资源简介

函数的单调性与最值
教学内容分析：
本节的主要内容是函数的单调性和最值。函数的单调性是把自变量的变化和函数值的变化，定性的联系在一起，有承前启后的作用。函数的单调性与函数的概念、函数的表示法有着密切的联系，同时函数的单调性和后面要学习的函数的奇偶性。合成为函数的基本性质，使今后研究指数函数，对数函数，幂函数及其他函数的理论基础。函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材。本节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数，在某个区间上是增函数或减函数的正确定义。明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中在判断函数的增减性时，既有从图像上进行观察的方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法。最后将两种方法统一起来，形成根据图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。本节包含的核心知识和体现的核心素养如下：
核心知识 学科素养
函数单调性的概念2.函数单调性的判断及证明函数的最值概念及解题方法 直观想象数学抽象数学运算
学情分析：
学生刚刚在集合的范畴下学习了函数的概念以及函数的表示法，对高中的函数知识有了一定的了解，思维活跃，求知欲强。但是本节内容是函数中第一个较为系统研究的函数性质，学生此时并不具备函数性质学习的思路，在思维习惯上还没有形成一定的模式，虽然学生在初中阶段已经学过了一次函数，二次函数，反比例函数、正比例函数等初等函数，可以说已经对函数的单调性有了形的直观认识，也了解了用“Y随X的增大而增大（减小）来描述函数图像的上升、下降的趋势”的方法。但缺乏系统的学习及归纳总结，对知识的理解只停留在了感性认识阶段，并没有进一步的去探究，没有形成系统的知识体系。由于学生归纳总结的能力欠佳，因此本节课怎样引导学生将直观认识转化为严密的数学语言将是一个难点。
教学目标：
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
教学重点：
函数单调性的概念。
函数单调性的判断及证明
会求函数的最值。
教学难点：
函数单调性概念的形成.
根据定义证明函数的单调性．
教学方法：
启发式教学，问题式教学，分组讨论式教学
教学手段： 多媒体技术辅助教学。
教学过程：
创设情境，引入课题：
为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；
(2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？
预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
预案：(1)函数，在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数，在整个定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数，在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．
(3)函数，在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
师：我门怎样用数学符号语言来表达函数值f(x)随x值的变化而变化？
（学生讨论交流，进而得到函数单调性的概念）
多媒体展示：
师：我们研究函数的单调性，更多的是为研究函数的最值做准备的，那么数学上是怎样定义
函数的最值得？请大家看课本62页的内容。
师：哪位同学能够仿照最大值的定义给出最小值的概念呢？
设计目的：训练学生的归纳能力，激发其学习兴趣。使其在仿写的过程中进一步理解最
值的概念。
师：函数的最大值和最小值统称为函数的最值。
概念辨析：
判断题：
①．
②若函数．
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数.
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数
〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的进一步认识.
三、掌握证法，适当延展
例1 证明函数在上是增函数．
1．分析解决问题
针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取, 　　　　　　　设元
　　　　　　　 求差
　　　　　　　　变形　　
,
　　　　　　　　　　　　　　　　断号
∴
∴即
∴函数在上是增函数．　　　 定论
2．归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
问题：除了用定义外，如果证得对任意的，且有，能断定函数在区间上是增函数吗
引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
师：独立画图，并从左向右观察图形，图形是上升的还是下降的，那么函数在（)是单调递增还是单调递减 ？
生：图像从左向右看，图像是下降的，函数在（）是递减的。
师： 哪位同学能够给大家解析一下本题
生：从图像可以看出，在（），图像下降，函数单调递减。在区间（），图像上升，函数递增。当x=1时，y=。
师：函数的单调性和单调函数是一个概念吗？
（学生思考交流，讨论，教师引导，得出结论）
师：不是减函数，减函数是整体单调递减，而这是由两个减区间构成。注意整体和局部的关系。
归纳总结：1.函数的单调性，单调区间概念
2.根据定义证明函数的单调性．
3.函数的最值。
五．巩固练习：教材练习第1.2.3题
六．作业：习题2--3 A组第1,2题

展开更多......

收起↑