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《指数函数图像与性质》教学设计
一、教学内容解析
本节是北师大版教材第四章第二节内容，是高中阶段的基础函数， 也是进一步研究对数函数和后续各项复杂函数的基础。内容包含指数 函数的图像，指数函数的单调性，是高考常考内容之一。通过观察图 像，总结出函数的单调性、特殊点，体会从图像看性质以及从函数解 析式判断性质，体会数形结合的思想，为后面学习对数函数做铺垫。 指数函数的图像和单调性是经常考查的内容，有的还可能与其他内容 相结合，综合考查学生的知识储备和解题技能。通过本节的学习主要 是培养学生直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养。
二、学生学情分析
学生已有了一定的函数基础知识会建立简单的函数关系式，能用“描点法 ” 画图，这使学生的自主探究活动具备了良好的基础。
三、教学目标设置
1.经历指数函数概念的形成过程，体验从具体到抽象的方法，并能用 准确的数学语言进行相关内容的表述；进一步培养学生直观想象和抽 象概括核心素养。
2.探索指数函数的图像与性质，通过图像和基本性质的教学，感受研 究函数的基本程序和方法。培养学生数形结合的思想，体会由一般到 特殊的研究方法，培养学生逻辑推理的核心素养。
3.在理解指数函数的图像与性质的基础上，能解决相关的简单数学问 题，特别是利用指数函数的性质比较两个同底的幂的大小，进一步体
会单调性的作用，提升数学建模的核心素养。
四、教学重点
对指数函数的图像及性质进行研究，并探索如何将其有效应用于 现实问题的解决方案中。
五、教学难点
如何用增长率来描述函数的变化规律，并对其单调性进行归纳总 结，据此解决一些实际问题。
六、教学策略分析
教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经 历 “创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应 用 ” 的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知 识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素 质。
七、教学过程设计
（一）问题情境
给我一张白纸，只要将其对折43 次，其厚度就可以架起一座从地球到月球的 桥梁，你信吗？
折纸游戏:将一张长方形纸对折 ，请观察：
问题 1：对折的次数x 与所得的层y 之间有什么关系？
问题 2：对折的次数x 与折叠后小矩形面积y 之间有什么关系？（记折前纸张面 积为 1）
追问 1：是否可以绘制纸张层数和所得小矩形面积随着对折次数的增加而变化的 图像呢？通过纸张层数的分析，能否相信对折43 次后其厚度就可以架起一座从 地球到月球的桥梁？
答案：学生通过计算器计算得可以架起一座从地球到月球的桥梁。
设计意图：通过学生熟悉的折纸游戏，提出问题，学生归纳出研究指数函数的图 像和性质以及研究方法，接下来主要是画出指数函数图像，然后借助图像研究指 数函数的性质。
（二）问题探究
问题 3：如何画一个新函数的图像呢？
答案：描点法（列表、描点、连线）
问题 4：在直角坐标系中画出函数y = 2x 图像，观察函数图像，分析函数的性质？
（1）列表
函数y = 2x 的取值情况如下
（2）描点
（3）连线
设计意图：从简单的函数 y = 2x 入手，教师引导学生分析函数的性质，包括定 义域，值域，奇偶性，单调性．由概念知定义域为R 根据指数运算，分析值域为 (0,+∞) ，进而分析出函数的图象应该都在x 轴上方。通过特殊点的分析，得出 函数不具有奇偶性。单调性需要借助图象研究。学生在列表时，分析 x 的取值， 要兼顾正值和负值，在性质指导下画出函数的图象。
问题 5：请同学们画出指数函数 的图像，观察函数的图像，分析函数的 性质？
设计意图：教师布置任务，学生自己选择方法作图，观察图像，探究函数性质。
问题 6：你是如何画出函数 的图像？描点法还是对称性？请讲出选择的 理由。
描点法：
对称性
分析：教师询问学生的作图方法，学生反馈自己用的描点法还是利用函数之间的 对称性，因为 ，点(x, y) 与点(-x, y) 关于y 对称，所以函数y = 2x 图像上任意一点P(x, y) 关于y 轴的对称点P1 (-x, y) 都在函数 图像上， 反之亦然，根据这种对称性，可以利用函数y = 2x 的图像，画出函数 的 图像，并将此结论推广：
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称，所以利用这种对称性，可以
由一个函数的图象得到另一个函数的图象。
设计意图：根据函数的解析式先初步分析函数的性质，再选择合适
的点，利用描点法画出函数的图象，然后由图象概括出函数的性质，这是我们研 究具体函数的过程。让学生观察两个具体的指数函数的图象，对指数函数的图象 和性质有一个初步的认知。学生在作图的过程中得出结论：底数互为倒数的两个 指 数 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ． 根 据 这 种 对 称 性 ， 我 们 将 指 数 函 数 y = ax (a > 0, a ≠ 1) 的图象按底数 a 的取值，分作a > 1 和0 < a < 1两种类型 进行研究。让学生学会用联系的观点看待问题。
问题 7：我们将指数函数 y = ax (a > 0, a ≠ 1) 的图像按照底数 a 的取值，分别
作 出 a > 1 和 0 < a y = ax (a > 0, a ≠ 1)
< 1 两 种 类 型 进 行 研 究 ， 为 了 得 到 指 数 函 数 的性质，我们还需要画出更多的具体的指数函数的图形进
行观察？
问题 8：画出指数函数 y = 3x 和 y = 4x 图像，分析它们的性质？画出指数函数
和 的图像，分析它们的性质？
分析：由学生画出函数y = 3x 和y = 4x 的图像，教师可以利用 ggb 软件画出多 个函数的图像，同学们观察图像，分析函数性质，并将它们和函数 y = 2x 对比 分析，寻找它们的共性，概括函数 y = ax ， a > 1 的性质，然后根据函数对称 性，学生继续画出函数和 的图像，寻找它们的共性，概括函
x
数 y = a ， 0 < a < 1 的性质。
设计意图：再研究了y = 2x 和 这一对函数之后，再研究具有类似对称关 系的其他几对函数，概括它们的共同特征．通过选取底数a(a > 0, a ≠ 1) 的若干 个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。观察这些图象的 位 置 、 公 共 点 和 变 化 趋 势 ， 寻 找 它 们 的 共 性 ， 概 括 出 指 数 函 数 y = ax (a > 0, a ≠ 1) 。
问题9：观察以上这些图象的位置、公共点和变化趋势，你能寻找它们的共性？ 分析：学生小组合作探讨，将以上函数的图象放置于同一直角坐标系内，引导观 察函数的图象，归纳指数函数的性质，寻找共性。
（1）这些函数的图象都过点(0,1)
（2）函数的定义域都是R ，值域都是(0,+∞)
（3）当0 < a < 1 时，函数图象呈下降趋势，即函数为减函数； 当 a > 1 时，函数图象均呈上升趋势，即函数为增函数。
问题 10：这几个函数的图象是否能代表一般的指数函数的图象？我们得到的性 质是否推广到一般的指数函数性质？
分析：用 ggb 软件作指数函数 y = ax (a > 0, a ≠ 1) 图像，对底数 a 进行任意 取值，追踪函数图象的变化。学生通过观察大量指数函数的图象，归纳的函数 的性质。
设计意图：画出几个特殊函数的图象，观察这几个函数的图象来讨
论函数的性质．这会带来一系列问题：为什么这几个函数的图象就可以代表一 般的指数函数的图象？由此得到的性质是否可靠？为什么要把底数 a 分为
a > 1 和0 < a < 1两类？利用信息技术，作图更加方便，学生能够通过大量的 函数图象看到其共性，实现 “ 由特殊到一般 ”的归纳过程，了解指数函数的性 质。
问题 11：请同学们归纳概况指数函数的性质，并完成表格。
设计意图：引导学生根据图像归纳概况函数的性质，学生根据函数的图像，归纳 其取值范围、公共点、增减性等共有性质，进而概况指数函数的定义域、值域、 定点、单调性，在总结归纳的过程中，让学生体会数形结合的思想方法。
（三）新知应用
例 1、已知函数 + b 的图像过原点。
（1）求该函数的解析式，并画出图像；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性。
变式：已知函数 + b 的图像过原点，且无限接近直线y = 2 但又不与该直 线相交。
（1）求该函数的解析式，并画出图像；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性。
分析：引导学生对问题进行分析，根据指数函数的图像过某一点，将 这一点的 横纵坐标分别代入函数的解析式，求得未知数的值，从而获得函数的解析式。有 了解析式，利用函数奇偶性，顺利地解决函数的图像及其性质等相关问题。
例 2、在 2022 年的统计中，东北一特定森林区域的木材储备量为 200 万立方米。 得益于地方当局采取的保护策略，包括森林封闭管理和采伐禁令，该区域实现了 5 %的木材年增长率提升。
（1）针对东北林区于 x 年后木材蓄积量升至 y 万立方米的情况，推导出 y 与 x 之间的关系式，并明确此函数的适用范围；
（2）在多少年后，林区的木材蓄积量能够增长至预设的 300 万立方米。
解析： （ 1 ）现有木材的蓄积量为 200 万立方米 。经过 1 年后木材储蓄量为 200 + 200× 5 00 = 200(1+ 5 00 )
经过 2 年后木材蓄积量为
200(1+ 5 00 ) + 200(1+ 5 00 )5 00 = 200(1+ 5 00 )2 所以经过 x 年后木材蓄积量为200(1+ 5 00 )x
所以 y = 200(1+ 5 00 )x (x ∈ N+ )
（2）由（1）得 y = 200(1+ 5 00 )x (x ∈ N+ ) 设 x = 9, y = 200(1+ 5 00 )9 ≈ 310.2
所以经过 9 年后，林区的木材蓄积量能达到 300 万立方米 。
注：本题旨在考查指数函数模型在生活中的运用，属于基础题。应用题中的增长 率问题，一般是应用指数型函数。
（四）课堂小结
本节课，你学到了哪些知识？
在研究指数函数的图像和性质过程中，用了什么数学放方法？
1.指数函数的图像与性质
3.指数函数性质的运用
4.数形结合的思想方法
（五）课后作业
1. 必做题：教材练习题第 1,2 题
2. 选做题：比较下列各题中两个数的大小
(1)1.72.5 ,1.73
(3)2.3—0.5 ,0.2 —0.1
八、板书设计
指数函数图像与性质
一、问题情境 1、画出给定的指数函数 的图像 2、根据图像归纳性质 二、知识深化 由特殊到一般总结指数函 数图像的画法和性质 三、例题剖析 例 1 例 2 四、课堂小结 五、布置作业

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