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数学 学科第六章第 6.3.1 节课题名称：平面向量基本定理
§6.3.1 平面向量基本定理
一、教学目标
1．了解平面向量基本定理及其意义；
2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3．能够在具体问题中适当地选取基底，其他向量能够用基底来表达．
二、教学重点、难点
教学重点：平面向量坐标表示的定理.
教学难点：平面向量基本定理和应用. 突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.
三、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
【复习回顾】
1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
（1）大小：
时 与 方向相同；
时 与 方向相反；
时 。
2．运算定律
结合律：
分配律：
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 .
【情景1】已知两个力，可以求出它们的合力，反过来，一个力可以分解为两个力，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力.
【启发】能否通过作平行四边形，将向量分解成两个向量，且向量是这两个向量的和？
【探究】如图，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？
（二）阅读精要，研讨新知
【发现】
（1）如图6.3-3，过点作平行于直线的直线，与直线交于点，过点作平行 于直线的直线，与直线 交于点，则.由与共线，与共线可得，存在实数，使得，，所以.
（2）当是与或共线的非零向量时，也可以表示成的形式.
（3）当是零向量时，同样可以表示成的形式. (为什么 请课后思考讨论)
【平面向量基本定理】
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
注意：(1)基底不唯一，关键是不共线
(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解
(3)基底给定时，分解形式唯一
（三）例题讲解
【例1】如图，不共线，且，用表示
解：因为
所以
重要结论：如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则
【例2】如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形
证明：如图，设＝a，＝b
则＝a＋b，＝a－b
因为CD＝AB，所以CD＝DA
因为
所以
因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形
方法规律　平面向量基本定理的作用以及注意点
(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算
(2) 基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量
（四）归纳小结，回顾重点
【平面向量基本定理】
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只
有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
注意：(1)基底不唯一，关键是不共线
(2)由定理可将任一向量a在给出基底e1，e2的条件下进行分解
(3)基底给定时，分解形式唯一
（五）作业布置，精炼双基
1. 完成课本习题6.3 1、11
2. 预习课本 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
【个案补充】
【教学反思】
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