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《二次函数的图象与性质》教学设计
一、教学目标
1.夯实基础：通过完整的列表、描点、连线作图过程，学生能够准确画出二次函数y=ax2的图像，理解抛物线的基本特征，掌握开口方向、对称轴、顶点坐标等核心概念，构建二次函数图像的知识体系。
2.提升能力：在观察、比较不同系数二次函数图像的过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力；通过分析a、h、k对图像形状和位置的影响规律，发展学生分析问题、解决问题的能力。
3.渗透思想：让学生在“由数想形、由形定数”的探究过程中，深刻体会数形结合思想的价值，培养从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法，形成用函数观点认识世界的意识。
4.积累经验：通过小组合作、自主探究、软件验证等多种学习方式，积累数学活动经验，培养严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯，提升数学探究的综合素养。
二、教学重点与难点
教学重点：二次函数y=ax2图像的画法及其基本特征的理解与归纳。
教学难点：理解参数a、h、k的几何意义，特别是平移变换与函数表达式之间的内在联系。
三、教学过程
（一）情境导入，建立图像意识
“同学们，请大家看屏幕上的这张图片——这是雅典奥林匹克体育中心的拱形结构，这是赵州桥的弧形桥洞，这是喷泉水珠划过的优美轨迹。你们发现这些图形有什么共同特征吗？”
学生观察后回答：“都是弯曲的线条”“两边对称”“中间最高（或最低）”。
“很好！这种曲线在数学中被称为抛物线。今天，我们就来研究一类能够产生抛物线的函数——二次函数。我们已经学习过一次函数的图像是直线，那么二次函数的图像会是什么样子？除了用表达式和表格表示函数关系外，图像有什么独特的优势？”
（二）动手操作，探究y=ax2的图像
第一环节：绘制y=x2的图像
“让我们从最简单的二次函数y=x2开始。请各位同学在坐标纸上完成它的图像绘制。”
引导学生分三个步骤进行：
1、精心列表选点：“选点要有策略性，既要选x=0，也要选正数和负数，比如-3、-2、-1、0、1、2、3，这样才能全面反映图像特征。请大家计算对应的y值，完成表格。”
2、准确描点定位：“描点时要细心，坐标要准确。既要描第一象限的点，也要描第二象限的点。”
3、观察连线成图：“观察这些点的分布，你们发现了什么规律？对，它们呈现出对称分布的特点！现在请用光滑的曲线把这些点连接起来。”
第二环节：观察归纳图像特征
“观察你画出的图像，它具有哪些特征？请从形状、对称性、特殊点等角度进行描述。”
总结：
图像是一条开口向上的抛物线
关于y轴对称
顶点在原点(0,0)，是最低点
从顶点向左、右两侧，图像都上升
顶点是抛物线的重要特征点，对于y=x2，顶点就是原点
第三环节：探究a对图像的影响
“现在请大家在同一坐标系中画出y=2x2和的图像，比较它们与y=x2的异同。”
学生通过作图发现：
三者都是开口向上的抛物线
y=2x2的图像比y=x2“瘦”
的图像比y=x2“胖”
“如果a是负数呢？比如y=-x2会怎样？”
学生通过推理和验证，得出：
a>0时，开口向上；a<0时，开口向下
∣a∣越大，开口越窄；∣a∣越小，开口越宽
教师总结：“a就像是抛物线的'体型调节器'，不仅决定开口方向，还控制着开口大小。”
（三）深化理解，探究平移类二次函数
第一环节：探究y=ax2+k的图像
“现在我们来看y=2x2+1和y=2x2-1，请大家先独立完成图像绘制，然后思考：它们与y=2x2有什么联系？”
学生画图后很快发现：
三条抛物线形状完全相同
y=2x2+1的图像是由y=2x2向上平移1个单位得到
y=2x2-1的图像是由y=2x2向下平移1个单位得到
教师追问：“如果是一般的y=ax2+k呢？k值的正负对图像位置有什么影响？”引导学生得出k值控制图像上下平移的规律。
第二环节：探究y=a(x-h)2的图像
“如果我们改变x的形式，比如y=2(x-1)2，它的图像又会发生什么变化？请自行分组完成表格并画出图像，看哪个组最先发现规律。”
学生通过填表、描点、连线，热烈讨论后发现：
y=2(x-1)2的图像是由y=2x2向右平移1个单位得到
y=2(x+1)2的图像是由y=2x2向左平移1个单位得到
“太棒了！你们发现了平移的奥秘。那么对于一般的y=a(x-h)2，h值的正负对图像位置有什么影响？”引导学生总结出h值控制图像左右平移的规律。
第三环节：归纳y=a(x-h)2+k的特征
“现在我们把两种情况结合起来，对于y=a(x-h)2+k，它的图像特征是怎样的？”
引导学生共同完成特征表格：
分层练习，巩固提升
1、基础练习
（1）指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
①y=3(x 2)2+1
②y= 2(x+1)2 3
③y=12x2+2
（2）判断下列说法是否正确，并说明理由：
①函数y= 3(x 1)2+2的图像开口向上
②函数y=2(x+2)2的对称轴是x=2
③函数y= (x 3)2+4的顶点坐标是(3,4)
（3）画出下列函数的图像草图（标出关键点）：
①y= 12(x 1)2+2
②y=(x+2)2 1
③y=2x2+3
2、拓展应用
（1）喷泉问题：某喷泉的水流高度h（米）与时间t（秒）满足h= 5t2+20t。请问：
①喷泉最高能达到多少米？
②最高点出现在第几秒？
③请画出水流高度随时间变化的示意图。
（2）小球抛射问题：小明在操场上以初速度向上抛掷一个小球，小球离地高度h（米）与时间t（秒）的关系为h= 4t2+12t+1.5。请回答：
①小球出手时的高度是多少？
②小球能达到的最大高度是多少？
③经过多少秒后小球落回地面？
（五）课堂总结，构建知识体系
“通过今天的学习，你有哪些收获？请从知识、方法、思想三个层面进行总结。”
学生发言：
“我知道了二次函数的图像是抛物线，a控制开口，h、k控制位置。”
“我学会了通过顶点式快速分析函数图像特征的方法。”
“数形结合让抽象的数学变得直观易懂。”
教师最后强调：“数学学习就是要善于从具体例子中发现一般规律。今天我们从几个具体的二次函数图像中抽象出了y=a(x-h)2+k的一般性质，这种从特殊到一般的思想方法对我们今后的学习很有帮助。”
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