资源简介

指数函数的图象和性质 教学设计
一、教学内容解析
从教材来看，本节课选自人教版2019版必修第一册第四章第二节第二课时，是在学习了幂函数和指数函数概念的基础上，进一步指数函数图象和性质。它一方面，可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，另一方面，也为后续对数函数的学习打下坚实的基础，在知识系统中起了承上启下的作用。同时，指数函数在实际生活中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值教育的好素材。所以，本堂课我们要重点研究。根据我所任教的学生的实际情况，我将《指数函数及其图像与性质》划分为两节课（探究指数函数的图象与性质，指数函数及其性质的应用），这是第一节课“指数函数的图象与性质”.本课时主要通过对指数函数图像的研究归纳其性质，并进行简单的应用.通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数.
二、学生学情分析
从学生来看，主要体现在三个层面：
学生已了解指数函数的概念和简单的指数运算技能，通过幂函数的学习掌握了研究函数的一般方法；
学生在初中已经掌握了用描点法描绘函数的图象，幂函数的学习提供了按“背景-概念-图象和性质-应用”的顺序研究函数。
学生思维活跃，乐于合作，有探究问题的意识，但思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有待于提高。
从条件资源来看，我们有多媒体、几何画板等软件，以及生活中大量的贴合实际的素材展示给学生，帮助学生理解指数函数的深刻内涵。
三、教学策略分析
1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望--持久的好奇心，我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的。本节课，力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2．在本课的教学中我努力实践以下两点：
（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.
（2）在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法
四、教学目标
1. 掌握指数函数的性质，掌握指数函数性质的应用。
体会从一般到特殊研究问题的方法，能通过数形结合，解决定点、单调性等问题.
发展学生的直观想象和数学抽象，逻辑推理.
教学重难点
1. 重点：指数函数的图象和性质及其实际应用
难点：指数函数性质的归纳、概括及其实际应用.
五、教学思路与方法
本节课主要采用问题为载体的任务驱动式教学方法，启发引导学生归纳总结。通过作图识图，培养学生从函数图象中归纳函数性质。通过自主探究与合作探究，通过独立思考，动手操作，培养实践能力；通过小组讨论，培养学生的交流、协作能力。
六、课前准备
PPT，几何画板
七、教学过程
（一）复习导入
1、指数函数的定义？
预设答案：一般的，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
追问：指数函数对于底数的要求是什么 为什么要这样要求
【设计意图】学生复习回顾指数函数的概念，明确对底数a的限制条件。通过复习指数函数引入指数函数的图象和性质的研究。
2、幂函数的研究过程和方法？
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数：
背景→定义→图象→性质（单调性、奇偶性、特殊点等）→应用
注意：（1）引导学生独立思考，提出研究函数性质的基本思路；
　　 （2）突出数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用.
（3）通过熟悉的旧知识引入知识，调动学生学习的积极性，用旧方法研究新问题，培养学生类比迁移的学习能力.
3.探究一：描点作图：作陌生函数的图象，可以通过描出一些具体的点摸索函数图像的大致分布，进而作出函数的图象。
教师提问：描点作函数图象时可以如何描点？——描点应具有代表性，能够描绘函数图像的整体情况。
指数函数的定义域为，在原点附近选取的值描点。
学生操作：在平面直角坐标系中描出表格中的点，尝试作函数的图象(抽取学生板书作图)。
总结函数的性质：
定义域：；
值域：；
单调性：增函数。
同样的，尝试作出函数的函数图象：
总结函数的性质：
定义域：；
值域：；
单调性：减函数。
教师提问：对比以上两个指数函数及其图象，有那些共同点和不同点？
不同点：解析式不同，单调性不同…
相同点：定义域相同，值域相同…
教师提问：观察指数函数和的图象，会不会有怎样的一个位置关系？
直观上，与的函数图象是关于轴对称的，但仅仅基于图象就下结论是不准确的，回顾学习函数奇偶性时，用函数图象上点的坐标说明一个函数的图象关于轴或原点对称，这里也可以通过函数图像上的点的坐标说明两个函数的图象关于轴对称.
若两个点关于轴对称，点的横坐标互为相反数，纵坐标相等.所以，如果与的图象是关于轴对称的，当自变量任取一对相反数与时，应该有.验证知：，所以与的图象确实是关于轴对称的.
从解析式看，与的底数互为倒数，二者的图象关于轴对称，那么，任意两个底数互为倒数的指数函数的图象是否都关于轴对称呢？如与，与的图象是否关于轴对称？
设任意一个指数函数，与其底数互为相反数的指数函数为.验证：，所以任意两个底数互为倒数的指数函数的图象确实是关于轴对称的.
总结：根据底数互为倒数的指数函数的图象关于轴对称，可由的图象画出的图象.
结论：与的图象关于y轴对称。
探究2.利用“对称性”在同一坐标系中，作
y=与y=, y=与y=图象.
请思考：通过几何画板的演示，并观察以上图象的位置和变化趋势，它们有哪些共性和不同之处？
学生分组完成，教师教师几何画板直观展示
合作探究要求：小组讨论，每个小组推荐一个中心发言人.
注意：①引导学生独立思考，并相互交流，形成对指数函数性质的认识；
　　　 ②培养学生的归纳总结能力及团队合作能力.
探究3.观察这6个图象，试着将它们分类，并完成下表
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，+∞)
性质 过定点 过定点 ，即x＝ 0时，y＝ 1 ；
函数值的变化 当x>0时， ； 当x<0时， ； 当x>0时， ； 当x<0时， ；
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
列表如下：
预设答案：
1、学生合作探究完成性质表格，小组代表给出答案.教师适当的修改补充，最后用多媒体展示标准答案.
2、本环节既可以培养学生观察，分析，归纳等思维能力，又可以培养学生的合作意识和创新精神，同时也让学生体会到分类讨论、数形结合的数学思想.
探究4.思考：当底数变化时，函数在第一象限图象有何变化规律？
规律：底数a越大，图象越接近y轴;
底数a越小，图象越接近x轴.
指数函数在y轴右侧的图像，底数越大图像越高.（底大图高）
（二）典型例题与随堂练习
例1 判断函数的单调性。
解：因为 ，底数
所以 函数在R上是减函数
例2、比较下列各题中两个值的大小：
（3） ,(且a) （4）1.70.5,0.82.5
预设答案：
【解】（1）函数是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73
（2）函数是减函数，且，则
（3）分类讨论.分01
(4)根据函数y=1.7x的性质，1.70.5>1.70=1，根据函数y=0.8x的性质，0.82.5<0.80=1，所以1.70.5>0.83.1
【设计意图】通过例题让学生了解比较大小的方法如：利用单调性比大小；或间接利用中间数.同时进一步加深学生对指数函数的性质的认识.
【方法总结】
（1）构造函数法：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小.
（2）搭桥比较法：用0或1搭桥。数的特征是不同底不同指。比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
（三）课堂小结：
通过本节课的学习:
1.回扣学习目标：
根据指数函数的图象说明指数函数的性质并能应用。
2.研究函数的过程是什么？内容是什么？
3.你掌握了哪些解题方法？你体会了哪些数学思想？
【设计意图】引导学生从知识层面和思想层面对本节课进行小结。及时梳理复习，加深学生对知识、方法的印象。回顾指数函数的概念、图象及性质，建立指数函数与学习过的其他函数之间的联系，并进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法.
布置作业：
必做题：习题4.2 第3、4、5、6题
2、思考题：（见PPT）
【设计意图】采取分层作业的形式帮助不同层次的学生巩固知识，拓展能力。
八、板书设计
4.2.2 指数函数的图象和性质（1）
1.指数函数
2.指数函数的图象和性质
例1
例2
4.总结
【设计意图】本节课我采用纲要式的教学板书，把本节内容纲目化，使之提纲挈领、条理清晰、层次分明，使学生一目了然，利于学生对本节内容框架的把握和课后的复习巩固。
九、教学反思：
成功之处：本节课充分利用了现代多媒体教学手段，引用生活实例，将数学与生活问题紧密结合，激发了学生的学习兴趣。学生不仅收获了数学知识，更加懂得了生活中数学所蕴含的道理。思政教育教学效果良好，激发了学生的爱国热情。
在本节课的教学中努力实践以下三点：
引导学生作出指数函数图象，观察图象后总结出指数函数的性质，利用性质解决一系列简单问题和实际问题。
在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学核心素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
通过让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，对比总结得到指数函数的性质，让学生体会到对函数的研究方法,将其迁移到其他函数的研究中去。教学中，借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，做到化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，通过学生自己亲自做图象，对比出指数函数的图象随底数的变化而变化的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数性质的影响；在教学过程中通过不断向学生渗透数学思想方法，落实核心素养，让学生感受数学思想方法之美、体会数学思想方法的重要。
存在问题：指数函数性质的应用，以及在具体问题的建模中，学生还需加强引导和练习。
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