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《反比例函数的图象与性质》教学设计
一、教学目标
1、夯实基础：掌握反比例函数图象的画法，理解其“双曲线”的特征与性质，明确k的符号对图象位置的决定作用，构建完整的知识体系。
2、提升能力：通过观察、对比与分析不同图象，提升学生发现、提出、分析并解决问题的能力，以及运用数形结合进行逻辑推理与概括的能力。
3、渗透思想：在“式与形”的探究循环中，深刻体会数形结合思想，并通过分类讨论案例，培养从特殊到一般的数学思维方法。
4、积累经验：通过合作探究、操作验证等多种学习方式，积累数学活动经验，培养严谨的科学态度和良好的合作习惯。
二、教学重难点
教学重点：反比例函数图象的画法及其核心性质（图象位置、增减性）。
教学难点：理解“在每一象限内”这一增减性前提的重要性，避免跨象限比较大小；理解反比例函数图象与坐标轴“无限接近，永不相交”的极限思想。
三、教学过程
（一）创设情境，温故引新
1、情境导入：
“我们学过，当矩形的面积固定为12时，它的长x和宽y存在着怎样的关系？这是一个反比例函数。之前我们用表达式和表格来表示它，今天，我们要为它‘画像’，研究它的图象——‘双曲线’。”
2、温故知新：
“回忆一下，我们画一次函数y=kx+b图象的步骤是什么？那就是列表、描点、连线。那么，猜一猜，反比例函数的图象会是一条直线吗？为什么？”引导学生初步猜想，激发认知冲突。
（二）活动探究，构建新知
活动一：绘制雏形——初识双曲线
任务：在坐标纸上画出函数的图象。
1、列表——引导科学选点：
“为了使图象清晰、准确，我们应如何选取x的值？x的取值能任意吗？”（引导学生讨论得出：要对称、均匀、有代表性，并便于计算。）
师生共议：共同确定x的取值：-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6。学生独立计算并完成表格。
2、描点——强调精准定位：
教师巡视学生依据表格，在坐标纸上精准描点，重点关注学生对于负值点的描点情况，如点(-2,-3)是否在第三象限。对个别有困难的学生进行指导，强调点的坐标与象限的一一对应关系。
3、连线——揭示曲线特征：
“请大家观察这些点的分布，它们有什么规律？（引导学生发现点成群地分布在第一和第三象限，且呈现出一种对称的趋势）。现在，请用一条光滑的曲线，顺势连接这些点。”
形成概念：教师展示标准图象，并指出：“这样两支关于原点对称的曲线，我们称之为双曲线。它由分别位于第一、第三象限的两支组成。”
活动二：对比归纳——洞察k的符号规律
任务：小组合作，在同一坐标系中画出的图像，并与对比。
1、小组合作：
学生分组完成绘图。
讨论问题：两个函数的图象有什么相同点与不同点？图象可能与x轴或y轴相交吗？为什么？
2、汇报交流与深度引导：
（1）相同点：都是双曲线，都由两支曲线组成，都不与坐标轴相交。
深究：“为什么永不相交？”引导学生从解析式分析：∵x≠0，∴图象与y轴无交点；∵k≠0，y≠0，∴图象与x轴无交点。
结论：图象以坐标轴为渐近线。
（2）不同点：的图象在一、三象限；的图象在二、四象限。
教师提炼：“由此可见，决定反比例函数图象位置的关键是符号k！”
活动三：细致观察——理解增减性内涵
任务：观察、、的图象，探究其增减性。
1、聚焦第一象限：
“观察在第一象限的图象，当x的值逐渐增大时，对应的y值如何变化？”并引导学生从表格中找数据验证。
2、聚焦第三象限：
“再看第三象限，当x从-6增大到-1时，y值如何变化？”引导学生计算验证：y从-1减小到-6。
形成初步结论：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小。
3、设置认知冲突，深化理解：
“我有两个点A(-2,-3)和B(2,3)，都在上。当x从-2增大到2，y从-3变到3，这不是增大了吗？这和我们的结论矛盾吗？”
引发学生激烈讨论。
教师点拨：“点A和点B在同一个象限内吗？我们的结论前提是什么？这是我们理解反比例函数增减性的关键，必须强调‘在每一象限内’这个前提。”
活动四：几何探秘——发现“面积守恒”
任务：在图象上任取几点，计算其与坐标轴围成的矩形面积。
1、特殊点发现：
“在点P(3,2)处，向x轴、y轴作垂线，得到矩形OAPB。这个矩形的长和宽是多少？面积呢？再换成其他点试试，矩形面积是多少？”
2、提出猜想：
“你发现了什么惊人的秘密？面积总是6！这个6，和我们函数中的哪个数有关系？与k的值有关。”
3、验证与证明：
“这究竟是巧合还是必然的规律？我们能否从解析式上证明它？”
师生共证：设图象上任一点P坐标为(a，)，则矩形的长和宽分别为|a|和||，所以面积S=|a|×||=|6|=6。
得出结论：对于，其图象上任意一点与坐标轴围成的矩形面积恒为|k|。这是一个非常优美且重要的性质。
（三）应用新知，分层演练
1、基础巩固：
（1）图象与象限判断：判断下列函数的图象分别位于哪几个象限？
①；②
（2）函数值大小比较：已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数的图象上。
①若0②若x1（3）“面积守恒”性质应用：已知点P(4,2)在反比例函数的图象上。
①求k的值。
②过点PP分别作x轴和y轴的垂线，求所得矩形的面积。
2、能力提升：
（1）图象与性质综合：已知反比例函数
①它的图象位于哪几个象限？
②若点M(a,b)在此图象上，且a>0，那么b______0（填“>”、“<”或“=”）。
③若点N( 1,y1)，Q(3,y2)都在此图象上，不通过计算，直接判断y1与y2的大小关系。
（2）图象交点与数形结合：在同一平面直角坐标系中，画出函数与y=x+3的图象示意图。
①观察图象，它们有几个交点？交点分别位于哪几个象限？
②选择其中一个交点，通过解方程的方法验证其坐标。
（3）实际应用与建模：一项工程，每天完成的工作量相同。如果每天派6人，需要10天完成。
①写出施工人数x（人）与所需天数y（天）之间的函数关系式。
②画出该函数图象的示意图。
③如果要求5天内完成，那么每天至少需要派多少人施工？
（四）课堂小结，反思升华
“通过这节课的探索，你有哪些收获？印象最深的是什么？”
引导学生从知识（图象、性质）、方法（数形结合、从特殊到一般）、思想（分类讨论、函数模型）等多维度进行总结。
教师用结构化的板书进行最后梳理，强化知识体系。
板书设计

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