资源简介

基本不等式
一、设计思路
1、指导思想
本节课是北师大版高中数学必修一中第一章第3.2节第一课时的内容。它是在学生学习了不等关系，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定了重要的基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，学习基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起到了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用.是培养学生的数学核心素养,情感价值观的优质教材，所以基本不等式应重点研究。本节课以学生熟悉的风车为引入，以课本32页阅读材料的“赵爽弦图”为探究的主题，用问题串的形式引入六个问题，逐步探究得到基本不等式及基本不等式的几何解释.这样可以将学生的思维由浅到深，由易到难的激发并慢慢提高。结合教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法教学。
2、教学目标
a: 通过研究用折纸做风车,结合阅读材料的“赵爽弦图”，探究概括出基本不等式,发展学生的数学建模素养。
b:从代数结构,几何直观,数量关系，实际意义等角度分析理解基本不等式。通过阅读教材自主探究得到重要不等式,体会特殊到一般的数学思想方法。
c:初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推理素养，培养发现问题，提出问题的意识与能力。
教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
(抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识来突破难点。)
3教学内容
本节课采用新课程理念处理教材，共设四个环节，第一环节:以同学们小时候玩过的风车为引入，以课本32页阅读材料的“赵爽弦图”为探究的主题，问题串形式，阶梯式提出问题，前三个问题，通过学生的共同讨论，多媒体,几何画板动态演示等最终得出基本不等式的内容。问题4是让学生自己尝试用文字解释基本不等式。问题5是基本不等式的证明，这个环节由两名同学板演证明过程。问题6是由学生讨论得出基本不等式的几何解释。接着,阅读教材得出重要不等式。第二个环节是学以致用，迁移内化:这个环节共设置了三个例题，例1是利用基本不等式进行简单的证明。例2是一个判断题，通过本例题引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件(一正，二定，三相等)。例3是利用基本不等式的运算证明不等关系的成立。第三个环节是变式训练：共两个练习题。第四个环节是归纳总结。
采用学生阅读自学,自主探究、,动手实践、合作交流、，师生互动等方法,推导出基本不等式。本节重点是应用数形结合的思想推导，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。难点是在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
二、教学准备
学情分析
a;本教学设计主要针对基础一般偏上的班级,以问题串的形式循序渐进的展开教学.逐步提问,引导学生,激发他们思考问题的潜力.大部分学生能跟上老师的节奏探究问题课堂会很有层次感,
b; 对抽象能力较弱的学生，可增加“裁剪拼贴弦图”手工活动辅助理解；
c; 若课堂生成出现预设外的问题（如学生提出“三次均值不等式”），可转为课后探究课题。
d;根据学生作业反馈，动态调整下节课的例题难度梯度。
教学资源
本教学设计紧扣教材内容,,教师教学参考.制作课件共八页,运用了公式编辑器,几何画板,动漫展示等使学生能够很好的理解。
教学技术
多媒体计算机,几何画板软件 ,公式编辑器,,动漫展示.
教学方法: 问题串式教学,自主探究与合作交流相结合
三、教学过程
【导学】
动手操作，几何引入
我们小时候玩过风车,它是由四个全等的直角三角形构成的。这节课我们探究风车里隐藏的数量关系。
探究新知
探究：阅读课本32页的材料:如图是我国古代数学家赵爽的“弦图”，像一个风车. 在正方形中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形两条直角边长为，回答以下问题:(学生讨论)
问题1:正方形的面积为多少
问题2;四个直角三角形的面积之和为多少？
问题3：的大小关系如何？
由图可知．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件
结论： ，当且仅当时取等号。
这个不等式称为基本不等式，其中称为的算术平均值，称为的几何平均值。因此，基本不等式又称为均值不等式。
问题4：如何用文字解释基本不等式？
两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
问题5：如何证明基本不等式的成立？（两名学生板演）
思考：你能用代数方法（不等式的性质）给出这两个不等式的证明吗？
方法一（作差法）：
==
，当时取等号．
方法二：因为
所以
即
得
当时取等号
问题6：如何从几何角度出发，解释基本不等式？
如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．
引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,
得到不等关系：
基本不等式的几何意义是：半弦长不大于半径长。
展示课题内容：
重要不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）
基本不等式 ，则（当且仅当时，等号成立）
3，学以致用,迁移内化
例1. 已知,求证:
例2. 判断 , 是否成立 （ ）
（引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件：“一正、二定、三相等”.）
例3. 已知 ， 求证
（巩固学生对基本不等式的理解.）
4 变式练习：
变式1：若，求的最小值。
变式2：若，求的最大值。
归纳小结
这节课你收获了什么？
1 知识:
（1） 赵爽弦图
（2） 重要不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）
基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）（“一正、二定、三等”）
（3）代数证明，几何解释，应用
2 数学思想：从特殊到一般的数学思想； 数形结合思想。
布置作业，课后延拓
（1）基本作业：课本P28 练习题 3，4题
（2）拓展作业：课本P30 A组 第5题，尝试交流完成。
四 教学反思
1,本节课主要采用问题串的形式展开教学,效果较好，循序渐进，大部分学生能够跟上课堂教学，但是对于基本不等式的证明,我们一班有七八个学生思路不清晰.大部分学生对于基本不等式的几何解释，思路欠佳，需要老师一步一步的引入，但是在三班有五个同学思维特别敏捷，说明这些同学对于初中的平面几何掌握的很好。
2,我在教学过程中，对于基本不等式的几何解释引导的不恰当，不利于学生的思考。午自习要补充，解释。
3,在基本不等式的证明方法中，有一个同学提出的证明过程实质上就是分析法证明，但因为，我们没有完整的学习分析法，所以，我就把他的证明过程引导到方法二了，告诉学生他的思路正确,但是书写过程要规范。
D
C
A
B
E
O
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