几何问题的一般过程。 2. 学生学到什么程度：能熟练掌握角的平分线线的性质，会运用角的 平分线线的性质解决问题，获得证明文字命题的一般思路。 3. 学生怎么学：学生经历动手画图，测量，比较角的平分线上的不同 的点向角的两边两条所作垂线段间的数量关系，得出猜想，并利用前 面所学知识进行演绎推理。 4.培养学生的数学核心素养：几何直观、抽象能力、推理能力。
内 容 与 学 情 分 析 内容分析 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条 线段相等的常用方法。角的平分线的性质的研究过程为以后学习线段 垂直平分线的性质提供了思路和方法。 本节内容是全等三角形知识的运用和延续.用尺规作一个角的平 分线，其作法原理是三角形全等的“边边边 ”判定方法和全等三角形 的性质 ;角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边 ”判 定方法和全等三角形的性质。角的平分线性质证明提供了使用角的平 分线的一种重要模式--利用角的平分线构造两个全等的直角三角形， 进而证明相关元素对应相等，有助于帮助学生形成利用图形探索解决 问题的思路，明晰思维路径，提高几何直观和推理能力素养。
教学重点 探索并证明角的平分线的性质。
教学难点 证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。
学情分析 学生在前面已经学习过角的概念及角平分线的定义，学习了全等 三角形的相关的知识，有进行几何推理论证的实践经验。但对于文字 命题接触较少，学生在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行 严格的逻辑证明的过程中常常感到困难，例如，在用符号语言表述性
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质的条件和结论时，不知“距离 ”应为“条件 ”还是“结论 ”.其主 要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结 论具有一定的隐蔽性。 为了准确了解学生的认知基础，对任教班级 40 名学生开展了问 卷调查。调查题目是： 1. 全等三角形的判定有哪些？ 2. 证明两平行线被第三条直线所截，形成的同位角的角平分线 互相平行。 对于问题 1，全体同学都能正确作答，问题 2 答题情况如下表： 问题 2人数百分比1.能准确将文字命题转化为数学问题 并证明410%2.能找到几何问题的已知，求证1025%3.明白解题思路，但不能准确的将文 字命题转化为数学问题1537.5%4.对于文字命题无从入手1127.5%
根据以上调查结果分析，学生对将文字命题向数学问题转化的过 程存在思维障碍。 教学时教师根据学生的课堂反馈，如出现困难，要引导学生分析 性质中的条件和结论，找出结论中的隐含条件(垂直)，正确写出已知 和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤.
教学目标 1.会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性; 2.探索并证明角的平分线的性质; 3.能用角的平分线的性质解决简单问题。
核心素养 目标 1:直观想象能力（几何直观）：感知空间关系，突出对图形位置、 操作步骤的空间感知能力。逻辑推理能力：强调理解用尺规作图的合 理性，理解每一步作图背后的几何原理（如全等三角形判定） 目标 2:数学抽象能力：观察、实验、猜想、验证等过程，这是从具体 现象中抽象出一般数学规律。逻辑推理能力：明确包含了“合情推理 ”
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（猜想）和“演绎推理 ”（证明）两个层次，完整展现了数学发现与 论证的过程。 目标 3:数学建模能力：强调在具体情境中识别和构造角平分线模型， 将实际问题和几何问题转化为可利用角平分线性质解决的数学模型。 模型意识和模型观念：模型识别与构造需要空间想象能力来辅助理解 问题和设计问题方案。
目标评价 目标 1 达成:学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分 线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分 线。 目标 2 达成:学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角 的平分线的性质，能准确表述性质的内容，能正确地写出已知、求证， 能运用三角形全等的“AAS ”判定方法和全等三角形的性质证明角的 平分线的性质. 目标 3 达成:学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与 线段相等有关的简单问题.
教学教具 几何画板、希沃白板 5、磁吸式角平分仪演示模型、透明网格纸、量 角器、直尺。
学习方法 探究发现法、合作交流法 操作法
教学方法 实验引导法、问题启发法
学习 环节 学习任务设计与教师活动 学生活动设计 设计意图 落实目标
动手操作 — — 开 启 新知宝库 介绍风筝作为中国非物质文化 遗产的视频。 问题 1：同学们想放风筝吗？那 同学们会制作风筝吗？ 教师追问：制作风筝最重要的 一步是扎骨架，如图，要使风 筝配重均匀，须满足∠1=∠2， 怎样准确平分∠AOB 呢？ 学生观看视频。 学生会想到用量角 器。 让学生评价这 种方法,使学生发现 会有误差,引入角平 分仪！ “ 中华优秀传统文化 是中华民族的精神命 脉，是涵养社会主义 核心价值观的重要源 泉。”对青少年而言， 自觉接受中华优秀传 统文化的熏陶，对于 提高民族自豪感，汲
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生活中，工人师傅常常利用这 种简易的角平分仪来平分角， 下面我们就一起研究一下这种 平分角的仪器。如图，是一个 平分角的仪器，AB=AD,BC=DC . 问题 2：将点A放在角的顶点 , AB 和 AD 沿着角的两边放下,沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是角平 分线，你能说明它的道理吗 教师追问:从用平分角的仪器 画角的平分线中，你受到哪些 启发 如何利用直尺和圆规作 教师引导学生将实 际问题抽象为数学 模型，并运用全等三 角形的知识解释平 分角的仪器的工作 原理，学生展示。 师生分别在黑板和 练 习 本 上 画 出 ∠ AOB，学生尝试利用 直尺和圆规作∠AOB 的平分线.学生小组 讨论后展示，尺规作 角的平分线的具体 方法。 学生思考后回答: 取中国智慧、弘扬中 国精神、传播中国价 值具有重要意义。 通过创设诱人的知识 情境,引起学生主动 学习的动机,激发学 生的求知欲。借助教 具演示角平分仪的用 法,启发学生建立数 学模型,并用全等三 角形的知识解释角平 分仪的工作原理,初 步感知用尺规作已知 角的平分线的方法。 将实际问题转化为数 学问题,培养学生的 抽象思维能力和运用 所学知识解决问题的 能力。
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一个角的平分线 教师追问：去掉“大于 MN 的 长 ”这个条件行吗 所作的两弧 交点一定在∠AOB 的内部吗 去掉“大于 1 MN 的 长 ”这个条件,所作 的两弧可能没有交 点,就找不到角的平 分线. 若分别以 M、N 为圆 心,大于 的长 为半径画两弧,两弧 的交点可能在∠AOB 的内部, 也可能在 ∠AOB 的外部,而我 们 要 找 的 是∠ AOB 内部的交点,否则两 弧交点与顶点连线 得到的射线就不是 ∠AOB 的平分线了. 角的平分线是一条 射线.它不是线段, 也不是直线,所以第 二步中的两个限制 条件缺一不可. 让学生结合角平分仪 的工作原理,用尺规 作角的平分线,体会 数学的应用价值, 同 时从中获得启发,参 与获取知识的发生发 展过程。从实验中抽 象出几何模型, 明确 几何作图的基本思路 和方法。
合作探究 发现并证 明角的平 分线的性 质 问题 3：如图，为了让风筝骨架 更牢固，我们在风筝骨架某一 点 P 的位置系上了一根胶带， 胶带的两端分别系在 OA、OB 上。 要使胶带用料最省，你认为应 该将胶带的两端分别系在 OA、 OB 的什么位置？ 学生思考，并回答： 过点 P 分别作 OA、 OB 的垂线,使 PD⊥ OA 于点 D,PE⊥OB 于 点 E, 垂足 D、E 即 为彩带两端所系的 位置。利用的原理是 垂线段最短。 让学生通过实验发 现、分析概括、推理 证明角的平分线的性 质，体会研究几何问 题的基本思路。以角 的平分线的性质的证 明为例，让学生概括 证明几何命题的一般
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教师追问:观察并猜想 PD 与 PE 的有什么数量关系 教师追问：如果改变点 P 在角 平分线上的位置，这个结论还 成立吗？ 如果改变∠AOB 的大 小呢？ 教师追问： 由此你能得出什么 结论？ 问题 4:通过动手实验、观察比 较，我们发现“角的平分线上 的点到角的两边的距离相等 ”， 你能通过严格的逻辑推理证明 这个结论吗 教师追问： 由角的平分线的性 质的证明过程，你能概括出证 明几何命题的一般步骤吗 教师追问：角的平分线的性质 的作用是什么 学生动手画图，测 量，比较角的平分线 上的不同的点向角 的两边两条所作垂 线段间的数量关系。 学生动手操作，独立 思考，然后汇报自己 的发现.学生互相补 充，教师指导，一起 概括出角的平分线 的性质的猜想。学生 展示，教师板书示 范。 教师通过问题引导 学生分析命题的条 件和结论，如果学生 感到困难，可以让学 生将命题改写成“如 果……那么…… ”的 形式，然后引导学生 逐字分析结论，进而 发现并找出隐含条 件(垂直)最后让学 生画出图形，用符号 步骤，发展学生的归 纳概括能力。而反思 性质，可以让学生进 一步体会到证明两条 线段相等时，利用角 的平分线的性质比证 明两个三角形全等更 便捷。
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语言写出已知和求 证，并独立完成证明 过程。 已知：如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上， PD ⊥ OA 于点 D ， PE ⊥ OB 于点 E. 求证：PD=PE. 学生回答，角的平分 线的性质的作用主 要是用于判断和证 明两条线段相等，与 以前的方法相比，运 用此性质不需要先 证两个三角形全等.
练习巩固 判断正误，并说明理由： (1) 如图 1，P 在射线 OC 上， PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F， 则 PE=PF． (2) 如图 2，P 是∠AOB 的平分 线 OC 上的一点，E、F 分别在 OA、OB 上，则 PE=PF． (3) 如图 3，在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，若 P 到 OA 的 距离为 3cm，则 P 到 OB 的距离 图 1 通过例题和变式练 习,拓展学生的解题 思路,实现对知识要 点的正面强化和反面 界定,提升学生对知 识的综合运用能力和 演绎推理能力。
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边为 3cm． 例 1：如图 1,△ABC 中， ∠C= 90 ° , BD 平分∠ABC，CD＝3cm， 则 点 D 到 AB 的 距 离 为 多少？ 变式① 如图 2,△ABC 中，∠C =90 ° , BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于点 E,AC=8cm，则 AD+DE=____ cm. 变式② 如图 3,△ABC 中，∠C =90 ° , BD 平分∠ABC，DE⊥AB 于点 E，F 在 BC 上，AD=DF. 求 证：CF=EA 实际应用：从港口经济感受中 国经济温度。武汉新港是由武 汉、鄂州、黄冈、咸宁 4 市港 口岸线统一规划建设而成，为 了早日实现“亿吨大港、千万 标箱 ”的目标，要在武汉、黄 冈、咸宁三条岸线所围成的区 域内修建一个货物中转码头， 使这个码头到武汉、黄冈、咸 宁三条岸线的距离相等, 应该 在什么位置修建 ？ 图 2 图 3 学生独立思考并作 图，如出现思维障碍 则小组讨论。 引入生活中的鲜活题 材,培养学生关心身 边事,关注社会事的 习惯,激发学生高度 的社会责任感和意 识。通过创设富于挑 战性的实际问题情 境,提高学生运用数 学知识解决实际问题 的能力,让学生体会
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数学来源于生活,又 可应用于生活。
环节五 课堂小结 1.本节课学 习了 哪些主要 内 容 2.本节课是通过什么方式 探究角平分线的性质的 3.角 平分线的性质应用于解决什么 的问题 在应用时要注意什么 4.证明两条线段相等有哪些方 法 学生思考并分享感 悟。 引导学生从知识内容 和学习过程及数学方 法三个方面总结自己 的收获,并建立知识 网络
作业设计 单元作业设计思路 作业质量立足于既能达到巩固所学课时知识，又能综合其他学科所学知 识，并能达到牢固掌握和灵活运用的要求。每课时作业我们设计了学生作业 “ 自我评价反馈表 ”，从每个题目对每个学生的“难易程度 ”、“完成方式 ”、 “完成的时间 ”及整体课时作业中“我的困惑 ”等几个方面的反馈，让课时 作业架起学生学和老师教之间的一座沟通桥梁。 课时作业 基础性作业（时间 10 分钟） 1.如图，OP 为∠AOB 的平分线，PC⊥OA， PD⊥OB，垂足分别是 C，D，则 下列结论错误的是( ) A．PC＝PD B． ∠CPD= ∠DOP C． ∠CPO= ∠DPO D．OC＝OD
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第 1 题图 第 2 题图 2.如图，在△ABC 中，以点 A 为圆心，小于 AC 长为半径作圆强，分别交 AB ， AC 于点 E 、F ，再分别以 E 、F 为圆心，大于 EF 的同样长为半径作圆弧， 两弧交于点 P ，作射线 AP ，交 CB 于点 D ，∠C=90 ° , BC =9cm ，BD =6cm ， 那么点 D 到边 AB 的距离是 ( ) A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3.如图，在△ABC 中，∠C＝90 ° , AD 平分∠BAC ,若 AB＝6，CD＝2，则△ABD 的面积 为__________ 作业分析与设计意图 作业第 1 题，考查角平分线基本性质的检测，培养学生熟练掌握所学知识 解决问题的能力。第 2 题，通过复习回顾角平分线尺规作图的步骤，感受尺 规作图的严谨性、规范性及科学性，利用所学角平分线的性质解决数学作图 问题的能力。第 3 题是，角平分线的性质和三角形面积的综合考查，检测 学生对角平分线性质的灵活运用能力。 发展性作业（时间 15 分钟） 1.如图，点 P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点 D，且 PD＝3， 点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为___________- ． 2.动手操作：春天里，同学们都喜欢放风筝，如图，四边形 ABCD 中，AB
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=CB，AD＝CD，我们把这两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形 ”．请你自 己画一个筝形或制作做一个筝形 探究猜想：用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用 所学知识证明你的猜想猜想应用：如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AB =CB，AD＝CD，对角线 AC，BD 相交于点 O，OE ⊥AB，OF⊥CB，垂足分别为点 E，F.求证：OE＝OF. 作业分析与设计意图 作业第 1 题，综合考查点到直线的距离，及角平分线的性质。学生能把两 个关联的知识点融汇到同一个题目中，寻找解决综合问题的方法和思路。第 2 题，在教材数学活动内容的拓展，通过动手操作，激发学生的探索欲望， 养成动脑、独立思考等学习习惯。在猜想、归纳，证明的几何思维模式中， 发展学生角平分线的几何直观和逻辑推理的核心素养。
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课后反思 一、成功经验（核心素养落地亮点） 1.直观想象与操作感知 通过平分角的仪器，有效激活兴趣，95%学生直观感知“角平分线上的点到角两边距离 相等 ”，为抽象性质奠定基础。 2.通过几何画板，动态演示拖动角平分线上点时距离的实时变化，学生直观感受“距离 始终相等！ ” 3. 探索环节设计“猜想→测量→证明 ”三阶梯： （1） 猜想：学生根据测量数据提出“距离相等 ”假设（合情推理）； （2） 证明：引导学生分析“为何需构造垂线段？ ”自主发现全等三角形（SSS 或 HL）， 完成演绎推理闭环； （3） 小组互评证明过程，纠正“未证全等直接写结论 ”的逻辑漏洞。 4.数学建模解决真实问题 以“设立三个城市的中转码头 ”为情境，学生主动抽象出角平分线模型，成功迁移性质。 有学生提出“若选址点在角外部是否成立？ ”引发深度讨论。 二、教学不足 1.探究环节时间失衡：测量验证环节（角平分的衣服）超时 5 分钟，因部分学生操作， 作垂线段时未严格用三角板直角边对齐，导致测量误差大。压缩了性质证明的思维展开 时间。 2.分层落实不充分：学困生表现：能叙述性质，但证明时混淆“角平分线 ”与“距离 ” 条件（如误用SAS 证全等）。证明前的分析环节引导语未强调关键步骤——“先找垂线 段，再证 Rt△全等 ”。 3.技术工具使用局限：几何画板仅由教师演示，未让学生动手操作；部分学生被动观看， 参与感不足。
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