资源简介

《一次函数的图像》教学设计
一、教学目标
1.夯实基础：通过列表、描点、连线的作图过程，让学生掌握函数图像的基本画法，理解正比例函数和一次函数图像都是直线这一基本事实，构建函数图像的知识体系。
2、提升能力：在观察、比较不同函数图像的过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力；通过分析k、b对图像的影响规律，发展学生分析问题、解决问题的能力。
3、渗透思想：让学生在“由数想形、由形定数“的探究过程中，深刻体会数形结合思想的价值，培养从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维方法。
4、积累经验：通过小组合作、自主探究、软件验证等多种学习方式，积累数学活动经验，培养严谨求实的科学态度和合作交流的学习习惯。
二、教学重点与难点
教学重点：正比例函数和一次函数图像的画法及特征
教学难点：理解k、b的几何意义及函数图像与实际问题的联系
三、教学过程
（一）创设情境，建立图像概念
“同学们还记得我们春游时坐摩天轮的情景吗？假如用h表示高度，t表示时间，那么h和t之间的函数关系除了用表达式、表格表示外，还能用什么方式直观呈现？”
在黑板上画出坐标系的草图，边画边说：“我们可以建立这样的平面直角坐标系，用横轴表示时间t，纵轴表示高度h，把每一个时间点和对应的高度在坐标系中描出来，这些点组成的图形就是函数图像。”
接着引导学生思考：“通过图像，我们一眼就能看出高度的变化趋势——什么时候在上升，什么时候在最高点，什么时候在下降。今天，我们就来研究一次函数的图像有什么特征。”
（二）动手操作，探究正比例函数图像
第一环节：绘制y=2x图像
“我们从最简单的正比例函数开始，请大家在坐标纸上画出y=2x的图像。”
引导学生分三步进行：
（1）精心选点：“选点要有代表性，既要选x=0，也要选正数和负数，比如-3、-2、-1、0、1、2、3，这样才能全面反映图像特征。”
（2）准确描点：“描点时要细心，坐标要准确。比如当x=2时，y=4，这个点要描在(2,4)的位置。”
（3）谨慎连线：“观察这些点的位置，你们发现了什么？对，它们都在一条直线上！现在我们用直尺把这些点连起来。”
第二环节：对比研究不同k值的影响
“现在请大家在同一坐标系中再画出y=-3x的图像。画完后小组讨论：这两个图像有什么相同点？有什么不同点？”
在学生讨论时，巡视指导，发现有的学生描点不够准确，及时提醒：“这个点的纵坐标应该是-6，你再仔细算算。”还有的学生连线不用直尺，强调：“函数图像必须是精确的直线，不能随手画。”
通过对比，引导学生总结规律：“看来，所有正比例函数图像都是过原点的直线。当k>0时，图像从左向右上升，像爬坡；当k<0时，图像从左向右下降，像下坡。”
（三）深化探究，理解一次函数图像
第一环节：发现平移规律
“现在我们来看一次函数y=2x+1。请大家先独立完成图像绘制，然后思考：这个图像与y=2x的图像有什么关系？”
学生画图后很快发现：“老师，这两条直线是平行的！““y=2x+1的图像相当于把y=2x的图像向上平移了1个单位。”
追问：“如果b是负数呢？比如y=2x-1会怎样？”学生通过作图验证了向下平移的规律。
第二环节：探究k、b的几何意义
四个小组分别研究：
第一组：y=3x+1和y=3x-2（平行关系）
第二组：y=-x+1和y=3x+1（与y轴交点相同）
第三组：y=4x-3（k值最大，上升最快）
第四组：y=-x+1（k为负，y随x增大而减小）
深入到小组进行指导：“你们组研究的这两个函数，图像有什么特点？k值相同意味着什么？b值不同又说明什么？”
第三环节：几何画板验证
“刚才我们都是通过手工作图得出结论，现在我们用几何画板来验证一下。”动态演示k值变化时直线的倾斜程度变化，b值变化时直线的上下平移。
学生们惊奇地发现：“原来k值越大，直线越陡！““b值就像调节器，控制着直线的上下位置。”
（四）分层练习，巩固提升
1、基础练习：
请在同一坐标系中画出下列函数的图像，并观察它们之间的关系：
（1）y=x-1
（2）y=x+1
（3）y=x
（4）y=2x-2
（5）y=-x+3
观察与思考：
第1、2、3题的三条直线有什么位置关系？为什么？
第4题与其他直线相比，倾斜程度有什么不同？这说明了什么？
第5题的直线与其他直线相比，变化趋势有什么特点？
2、拓展应用：
（1）函数值比较：
当x从0开始逐渐增大时，函数y=2x+6和y=5x-2：
哪个函数值先超过10？哪个先超过20？
这说明了什么数学规律？
（2）实际问题解决：
一根蜡烛原长20厘米，每分钟燃烧掉2厘米：
写出剩余长度y（厘米）与燃烧时间x（分钟）的函数关系式
画出这个函数的图像
根据图像回答：8分钟后蜡烛还剩多长？蜡烛在哪一时刻完全燃尽？
（五）课堂总结，构建知识体系
引导学生自主总结：“通过今天的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？”
学生纷纷发言：“我知道了k决定直线的倾斜方向和程度，b决定直线与y轴的交点。”“我明白了为什么一次函数的图像都是直线。”“根据k、b的值想象出函数图像的大致位置了。”
最后我强调：“数学学习就是要善于从具体例子中发现一般规律。今天我们从几个具体的函数图像中发现了k、b的作用，这种从特殊到一般的思想方法对我们今后的学习很有帮助。”
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