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第十五章 轴对称
15.1.2 线段的垂直平分线
（第1课时）
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
1．什么是线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线．
2．轴对称的性质是什么？
（1）成轴对称的两个图形全等．
（2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分．
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质．
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线．角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系．
探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
可以发现，P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等．
垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
你能证明这个性质吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上．
求证：PA＝PB．
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB．
当点P与点C重合
时，显然成立．
又AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA＝PB．
当点P与点C重合时，显然成立．
垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵直线 l 垂直平分 AB，
∴ PA =PB．
思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
　　点P 在线段AB 的垂直平分线上．
你能证明这个结论吗？
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．
证明：过点P作直线 l⊥AB， 垂足为C．
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴AC =BC．
又PC⊥AB，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．
（2）点 P 在线段 AB 上.显然点 P 是 AB 的中点，此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
（1）当点 P 在线段 AB 外时
A
B
P
垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：
∵PA＝PB，
∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上．
思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
试一试：说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
解：（1）内错角相等，两直线平行，成立；
（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立；
（3）对应角相等的两个三角形全等，不成立；
（4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立．
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．
在几何中，有许多互逆的定理．例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和 “内错角相等，两直线平行”也是互逆定理．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ）
A．21 B．9 C．18 D．13
D
【知识技能类练习】必做题：
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．两直线平行，同位角相等
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
D
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
证明：（1）垂直平分，
，
，，
垂直平分，
，
；
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求长．
（2）的周长为，
，
，
，
，，
．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ．
各边垂直平分线的交点
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，点在边上，交的延长线于．
(1)若是的角平分线，说明与的数量关系；
(2)若点同时在的垂直平分线上，求证；
(3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系．
解：（1）∵是△的角平分线，
∴，
∵，， ，
∴，
∵，
∴，
∴；
【综合拓展类练习】
（2）证明：∵点同时在的垂直平分线上，
∴，
在和中，
∴，∴；
5．如图，在中，，点在边上，交的延长线于．
(1)若是的角平分线，说明与的数量关系；
(2)若点同时在的垂直平分线上，求证；
(3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系．
【综合拓展类练习】
（3）在和中，
∴，∴，
在和中，
∴，∴，∴，∴．
5．如图，在中，，点在边上，交的延长线于．
(1)若是的角平分线，说明与的数量关系；
(2)若点同时在的垂直平分线上，求证；
(3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系．
点 P 在线段 AB的垂直平分线上
线段的垂直
平分线的性质与判定
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定
PA＝PB
互逆命题
互逆定理
【知识技能类作业】必做题：
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．真命题的逆命题一定是真命题
B．两边分别平行的两个角相等
C．等角的余角相等
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，求的长．
解：∵，，
∴垂直平分
∴，
∵点C在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ．
20
【综合拓展类作业】
5．作图题：如图，、是两条笔直的交叉公路，M、N是两个车站，现欲建一个加油站P使得此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距离也相等，此加油站P应建在何处？要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法．
解：如图，点P即为所求作的点．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
重点 线段垂直平分线的性质和判定．
难点 如何用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是线段的垂直平分线？ 2．轴对称的性质是什么？
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线。 探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？你能证明这个性质吗？ 归纳：垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______． 符号语言： ∵直线 l ______ AB， ∴ PA =_____． 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？你能证明这个结论吗？ 归纳：垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________上． 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点 P 在线段 AB 的______________上． 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 归纳：这两个命题的题设、结论正好________．我们把具有这种关系的两个命题叫作________．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的___________． 试一试：说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 归纳1：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能_________． 归纳2：如果一个定理的逆命题经过证明是_____命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作_____定理，其中一个定理叫作另一个定理的__________．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A．21 B．9 C．18 D．13 2．下列命题是假命题的是（　　） A．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．两直线平行，同位角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和 3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 选做题： 4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，求的长． 选做题： 4．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【综合拓展类作业】 5．作图题：如图，、是两条笔直的交叉公路，M、N是两个车站，现欲建一个加油站P使得此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距离也相等，此加油站P应建在何处？要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法．
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分课时教学设计
第二课时《15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版八年级上册第十五章“轴对称”的第二小节第一课时，属于“图形与几何”领域的核心内容．从教材知识体系来看，它承接了前一节“轴对称图形”的概念——轴对称图形的对称轴本质是连接对称点的线段的垂直平分线，因此本节课是对轴对称性质的深化与具象化；同时，它又为后续学习等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理，以及尺规作图作线段的垂直平分线、作轴对称图形的对称轴奠定基础，是构建“轴对称-线段垂直平分线-特殊三角形”知识链条的关键环节．
学习者分析 八年级上册学生在学习本节课前，已完成“轴对称图形”的学习，明确“轴对称图形的对称轴是连接对称点的线段的垂直平分线”，这为本节课探究“线段垂直平分线”的性质提供了直接的知识关联点，能快速理解本节课内容与轴对称知识的逻辑衔接．同时，学生已掌握线段、垂直、全等三角形的判定和性质等核心几何知识，其中全等三角形的判定是本节课证明“线段垂直平分线性质与判定定理”的关键工具，学生对这一知识点的熟悉度，可降低定理证明环节的理解难度．此外，学生在之前的学习中已具备初步的几何图形观察能力，能通过测量、折叠等操作感知图形特征，为“从直观猜想过渡到逻辑证明”奠定了操作基础．
教学目标 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
教学重点 线段垂直平分线的性质和判定．
教学难点 如何用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1．什么是线段的垂直平分线？ 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线． 2．轴对称的性质是什么？ （1）成轴对称的两个图形全等． （2）成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分． 导言：轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线．角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习线段垂直平分线的定义和轴对称的性质，为进一步探究线段垂直平分线的性质及判定做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 动画演示： 预设：可以发现，P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等． 归纳：垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 追问：你能证明这个性质吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，点P在l上． 求证：PA＝PB． 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB． 当点P与点C重合 时，显然成立． 又AC＝BC，PC＝PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）． ∴PA＝PB． 讲解：当点P与点C重合时，显然成立． 垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 符号语言： ∵直线 l 垂直平分 AB， ∴ PA =PB． 思考：把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 预设：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 追问：你能证明这个结论吗？ 有两种情况： （1）当点 P 在线段 AB 外时 已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：过点P作直线 l⊥AB， 垂足为C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∴Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴AC =BC． 又PC⊥AB， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． （2）点 P 在线段 AB 上.显然点 P 是 AB 的中点，此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 归纳：垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 符号语言： ∵PA＝PB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 思考：分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 归纳：这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 试一试：说出下列命题的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3）全等三角形的对应角相等； （4）在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 解：（1）内错角相等，两直线平行，成立； （2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不成立； （3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立． 归纳1：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立． 归纳2：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． 讲解：在几何中，有许多互逆的定理．例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，“两直线平行，内错角相等”和 “内错角相等，两直线平行”也是互逆定理．学生活动3： 学生小组合作探究，班内交流汇报，然后认真听老师的讲评活动意图说明： 先让学生自己进行测量、猜想，然后利用轴对称图形的对折分别探究垂直平分线的性质和判定，并应用三角形全等的方法证明，从而得出线段的垂直平分线的性质与判定，加深学生对知识的理解．同时，通过讲解让学生理解互逆命题和互逆定理相关概念．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.1.2 线段的垂直平分线（第1课时）一、线段垂直平分线的性质 二、线段垂直平分线的判定 三、互逆命题与互逆定理教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ ） A．21 B．9 C．18 D．13 答案：D 2．下列命题是假命题的是（　　） A．在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 B．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C．两直线平行，同位角相等 D．三角形的一个外角等于两个内角的和 答案：D 3．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 证明：（1）垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）的周长为， ， ， ， ，， ． 选做题： 4．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 答案：各边垂直平分线的交点 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，点在边上，交的延长线于． (1)若是的角平分线，说明与的数量关系； (2)若点同时在的垂直平分线上，求证； (3)若，是的角平分线，直接写出与的数量关系． 解：（1）∵是△的角平分线， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点同时在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 答案：C 2．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 答案：C 3．如图，，，点C在的垂直平分线上．若，，求的长． 解：∵，， ∴垂直平分 ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴． 选做题： 4．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 答案：20 【综合拓展类作业】 5．作图题：如图，、是两条笔直的交叉公路，M、N是两个车站，现欲建一个加油站P使得此加油站到公路两边的距离相等，且离M、N两个车站的距离也相等，此加油站P应建在何处？要求：尺规作图，保留作图痕迹；不写作法． 解：如图，点P即为所求作的点．
教学反思 本节课通过类比角平分线性质引导探究，学生能通过折叠、测量感知线段垂直平分线性质，利用SAS证明定理也较顺利．但在“互逆命题”理解上，部分学生拆分题设与结论困难；应用定理解题时，少数学生混淆性质与判定的适用场景．后续需加强命题拆分练习，增设定理对比应用例题，关注基础薄弱学生的逻辑推理引导，提升教学针对性．
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