资源简介

2.1认识有理数
【题型1】正数与负数的概念及表示方法 5
【题型2】对具有相反意义的量的了解 6
【题型3】用正负数表示相反意义的量 7
【题型4】正数与负数中数字变化规律探究 8
【题型5】正负数的实际应用 8
【题型6】有理数的概念 10
【题型7】0的意义 11
【题型8】有理数的分类 11
【题型9】带“非”字的有理数 12
【题型10】根据定义求一个数的相反数 13
【题型11】判定是否为相反数 13
【题型12】化简多重符号 14
【题型13】相反数的应用 14
【题型14】绝对值的意义 15
【题型15】利用定义求数的绝对值 15
【题型16】利用绝对值的非负性解题 16
【题型17】化简绝对值 17
【题型18】利用绝对值比较两个负数的大小 17
【题型19】有理数大小比较的实际应用 18
【题型20】绝对值方程 19
【题型21】绝对值的其他应用 20
【题型22】数轴的三要素及其画法 20
【题型23】用数轴上的点表示有理数 21
【题型24】根据点在数轴上的位置来确定数 22
【题型25】数轴上的动点问题 23
【题型26】数轴上两点之间的距离 24
【题型27】利用数轴上的点比较大小 25
【知识点1】正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 1.（2025春 新民市校级月考）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（　　） A．+2B．-2C．+5D．+1
【知识点2】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋 静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，-2π，-3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（　　）个． A．3B．4C．5D．6
2.（2025春 江津区校级期中）下列各数，-0.4，3.14，0.3，0，+8，0.1010010001…，其中正有理数的个数为（　　） A．3B．4C．5D．6
【知识点3】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025 汇川区四模）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A．-1.8B．1.8C．-2.2D．2.2
2.（2025 任泽区一模）用科学记数法表示的数3×10-3在数轴上的位置最接近（　　） A．点PB．点QC．点MD．点N
【知识点4】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春 丽江期末）若-（+a）=+（-6），则a的值是（　　） A．B．C．6D．-6
2.（2025 裕安区校级二模）的相反数是（　　） A．-2025B．C．D．2025
【知识点5】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5）B．与-（+0.5）C．-|-0.01|与-（-）D．与0.3
【知识点6】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋 渝中区校级月考）若|x-2|+|y-3|=0，则x2+y的值为（　　） A．-5B．5C．-7D．7
2.（2024秋 凯里市期中）若|x+3|与|y-5|互为相反数，则x+y的值是（　　） A．-3B．5C．2D．-2
【知识点7】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b． 1.（2025 福州模拟）下列四个数中最小的数是（　　） A．0B．-2C．-5D．1
2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5B．0C．3D．1
【题型1】正数与负数的概念及表示方法
【典型例题】规定：表示零上12摄氏度，记作，表示零下7摄氏度，记作（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各数 ，，，，中，负数的个数有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【举一反三2】．在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．
【举一反三4】 手机微信支付已经成为一种新型的支付方式，倍受广大消费者的青睐．如果微信零钱收入元记为元，那么微信零钱支出元记为_________元．
【举一反三5】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
，，，，+2.009，，，81．
【题型2】对具有相反意义的量的了解
【典型例题】如图是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A.发出元红包 B.收入元 C.余额元 D.抢到元红包
【举一反三1】下列选项中，属于具有相反意义的量是（ ）
A.上升6米与后退7米
B.卖出10与盈利10
C.长大1岁与减少2千克
D.收入20元与支出300元
【举一反三2】如果盈利300元用元表示，那么亏损100元表示为 元．
【举一反三3】在下列横线上填上适当的词，使前后构成具有相反意义的量：
（1）收入1500元， 5000元；
（2） 60米，下降24米；
（3）减少， ．
【举一反三4】把下列具有相反意义的量用线连接起来．
【题型3】用正负数表示相反意义的量
【典型例题】向东走-8米的意义是( )
A.向东走8米 B.向西走8米 C.向西走-8米 D.以上都不对
【举一反三1】某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示(　　)
A.水面低于标准水位
B.水面低于标准水位
C.水面高于标准水位
D.水面水深为
【举一反三2】若向北走5步记作+5步，则向南走7步记作(　　)
A.+7步 B.﹣7步 C.+12步 D.﹣2步
【举一反三3】如果某工厂把产量增产30％记为+30％，那么－10％所代表的意义是 ．
【举一反三4】下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量.
(1)节约20度电与浪费10度电；
(2)向南前进100米和向东后退20米；
(3)卖出20箱饮料与收入500元；
(4)盈利18万元和亏损15万元.
【题型4】正数与负数中数字变化规律探究
【典型例题】一组数据如下：1＋m，2－m，3＋m，4－m，5＋m，……则第2016个数是( )
A. 2016＋m B. 2016－m C. 2015＋m D. 2015－m
【举一反三1】现有一列数1，－2，3，－4，5，－6，…请你猜想一下第2016个数应该是(　　)
A. 2015 B. －2015 C. 2016 D. －2016
【举一反三2】有一列数：1，，，，，，，……第9个数是________________.
【举一反三3】现给出一列数：1＋，2＋，3＋，4＋，…，观察其特点，写出其中的第10个数是________________.
【举一反三4】如图是按一定规律排列的数阵，请猜想第10行的第1个数是什么？
【举一反三5】观查下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？
(1)-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
(2)1，，3，，5，，7，， ， ， ，…
【题型5】正负数的实际应用
【典型例题】某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为±0.03克，若从符合要求的乒乓球中随意取出两只，则这两只乒乓球的质量最多相差（ ）
A.0.03克 B.0.06克 C.2.73克 D.2.67克
【举一反三1】排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示：
则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A.-25 B.-5 C.10 D.20
【举一反三3】若贵阳市某天的最高气温记作，那么当天的最低气温零下记作 ．
【举一反三4】某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8．
（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？
【题型6】有理数的概念
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.－a是负数
B.没有最小的正整数
C.有最大的负整数
D.有最大的正整数
【举一反三1】下列说法中错误的有（ ）
①是负分数；②4．2不是正数；③自然数一定是正数；④非负有理数不包括0．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】在-4，，0，，3.14159，，0.121121112…中，有理数的个数有 个．
【举一反三3】把下列各数填在相应的大括号里：2 016，1，，，0.5，，，，0，20%．
(1)正数：{ …}；
(2)负数：{ …}；
(3)负分数：{ …}；
【举一反三4】填表：
【题型7】0的意义
【典型例题】零是( )
A.正数 B.奇数 C.负数 D.偶数
【举一反三1】下列四个选项中，不正确的是( )
A.0是自然数 B.0是偶数 C.0是有理数 D.0是最小的整数
【举一反三2】在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是________．
【举一反三3】下列关于零的说法中，正确的是_________.
①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有
【举一反三4】请写四句话，说明数“零”(0)的数学特性．
【题型8】有理数的分类
【典型例题】在数，，，，，，，，中，负分数有(　　)
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三1】在下列选项中，数的集合填写正确的是( )
A.分数：
B.非负数：
C.正数：｛0.2，1.7，…｝
D.整数：
【举一反三2】给出下列各数：，0，，，，，2004，；其中是负数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三3】在0.46，，－11，0，－3，9，－0.57，－2004，8，36，－3.5，中，正整数有 ，负分数有 ；
【举一反三4】将下列各数填入它所在的数集中．
，，3.1416，0，2023，，，95%
正数集：{ }； 整数集：{ }；
分数集：{ }； 负整数集：{ }.
【举一反三5】将下列各数填入相应的框内：①；②；③(循环)；④；⑤；⑥；⑦；⑧．(填入下面框内，填序号)
(1)； (2) .
【题型9】带“非”字的有理数
【典型例题】在，，，0，中，非负数的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【举一反三2】在数－12，π，－3.4，0，＋3，中，属于非负整数的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三3】把下列有理数填在相应的数集内：
3，，，0，，，，．
整数集合｛ …｝； 负数集合｛ …｝；
非负数集合｛ …｝； 负分数集合｛ …｝.
【举一反三4】给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内．
(1)整数：{ }． (2)分数：{ }．
(3)负数：{ }． (4)非负整数：{ }．
【举一反三5】把下列各数：，2，0，，，，，，，，，填入相应的大括号内．
正整数：{ …}； 非负整数：{ …}；
分数：{ …}； 负数：{ ……}．
【题型10】根据定义求一个数的相反数
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.和1 B.和2 C.2和 D.+2024和2024
【举一反三1】数的相反数为，则的值为( )
A.2023 B. C. D.
【举一反三2】的相反数是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】已知b是a的相反数，c的相反数是3，则的值为_____________．
【举一反三4】写出下列各数的相反数：
11.2， 9 ， 0， － .
【举一反三5】如果字母a表示一个有理数，那么它的相反数如何表示？如果a的相反数比a大，那么a是什么数？
【题型11】判定是否为相反数
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.6和 B.和 C.和 D.和6
【举一反三1】下列各对数中，是互为相反数的是﹙ ﹚
A.3与 B.与－1.5 C.－3与 D.4与－5
【举一反三2】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和4
【举一反三3】下列各对数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与 C.与2.2 D.与3
【举一反三4】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【举一反三5】在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号).
【举一反三6】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【题型12】化简多重符号
【典型例题】下列几组数中，不相等的是(　 　)
A.-3和+(-3) B.-5和-(+5) C.-7和+(-7) D.-(-2)和-(+2)
【举一反三1】( )
A. B.2 C. D.1
【举一反三2】化简： ． ． ．
【举一反三3】化简下列各式的符号，并回答问题：
__________________； __________________；
_______________； _______________．
(1)当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？
(2)当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？
你能总结出什么规律？
【题型13】相反数的应用
【典型例题】如果一个数的相反数是非负数，那么这个数是( 　　)
A.0 B.负数 C.非正数 D.正数
【举一反三1】如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C内的三个数依次为( 　 )
A.1，－2，0 B.0，－2，1 C.－2，0，1 D.－2，1，0
【举一反三2】若a，b互为相反数，则代数式的值为 .
【举一反三3】若互为相反数，且都不为零，则的值为 ．
【举一反三4】已知与互为相反数，求的值．
【题型14】绝对值的意义
【典型例题】下列说法中，正确的个数有( )
①－a一定是负数；②|－a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；⑥若，则a=b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.如果，则有
B.如果，则有
C.如果，则有
D.如果，则有
【举一反三2】已知，|a|=5，|b|=3，且a＜b，则a+b= ．
【举一反三3】代数式的最小值是 ．
【举一反三4】若|3a+5|=|2a+10|，求的值．
【举一反三5】已知|x|=2，|y﹣1|=5，且x＞y，求2(x﹣y)的值．
【题型15】利用定义求数的绝对值
【典型例题】﹣2017的绝对值是（　　）
A.﹣2017 B.2017 C.1 D.﹣1
【举一反三1】（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】思考：字母a表示一个有理数，你知道a的绝对值等于什么吗？
（1）当a是正数时，｜a｜＝ ；正数的绝对值是它本身
（2）当a是负数时，｜a｜＝ ；负数的绝对值是它的相反数
（3）当a＝0时，｜a｜＝ 0的绝对值是0
由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）．
任何一个有理数的绝对值都是 ．
即：对于不任何一个有理数a，有|a| .
【举一反三3】（1）若a、b互为相反数，，求的值．
（2）已知，a、b互为相反数，求b的值．
【举一反三4】已知，求的值．
【题型16】利用绝对值的非负性解题
【典型例题】设个有理数满足，且，则的最小值是(　　)
A.19 B.20 C.21 D.22
【举一反三1】若，则的值一定是( )
A.0 B.负数 C.非负数 D.非正数
【举一反三2】若(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，则﹣2a﹣b的值为(　　)
A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.﹣7
【举一反三3】代数式的最小值是 ．
【举一反三4】用字母表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
(1)有最_____值________；
(2)有最______值_________；
(3)当的值为________时，有最_________值__________；
(4)若，则____________．
【举一反三5】式子有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和的值，如果没有，请你说明理由．
【题型17】化简绝对值
【典型例题】化简=( )
A.π—3.14 B.3.14+π C.3.14－π D.0
【举一反三1】设a，b，c为非零实数，且，，，化简的结果是( )
A. B.b C. D.
【举一反三2】已知：|a|=3，|b|=2，且ab 0，求a+b的值等于( )
A.1或-1 B.5或-5 C.5或1 D.5或-1
【举一反三3】若|m|=﹣m，则|m﹣1|﹣|m﹣2|= ．
【举一反三4】已知|a|=3，|b|=2且|a﹣b|=b﹣a，求a+b的值．
【题型18】利用绝对值比较两个负数的大小
【典型例题】若a＜0，b＞0，在a＋b，a－b，－a＋b，－a－b中最大的是（ ）
A.a＋b B.a－b C.－a＋b D.－a－b
【举一反三1】把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列有理数比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】用“”，“”或“”填空： ， .
【举一反三4】利用绝对值比较大小
（1）-3.14与-π；
（2）与；
（3）与.
【题型19】有理数大小比较的实际应用
【典型例题】在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为( )
A.钨 B.萘 C.冰 D.固态氢
【举一反三1】下表是11月份某一天 阳市五县一区的平均气温：
濮阳市县区中该天平均气温最低的是( )
A.华龙区 B.泌阳县 C.台前县 D.范县
【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(单位：g)如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号．
【举一反三3】大于且小于3的所有整数的和为 ．
【举一反三4】一病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：(1)病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
(2)病人中午12点时体温多高？
(3)病人几点后体温稳定正常？(正常体温是37℃).
【题型20】绝对值方程
【典型例题】若，则( )
A. B. C. D.或
【举一反三1】已知方程，那么方程的解是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】能使式子成立的数是( )
A.任意一个负数
B.任意一个正数
C.任意一个数
D.任意一个非正数
【举一反三3】已知|x|=8，则x= .
【举一反三4】先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：.
解　当时，原方程可化为：，解得，
当时，原方程可化为：，解得，
所以原方程的解是，，
解方程：.
【举一反三5】已知, ,且,求的值.
【题型21】绝对值的其他应用
【典型例题】一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量(单位：克)，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】式子的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是2，则a的值是 ．
【举一反三4】已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
【举一反三5】若|a|=5，|b|=3，(1)求a+b的值；
(2)若|a+b|=a+b，求a﹣b的值.
【举一反三6】如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数(单位：g)，从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．

【题型22】数轴的三要素及其画法
【典型例题】下列数轴正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】如图，数轴表示正确的是 ．（填序号）
【举一反三3】我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．
【举一反三4】判断下面所画数轴是否正确，并说明理由
【题型23】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，在数轴上点P表示的有理数可能是（ ）
A. B. C.2.4 D.1.6
【举一反三1】已知A，B两点在数轴上表示的数是-5，1，在数轴上有一点C，满足AC=2BC，则C点表示的数为( )
A.-1 B.0 C.7 D.-1或7
【举一反三2】如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（ ）
A.-1.3 B.1.3 C.π D.2.3
【举一反三3】如图，数轴上的点A用带分数表示为_______，点B用带分数表示为_______；点C用假分数表示为______；并在数轴上用点D表示出这个数所对应的点.

【举一反三4】将分数，，用数轴上的点表示．
【题型24】根据点在数轴上的位置来确定数
【典型例题】有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( )

A. B. C. D.
【举一反三1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若﹣a＜c＜b，则实数c的值可能是(　　)
A. B.0 C.1 D.
【举一反三2】a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】a、b、c在数轴上的位置如图所示，则：
(1)用“＜、＞、＝”填空：a_____0，b_____0，c_____0；
(2)用“＜、＞、＝”填空：﹣a_____0，a﹣b_____0，c﹣a_____0.
【举一反三4】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．若|a+c|+|b|=2，求b的值．
【题型25】数轴上的动点问题
【典型例题】数轴上一动点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，若点表示的数是，则点表示的数是( )．
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…)，则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是( )．
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三2】数轴上有一动点从表示的A点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】阅读与思考
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：
已知A，B都是数轴上的点．
(1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________；
(2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________ ；
(3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________．
【举一反三4】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 的点与数轴上表示2023的点重合．
【举一反三5】一点A从数轴上表示的A点开始移动，第一次先向左平移个单位，再向右平移个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位.求：
(1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为___________；
(2)写出第二次移动结果这个点在数轴上表示的数为__________；
(3)写出第三次移动后这个店在数轴上表示的数_____________.
(4)写出第次移动结果这个店在数轴上表示的数___________.
【题型26】数轴上两点之间的距离
【典型例题】数轴上与表示﹣1的点距离10个单位的数是(　　)
A.10 B.±10 C.9 D.9或﹣11
【举一反三1】电子跳蚤游戏盘如图为，，，，如果电子跳蚤开始时在BC边的点，，第一步跳蚤从跳到AC边上点，且；第二步跳蚤从跳到AB边上点，且；第三步跳蚤从跳回到BC边上点，且；跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与之间的距离为
A.0 B.2 C.4 D.5
【举一反三2】在数轴上，与表示的点的距离等于的点为( )
A. B. C. D.和
【举一反三3】在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是______________．
【举一反三4】若数轴上表示数x的点到表示的点间的距离是5个单位长度，那么______________．
【举一反三5】如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数；
(2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．
【题型27】利用数轴上的点比较大小
【典型例题】如图，数a在原点的左边，则a，－a，0的大小关系正确的是(　　)
A.－a﹤0﹤a B.a﹤0﹤－a C.－a﹤a﹤0 D.a﹤－a﹤0
【举一反三1】、两数在数轴上位置如图所示，将、、、用“”连接，其中正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】大于－2且不大于2的所有整数是________.
【举一反三3】画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来.并用“＜”把它们连接起来.
-3，-1， ， 0， 4， 2.1认识有理数
【题型1】正数与负数的概念及表示方法 8
【题型2】对具有相反意义的量的了解 10
【题型3】用正负数表示相反意义的量 12
【题型4】正数与负数中数字变化规律探究 13
【题型5】正负数的实际应用 15
【题型6】有理数的概念 17
【题型7】0的意义 19
【题型8】有理数的分类 20
【题型9】带“非”字的有理数 21
【题型10】根据定义求一个数的相反数 23
【题型11】判定是否为相反数 24
【题型12】化简多重符号 26
【题型13】相反数的应用 27
【题型14】绝对值的意义 28
【题型15】利用定义求数的绝对值 30
【题型16】利用绝对值的非负性解题 32
【题型17】化简绝对值 33
【题型18】利用绝对值比较两个负数的大小 34
【题型19】有理数大小比较的实际应用 36
【题型20】绝对值方程 38
【题型21】绝对值的其他应用 40
【题型22】数轴的三要素及其画法 42
【题型23】用数轴上的点表示有理数 44
【题型24】根据点在数轴上的位置来确定数 46
【题型25】数轴上的动点问题 47
【题型26】数轴上两点之间的距离 50
【题型27】利用数轴上的点比较大小 52
【知识点1】正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 1.（2025春 新民市校级月考）化学实验课上，嘉嘉对4个小包装的同一药品进行了称量，以标准克数为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，下面4个选项分别是记录结果．接下来，需要选择实际克数最接近标准克数的药品来做试验，应选择（　　） A．+2B．-2C．+5D．+1
【答案】D 【分析】根据绝对值越小接近标准，可得答案． 【解答】解：|+5|＞|±2|＞|+1|，
由绝对值越小接近标准，得+1克．
故选：D． 【知识点2】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数．
我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数．
进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式．
可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．
0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2024秋 静海区校级期末）下列7个数：，1.010010001，，0，-2π，-3.141441444…（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（　　）个． A．3B．4C．5D．6
【答案】C 【分析】根据整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无理数是无限不循环小数，对各个数逐一判断即可． 【解答】解：，1.010010001，，0，都是有理数，共5个，
故选：C． 2.（2025春 江津区校级期中）下列各数，-0.4，3.14，0.3，0，+8，0.1010010001…，其中正有理数的个数为（　　） A．3B．4C．5D．6
【答案】B 【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【解答】解：，-0.4，3.14，0.3，0，+8为有理数；0.1010010001…为无理数；
∴，3.14，0.3，+8，为正有理数，
即正有理数的个数有4个，
故选：B． 【知识点3】数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 1.（2025 汇川区四模）如图，数轴上蘑菇盖住的点表示的数可能是（　　） A．-1.8B．1.8C．-2.2D．2.2
【答案】A 【分析】根据数轴的知识点进行解题即可． 【解答】解：由数轴可知，蘑菇盖住的点表示的数的范围在-2与-1之间，且靠近-2，
故-1.8符合题意．
故选：A． 2.（2025 任泽区一模）用科学记数法表示的数3×10-3在数轴上的位置最接近（　　） A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法可得3×10-3=0.003，再根据数轴的定义即可得出答案． 【解答】解：∵3×10-3=0.003，
∴在数轴上的位置最接近点Q．
故选：B． 【知识点4】相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 1.（2025春 丽江期末）若-（+a）=+（-6），则a的值是（　　） A．B．C．6D．-6
【答案】C 【分析】根据相反数的定义化简-（+a）=+（-6），得出-a=-6，即可求出a的值． 【解答】解：∵-（+a）=+（-6），
∴-a=-6，
∴a=6，
故选：C． 2.（2025 裕安区校级二模）的相反数是（　　） A．-2025B．C．D．2025
【答案】C． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是．
故选：C． 【知识点5】绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0） 1.（2025 张店区校级三模）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．-（+5）与+（-5）B．与-（+0.5）C．-|-0.01|与-（-）D．与0.3
【答案】C 【分析】先化简，根据相反数的定义：只有符号不同的两个数即可求解． 【解答】解：A．-（+5）=-5，+（-5）=-5，选项A不符合题意；
B．-（+0.5）=-0.5，与-相等，选项B不符合题意；
C．-|-0.01|=-0.01，-（-）==0.01，-0.01与0.01互为相反数，选项C符合题意；
D．-与0.3不是相反数，选项D不符合题意；
故选：C． 【知识点6】非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 1.（2024秋 渝中区校级月考）若|x-2|+|y-3|=0，则x2+y的值为（　　） A．-5B．5C．-7D．7
【答案】D． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x-2|+|y-3|=0，
∴x-2=0，y-3=0，
∴x=2，y=3，
∴x2+y=22+3=7．
故选：D． 2.（2024秋 凯里市期中）若|x+3|与|y-5|互为相反数，则x+y的值是（　　） A．-3B．5C．2D．-2
【答案】C． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x+3|和|y-5|互为相反数，
∴|x+3|+|y-5|=0，
∴x+3=0，y-5=0，
∴x=-3，y=5，
∴x+y=-3+5=2．
故选：C． 【知识点7】有理数大小比较 （1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＜0，则a＜b；
若a-b=0，则a=b． 1.（2025 福州模拟）下列四个数中最小的数是（　　） A．0B．-2C．-5D．1
【答案】C． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-5＜-2＜0＜1，
∴最小的数是：-5．
故选：C． 2.（2025 碑林区校级模拟）下列各数中，最小的是（　　） A．-1.5B．0C．3D．1
【答案】A 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-1.5＜0＜1＜3，
∴最小的数是：-1.5．
故选：A．
【题型1】正数与负数的概念及表示方法
【典型例题】规定：表示零上12摄氏度，记作，表示零下7摄氏度，记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵表示零上12摄氏度，记作，
∴表示零下7摄氏度，记作，
故选：A．
【举一反三1】下列各数 ，，，，中，负数的个数有（ ）
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】由于，， 是负数，共有3个，
故答案为：C.
【举一反三2】．在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．如图，以下检测结果中最接近标准质量的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，
∴最接近标准质量，
故选：D．
【举一反三3】六年级某班三位任课老师中，如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作 岁．
【答案】
【解析】如果语文老师的岁数比数学老师大3岁记作3岁，那么英语老师的岁数比数学老师小5岁，可以记作岁．
故答案为：．
【举一反三4】 手机微信支付已经成为一种新型的支付方式，倍受广大消费者的青睐．如果微信零钱收入元记为元，那么微信零钱支出元记为_________元．
【答案】
【解析】由题意得：微信零钱支出元记为元，
故答案为：.
【举一反三5】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？
，，，，+2.009，，，81．
【答案】解　由题意知，正数有：3.2，，+2.009，，81；
负数有：，，．
【题型2】对具有相反意义的量的了解
【典型例题】如图是某用户微信支付情况，表示的意思是（ ）
A.发出元红包 B.收入元 C.余额元 D.抢到元红包
【答案】A
【解析】由题意可知，的意思是余额减少元，在微信红包后，即为发出元
红包．
故选．
【举一反三1】下列选项中，属于具有相反意义的量是（ ）
A.上升6米与后退7米
B.卖出10与盈利10
C.长大1岁与减少2千克
D.收入20元与支出300元
【答案】D
【解析】收入20元与支出300元，具有相反意义，故此选项符合题意，其他选项都不具有
相反意义.
故选D．
【举一反三2】如果盈利300元用元表示，那么亏损100元表示为 元．
【答案】－100
【解析】盈利300元用元表示，那么亏损100元表示为元,
故答案为：－100.
【举一反三3】在下列横线上填上适当的词，使前后构成具有相反意义的量：
（1）收入1500元， 5000元；
（2） 60米，下降24米；
（3）减少， ．
【答案】（1）支出（2）上升（3）增加
【解析】本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量包含两个要素：①它们的意义相反；
②表示一定的数量．
故：（1）收入1500元，支出5000元；（2）上升60米，下降24米；
（3）减少，增加．
故答案为：支出，上升，增加.
【举一反三4】把下列具有相反意义的量用线连接起来．
【答案】解　根据相反意义量的含义得：
【题型3】用正负数表示相反意义的量
【典型例题】向东走-8米的意义是( )
A.向东走8米 B.向西走8米 C.向西走-8米 D.以上都不对
【答案】B
【解析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东走记为负，则向西走记为正，
故向东走-8米的意义是向西走8米.
故选B.
【举一反三1】某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示(　　)
A.水面低于标准水位
B.水面低于标准水位
C.水面高于标准水位
D.水面水深为
【答案】B
【解析】用正数表示水面高于标准水位的高度，
所以表示水面低于标准水位．
故选B．
【举一反三2】若向北走5步记作+5步，则向南走7步记作(　　)
A.+7步 B.﹣7步 C.+12步 D.﹣2步
【答案】B
【解析】由正负数表示具有相反意义的量可知，向北走5步记作+5步，则向南走7步应记
作﹣7步.
故选B.
【举一反三3】如果某工厂把产量增产30％记为+30％，那么－10％所代表的意义是 ．
【答案】减少10%
【解析】如果某工厂把产量增产30％记为+30％，那么－10％所代表的意义是减产10%，
故答案为减产10%.
【举一反三4】下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量.
(1)节约20度电与浪费10度电；
(2)向南前进100米和向东后退20米；
(3)卖出20箱饮料与收入500元；
(4)盈利18万元和亏损15万元.
【答案】解　(1)是，+20度与-10度.
(2)南、北不是意义相反的量，故不是.
(3)卖出和收入不是意义相反的量，故不是;
(4)是，+18万元与一15万元.
【题型4】正数与负数中数字变化规律探究
【典型例题】一组数据如下：1＋m，2－m，3＋m，4－m，5＋m，……则第2016个数是( )
A. 2016＋m B. 2016－m C. 2015＋m D. 2015－m
【答案】B
【解析】数字是一组连续的自然数，当是第奇数个时加上m，当是第偶数个时减去m.所以第2016个数是2016－m.
故选B.
【举一反三1】现有一列数1，－2，3，－4，5，－6，…请你猜想一下第2016个数应该是(　　)
A. 2015 B. －2015 C. 2016 D. －2016
【答案】D
【解析】去掉符号后的数字是一组连续的自然数，当是第奇数个时，该数为正数，当是第偶数个时，该数为负数，所以第2016个数为－2016.
故选D.
【举一反三2】有一列数：1，，，，，，，……第9个数是________________.
【答案】
【解析】分母是1的数有1个，分母是2的分数有2个，分母是3的分数有3个，分母是4的分数有4个，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，所以第9个数的分母是4，是分母为4的第3个，为.
【举一反三3】现给出一列数：1＋，2＋，3＋，4＋，…，观察其特点，写出其中的第10个数是________________.
【答案】10＋
【解析】第一个数是1＋，第二个数是2＋，第三个数是3＋，第四个数是4＋，…，第10个数是10＋.
【举一反三4】如图是按一定规律排列的数阵，请猜想第10行的第1个数是什么？
【答案】解　前9行有的数字个数为：1＋2＋3＋4＋…＋9 ＝9＋1＋8＋2＋7＋3＋6＋4＋5＝45(个)；第10行从46开始数，但数字是偶数时，它是负数，所以第1个数是－46.
答：第10行的第1个数是－46.
【举一反三5】观查下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3各数，你能说出第18个数、第101个数、第2020个数是什么吗？
(1)-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……
(2)1，，3，，5，，7，， ， ， ，…
【答案】解　(1)根据已知数据，可得数据规律为：二负一正，三个数字一个循环，这样往复下去，且数字依次增加1，后面的三个数据为：+9，-10，-11，第18个数为+18，第101个数为-101，第2020个数为-2020；
(2)根据已知数据，可得数据规律为：一正一负，且奇数数字为1、3、5、7、……，奇数为正数；偶数数字分母为2、4、6、8、……，且为负数，所以后面的三个数据为：9，-，11，第18个数为，第l01个数为101，第2020个数为．
【题型5】正负数的实际应用
【典型例题】某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为±0.03克，若从符合要求的乒乓球中随意取出两只，则这两只乒乓球的质量最多相差（ ）
A.0.03克 B.0.06克 C.2.73克 D.2.67克
【答案】B
【解析】因为某品牌乒乓球的标准质量为2.7克，误差为±0.03克，所以若从符合要求的乒乓球中随意取出两只，则这两只乒乓球的质量最多相差：（2.7+0.03）-（2.7-0.03）=0.06（克），
故选B.
【举一反三1】排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示：
则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】因为排球的标准质量为（270±10）g，即260g≤排球的标准质量≤280g，
故第7个排球不符合要求，
故选A.
【举一反三2】古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音．如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（ ）
A.-25 B.-5 C.10 D.20
【答案】B
【解析】指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦，指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，则所选的数字为负数，-5离0最近，
最接近标准音的是，
故选B.
【举一反三3】若贵阳市某天的最高气温记作，那么当天的最低气温零下记作 ．
【答案】
【解析】贵阳市某天的最高气温记作，那么当天的最低气温零下记作，
故答案为：．
【举一反三4】某检修小组甲队乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东为正，某天从A地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6；另一小组乙队也从A地出发，在南北方向检修，约定向北为正，行走记录为：﹣17，+9，﹣2，+8，+6，+9，﹣5，﹣1，+4，﹣7，﹣8．
（1）分别计算收工时，两组在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若每千米汽车耗油量为0.06升，求出发到收工甲队耗油多少升？
【答案】解　（1）甲队离A地为：+15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39，即甲队在A地的正东方向，距离A地39千米；
乙队离A地为：-17+9-2+8+6+9-5-1+4-7-8=-4，即乙队在A地的正南方向，距离A地4千米；
（2）甲队走总路程为：15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65千米，
甲队出发到收工共耗油：65×0.06=3.9升．
答：从出发到收工甲队耗油3.9升．
【题型6】有理数的概念
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.－a是负数
B.没有最小的正整数
C.有最大的负整数
D.有最大的正整数
【答案】C
【解析】当a＜0时，-a是正数，故A选项错误；最小的正整数是1，故B选项错误；
最大的负整数是-1，故C选项正确；没有最大的正整数，故D选项错误．
故选C.
【举一反三1】下列说法中错误的有（ ）
①是负分数；②4．2不是正数；③自然数一定是正数；④非负有理数不包括0．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①是负分数，说法正确；②4.2是正数，故原说法错误；
③自然数包括0，但0既不是正数，也不是负数，故原说法错误；④非负有理数包括0，故原说法错；因此，错误的说法有3个．
故选C.
【举一反三2】在-4，，0，，3.14159，，0.121121112…中，有理数的个数有 个．
【答案】5
【解析】在，，0，，3.14159，，中，有理数有，，0，3.14159，，共5个．
【举一反三3】把下列各数填在相应的大括号里：2 016，1，，，0.5，，，，0，20%．
(1)正数：{ …}；
(2)负数：{ …}；
(3)负分数：{ …}；
【答案】解　根据正数、负数、负分数的定义可知：
(1)正数：{ 2016，1，0.5，， …}；
(2)负数：{，，， …}；
(3)负分数：{， …}．
【举一反三4】填表：
【答案】解　
【题型7】0的意义
【典型例题】零是( )
A.正数 B.奇数 C.负数 D.偶数
【答案】D
【解析】0不是正数也不是负数，不是奇数，是偶数，故D正确.
故选D.
【举一反三1】下列四个选项中，不正确的是( )
A.0是自然数 B.0是偶数 C.0是有理数 D.0是最小的整数
【答案】D
【解析】0是自然数、偶数、整数，也是有理数，没有最小的整数，故D项错误的.
故选D.
【举一反三2】在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是________．
【答案】0
【解析】0既不是正数也不是负数，故填0.
【举一反三3】下列关于零的说法中，正确的是_________.
①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有
【答案】③
【解析】零既不是正数也不是负数，所以③正确，①②错误；零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，④说法错误.
故答案为③.
【举一反三4】请写四句话，说明数“零”(0)的数学特性．
【答案】解　①零既不是正数也不是负数；②零小于正数，大于负数；③零不能做分母；
④零是最小的非负数；⑤零是最小的自然数;⑥0是最大的非正数；
⑦零乘以任何数都是零等．
【题型8】有理数的分类
【典型例题】在数，，，，，，，，中，负分数有(　　)
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】B
【解析】负分数有：，，，，，共个．
故选B.
【举一反三1】在下列选项中，数的集合填写正确的是( )
A.分数：
B.非负数：
C.正数：｛0.2，1.7，…｝
D.整数：
【答案】C
【解析】π不是分数，故A错误；0不是负数，故B错误；是分数，不是整数，故D错误；0.2，1.7，是正数，C正确.
故选C.
【举一反三2】给出下列各数：，0，，，，，2004，；其中是负数的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】，，2004，是正数；0既不是正数也不是负数；
，，是负数．
故选B.
【举一反三3】在0.46，，－11，0，－3，9，－0.57，－2004，8，36，－3.5，中，正整数有 ，负分数有 ；
【答案】；
【解析】正整数： ；负分数： .
故答案为；．
【举一反三4】将下列各数填入它所在的数集中．
，，3.1416，0，2023，，，95%
正数集：{ }； 整数集：{ }；
分数集：{ }； 负整数集：{ }.
【答案】，3.1416，2023，95%；，0，2023；，3.1416，，，95%；18
【解析】正数集：{，3.1416，2023，95%}；整数集：{，0，2023}；
分数集：{，3.1416，，，95%}；负整数集：{18}．
【举一反三5】将下列各数填入相应的框内：①；②；③(循环)；④；⑤；⑥；⑦；⑧．(填入下面框内，填序号)
(1)； (2) .
【答案】解　(1)整数有②；④；⑥，⑧．正整数有⑧，正数有③(循环)；⑦；⑧．
(2)分数有①；③(循环)；⑤；⑦；负的分数有①；负数有①；④；⑤；⑥；
故答案为：(1)
(2)．
【题型9】带“非”字的有理数
【典型例题】在，，，0，中，非负数的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】，所以非负数有，0，，共三个．
故选B.
【举一反三1】在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【答案】B
【解析】根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个．
故选B.
【举一反三2】在数－12，π，－3.4，0，＋3，中，属于非负整数的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】在数－12，π，－3.4，0，＋3，中，非负整数有：0，＋3，共2个，
故选：C．
【举一反三3】把下列有理数填在相应的数集内：
3，，，0，，，，．
整数集合｛ …｝； 负数集合｛ …｝；
非负数集合｛ …｝； 负分数集合｛ …｝.
【答案】，，，；，，；
，，，，； ，
【解析】整数集合｛，，，，…｝；负数集合｛，，，…｝；
非负数集合｛，，，，，…｝； 负分数集合｛，，…｝.
【举一反三4】给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内．
(1)整数：{ }． (2)分数：{ }．
(3)负数：{ }． (4)非负整数：{ }．
【答案】解　(1)整数：0，，2，，；
(2)分数：，，，，；
(3)负数：，，，；
(4)非负整数：0，2．
【举一反三5】把下列各数：，2，0，，，，，，，，，填入相应的大括号内．
正整数：{ …}； 非负整数：{ …}；
分数：{ …}； 负数：{ ……}．
【答案】解　正整数：{2，…}；
非负整数：{2，0，…}；
分数：{，，，，，…}；
负数：{，，，，……}．
【题型10】根据定义求一个数的相反数
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.和1 B.和2 C.2和 D.+2024和2024
【答案】A
【解析】－1和1互为相反数，
故选A．
【举一反三1】数的相反数为，则的值为( )
A.2023 B. C. D.
【答案】A
【解析】因为数的相反数为，
所以的值为2023，
故选A．
【举一反三2】的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的相反数是．
故选B．
【举一反三3】已知b是a的相反数，c的相反数是3，则的值为_____________．
【答案】－3
【解析】因为b是a的相反数，c的相反数是3，
所以a+b=0,
c=－3.
a+b+c=－3.
故答案为－3．
【举一反三4】写出下列各数的相反数：
11.2， 9 ， 0， － .
【答案】解　11.2的相反数是；
9的相反数是；
0的相反数是0；
的相反数是；
的相反数是．
【举一反三5】如果字母a表示一个有理数，那么它的相反数如何表示？如果a的相反数比a大，那么a是什么数？
【答案】解　如果字母a表示一个有理数，那么它的相反数为；
如果a的相反数比a大，即，则a为负数.
故答案为；a是负数.
【题型11】判定是否为相反数
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.6和 B.和 C.和 D.和6
【答案】A
【解析】6和是互为相反数，故A符合题意；其他三项都不符合题意.
故选：A.
【举一反三1】下列各对数中，是互为相反数的是﹙ ﹚
A.3与 B.与－1.5 C.－3与 D.4与－5
【答案】B
【解析】根据相反数的概念知与－1.5互为相反数．故选B
【举一反三2】下列各组数中，互为相反数的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和4
【答案】C
【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得：只有选项C的两个数符合题意，
故选：C．
【举一反三3】下列各对数中，互为相反数的是( )
A.与 B.与 C.与2.2 D.与3
【答案】B
【解析】A．与相等；
B．与互为相反数；
C．与不是互为相反数；
D．与3不互为相反数.
故选B.
【举一反三4】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【答案】②④
【解析】-a-b=-(a+b)，①a﹣b与﹣a﹣b不互为相反数；②a+b与﹣a﹣b互为相反数；
③a+1与1﹣a不互为相反数；﹣a+b=b-a，④﹣a+b与a﹣b互为 相反数.
故互为相反数有②④.
【举一反三5】在研究有理数的相反数时，同学们有如下结论：①有理数a的相反数是负数；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为相反数；③符号不同的两个数，一定互为相反数；④非负数的相反数等于它本身.其中错误的结论是 (填序号).
【答案】①③④
【解析】①有理数a的相反数不一定是负数；错误；②在数轴上，如果两个数所对应的点到原点的距离相等，且位于原点两侧，那么这两个数互为反数；正确；③符号不同的两个数，不一定互为相反数；错误；④0的相反数等于它本身；错误
故答案为①③④.
【举一反三6】下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ．
【答案】②④
【解析】-a-b=-(a+b)，①a﹣b与﹣a﹣b不互为相反数；②a+b与﹣a﹣b互为相反数；
③a+1与1﹣a不互为相反数；﹣a+b=b-a，④﹣a+b与a﹣b互为 相反数.
故互为相反数有②④.
【题型12】化简多重符号
【典型例题】下列几组数中，不相等的是(　 　)
A.-3和+(-3) B.-5和-(+5) C.-7和+(-7) D.-(-2)和-(+2)
【答案】D
【解析】A. -3=+(-3)， A相等；
-5=-(+5)，B相等；
-7=+(-7)， C相等；
-(-2)=2，-(+2)=-2， -(-2)≠ -(+2)， D不相等.
故选D.
【举一反三1】( )
A. B.2 C. D.1
【答案】A
【解析】，
故选：A．
【举一反三2】化简： ． ． ．
【答案】2012 　　3 　　-5
【解析】 2012；3；-5.
【举一反三3】化简下列各式的符号，并回答问题：
__________________； __________________；
_______________； _______________．
(1)当前面有2022个负号时，化简后的结果是多少？
(2)当前面有2023个负号时，化简后的结果是多少？
你能总结出什么规律？
【答案】解　因为，所以－[－(－4)]=－4；
因为，；
，，；，，
故答案为：；；5；.
总结规律：若在一个数的前面有偶数个负号，则化简后的结果是其本身；若在一个数的前面有奇数个负号，则化简后的结果是这个数的相反数．
(1)当前面有2022个负号时，化简后的结果是5.
(2)当前面有2023个负号时，化简后的结果是5．
【题型13】相反数的应用
【典型例题】如果一个数的相反数是非负数，那么这个数是( 　　)
A.0 B.负数 C.非正数 D.正数
【答案】C
【解析】设这个数为a，则-a≥0，所以a≤0，这个数为非正数．
故选C．
【举一反三1】如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C内的三个数依次为( 　 )
A.1，－2，0 B.0，－2，1 C.－2，0，1 D.－2，1，0
【答案】A
【解析】由图可知A对应-1，B对应2，C对应0．
因为-1的相反数为1，2的相反数为-2，0的相反数为0，
所以 A=1，B=-2，C=0．
故选A．
【举一反三2】若a，b互为相反数，则代数式的值为 .
【答案】
【解析】因为a，b互为相反数，所以，
，
故答案为.
【举一反三3】若互为相反数，且都不为零，则的值为 ．
【答案】-1
【解析】因为a，b互为相反数， 所以
故答案为-1.
【举一反三4】已知与互为相反数，求的值．
【答案】解　3m 2与 7互为相反数，所以(3m 2)＋( 7)＝0，
解得m＝3．
故答案为3.
【题型14】绝对值的意义
【典型例题】下列说法中，正确的个数有( )
①－a一定是负数；②|－a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；⑥若，则a=b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】如果a为负数时，则-a为正数，所以-a一定是负数是错的；
因为当a=0时，|-a|=0，所以|-a|一定是正数是错的．
因为倒数等于它本身的数只有±1，所以③对．
因为绝对值都等于它本身的数是非负数，不只是1，
所以绝对值等于它本身的数是1的说法是错误的．
两个有理数的和一定大于其中每一个加数，∴⑤错误．
若，则a=b或a=-b或-a=b或-a=-b∴⑥错误．
所以正确的说法共有1个．
故选A．
【举一反三1】下列说法正确的是( )
A.如果，则有
B.如果，则有
C.如果，则有
D.如果，则有
【答案】C
【解析】A．当，时，，但，说法错误；
B．当，时，，但，说法错误；
C．如果，则有，说法正确；
D．当，时，，但，说法错误；
故选C．
【举一反三2】已知，|a|=5，|b|=3，且a＜b，则a+b= ．
【答案】-8或 -2
【解析】因为|a|=5，|b|=3， 所以a=±5，b=±3，又因为a＜b，
所以a=-5时，b=-3，a+b=-5+(-3)=-8，
a=-5时，b=3，a+b=-5+3=-2，综上所述，a+b的值为-8或-2．
故答案为-8或-2．
【举一反三3】代数式的最小值是 ．
【答案】8
【解析】表示到-3，1，5三点的距离和，
所以当=1时，有最小值，
当=1时， =4+4=8．
故答案为：8．
【举一反三4】若|3a+5|=|2a+10|，求的值．
【答案】解　|3a+5|=|2a+10|，所以3a+5=2a+10或3a+5=-(2a+10)，
解得=5或．
【举一反三5】已知|x|=2，|y﹣1|=5，且x＞y，求2(x﹣y)的值．
【答案】解　|x|=2，所以x=±2；
|y﹣1|=5，所以y=﹣4或6，
x＞y，所以y=﹣4，
当x=2，y=﹣4时，2(x﹣y)=2×6=12，
当x=﹣2，y=﹣4时，2(x﹣y)=2×2=4．
2(x﹣y)的值为12或 4．
【题型15】利用定义求数的绝对值
【典型例题】﹣2017的绝对值是（　　）
A.﹣2017 B.2017 C.1 D.﹣1
【答案】B
【解析】﹣2017的绝对值是2017，
故选：B.
【举一反三1】（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
故选A.
【举一反三2】思考：字母a表示一个有理数，你知道a的绝对值等于什么吗？
（1）当a是正数时，｜a｜＝ ；正数的绝对值是它本身
（2）当a是负数时，｜a｜＝ ；负数的绝对值是它的相反数
（3）当a＝0时，｜a｜＝ 0的绝对值是0
由此，我们可以看出，一个数的绝对值是一个非负数（不小于0的数）．
任何一个有理数的绝对值都是 ．
即：对于不任何一个有理数a，有|a| .
【答案】a 　　－a　　 0 　　非负数 　　≥0
【解析】字母a表示一个有理数，
（1）当a是正数时，｜a｜＝a，即正数的绝对值是它本身.
（2）当a是负数时，｜a｜＝－a，即负数的绝对值是它的相反数.
（3）当a＝0时，｜a｜＝0，即0的绝对值是0.
由此，我们得出一个结论：任何一个有理数的绝对值都是非负数.
【举一反三3】（1）若a、b互为相反数，，求的值．
（2）已知，a、b互为相反数，求b的值．
【答案】解　（1）a、b互为相反数，，
，；
（2），，
a、b互为相反数，
．
【举一反三4】已知，求的值．
【答案】解　因为，
所以 = ±2，=±3. a=±，b=±
当= 时， = + 时，a+b= + = ;
当= ， =－时，a+b= + (－) =.
当a=－时，b=+ 时，a+b=－+ = －；
当a=－时，b=－时，a+b =－+ ( －) = － .
综上所述，的值为或或或.
【题型16】利用绝对值的非负性解题
【典型例题】设个有理数满足，且，则的最小值是(　　)
A.19 B.20 C.21 D.22
【答案】B
【解析】因为，所以， ．
当时，取，，
则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20．
故选B.
【举一反三1】若，则的值一定是( )
A.0 B.负数 C.非负数 D.非正数
【答案】D
【解析】，
的值一定是非正数，
故选：D．
【举一反三2】若(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，则﹣2a﹣b的值为(　　)
A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.﹣7
【答案】B
【解析】(2a﹣1)2+2|b﹣3|＝0，
所以a＝，b＝3，
﹣2a﹣b＝﹣1﹣3＝﹣4．
故选B．
【举一反三3】代数式的最小值是 ．
【答案】5
【解析】，则≥5，故其最小值为：5.
【举一反三4】用字母表示一个有理数，则一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以的最小值为0，而一定是非正数，即它的值为负数或0，所以有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
(1)有最_____值________；
(2)有最______值_________；
(3)当的值为________时，有最_________值__________；
(4)若，则____________．
【答案】(1)小，1；(2)大，5；(3)|1，小；(4) -1
【解析】(1)|a|≥0，所以|a|+1≥1，|a|+1有最小值1，
故答案为：小，1；
(2)-|a|≤0，所以 5-|a|≤5，5-|a|有最大值5，
故答案为：大，5；
(3)|a-1|≥0，所以 |a-1|+2≥2，a-1=0，即a=1时，|a-1|+2有最小值2，
故答案为：1，小；
(4)，所以 a-1=0，b+1=0， 解得：a=1，b=-1，ab=1×(-1)=-1．
故答案为：-1.
【举一反三5】式子有没有最小值，如果有，请你求出这个最小值和的值，如果没有，请你说明理由．
【答案】解　∵，，
当时，有最小值．
【题型17】化简绝对值
【典型例题】化简=( )
A.π—3.14 B.3.14+π C.3.14－π D.0
【答案】A
【解析】因为3.14＜π ， 所以3.14－π＜0， 故
故选：A．
【举一反三1】设a，b，c为非零实数，且，，，化简的结果是( )
A. B.b C. D.
【答案】B
【解析】因为，，即，，所以a<0，，
∵，，， 则原式，
故选：B．
【举一反三2】已知：|a|=3，|b|=2，且ab 0，求a+b的值等于( )
A.1或-1 B.5或-5 C.5或1 D.5或-1
【答案】B
【解析】∵|a|=3，|b|=2， 所以 a=±3，b=±2．
又∵ab＞0，a=3，b=2或a=-3，b=-2．
当a=3，b=2时，a+b=3+2=5；
当a=-3，b=-2时，a+b=(-3)+(-2)=-5．
故选B.
【举一反三3】若|m|=﹣m，则|m﹣1|﹣|m﹣2|= ．
【答案】-1
【解析】因为|m|≥0，所以-m≥0，m≤0， m-1≤0，m-2≤0，
所以|m﹣1|﹣|m﹣2|=-m+1+m-2=-1.
【举一反三4】已知|a|=3，|b|=2且|a﹣b|=b﹣a，求a+b的值．
【答案】解　|a|=3，|b|=2且|a-b|=b-a，
所以b＞a，a=-3，b=±2
所以a+b=-1或-5．
【题型18】利用绝对值比较两个负数的大小
【典型例题】若a＜0，b＞0，在a＋b，a－b，－a＋b，－a－b中最大的是（ ）
A.a＋b B.a－b C.－a＋b D.－a－b
【答案】C
【解析】有理数a＜0，b＞0， 所以a+b＜b，a-b＜a，-a+b＞b，-a-b＜b，
则四个数a+b，a-b，-a+b，-a-b中最大的是：-a+b．
故选：C．
【举一反三1】把四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】，
又，
∵，
∴，
∴，
．
故选：A．
【举一反三2】下列有理数比较大小正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A. │-6│=6＜7，故本选项错误；
B. |-7.5|=7.5，|-|=8.5，则-7.5＞-，故本选项错误；
C.-（-）=＞-，故本选项错误；
D. | 3|=3，| 4|=4，则 3> 4，故本选项正确.
故答案选D.
【举一反三3】用“”，“”或“”填空： ， .
【答案】
【解析】，
；
，
.
故答案为：＞，＜．
【举一反三4】利用绝对值比较大小
（1）-3.14与-π；
（2）与；
（3）与.
【答案】解　（1）∵，-3.14>-π；
（2）∵，；
（3）∵，；
【题型19】有理数大小比较的实际应用
【典型例题】在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为( )
A.钨 B.萘 C.冰 D.固态氢
【答案】D
【解析】， 所以 熔点最低的晶体为固态氢，
故选：D．
【举一反三1】下表是11月份某一天 阳市五县一区的平均气温：
濮阳市县区中该天平均气温最低的是( )
A.华龙区 B.泌阳县 C.台前县 D.范县
【答案】C
【解析】由表格可知：，所以最低的是台前县，
故选C.
【举一反三2】测得某乒乓球厂生产的五个乒乓球的质量误差(单位：g)如下表．若检验时通常把比标准质量大的克数记为正，比标准质量小的克数记为负，则最接近标准质量的球是 号．
【答案】1
【解析】|-0.02|＜0.1＜0.2＜|-0.23|＜|-0.3|，所以1号球为最接近标准质量的球．
故选A．
【举一反三3】大于且小于3的所有整数的和为 ．
【答案】2
【解析】大于-且小于3的整数为-1，0，1，2，所以它们的和为-1+0+1+2=2．
故答案为2.
【举一反三4】一病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：(1)病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
(2)病人中午12点时体温多高？
(3)病人几点后体温稳定正常？(正常体温是37℃).
【答案】解　(1)早上7:00，最高达40.4℃；
(2)病人中午12点时体温为：40.2+0.2 1 0.8 1 0.6+0.4=37.4℃；
(3)14:00以后.
【题型20】绝对值方程
【典型例题】若，则( )
A. B. C. D.或
【答案】D
【解析】，，
当xy＞0时，x=y，
当xy＜0时，x=-y，
故答案为D.
【举一反三1】已知方程，那么方程的解是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据绝对值是2的数是±2．则方程的解是：x=±2．
故选C．
【举一反三2】能使式子成立的数是( )
A.任意一个负数
B.任意一个正数
C.任意一个数
D.任意一个非正数
【答案】D
【解析】当时，∵，所以，
，这与事实矛盾，不符合题意；
当时， ∵， ，
，这与事实矛盾，不符合题意；
当时， ∵，，等式恒成立，符合题意；
综上所述，，
故选D．
【举一反三3】已知|x|=8，则x= .
【答案】±8
【解析】根据绝对值的意义，|x|=8， 所以x=±8.
故答案为±8.
【举一反三4】先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：.
解　当时，原方程可化为：，解得，
当时，原方程可化为：，解得，
所以原方程的解是，，
解方程：.
【答案】解　因为，
当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2-4=0，解得x=2；
当3x-2<0时，原方程可化为-3x+2-4=0，解得x=；
所以原方程的解是x=2或x=.
【举一反三5】已知, ,且,求的值.
【答案】解　|x|=3，|y|=2，
所以x=±3，y=±2．
又∵xy<0，
所以x=3，y=-2或x=-3，y=2．
所以x-y=±5．
【题型21】绝对值的其他应用
【典型例题】一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量(单位：克)，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，又∵，
所以从轻重的角度看，最接近标准的是选项B中的元件．
故选：B．
【举一反三1】式子的最小值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】当绝对值最小时，式子有最小值， 即|x-2|=0时，式子最小值为0+1=1．
故选：B．
【举一反三2】若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为有两个解，所以a＞0；
因为只有一个解，所以b=0；
因为无解，所以c＜0；从而可知，.
故选D.
【举一反三3】代数式|x﹣1|+|x+a|的最小值是2，则a的值是 ．
【答案】a=1或﹣3
【解析】|x-1|+|x+a|表示在数轴上x表示的数到点1和-a的距离之和，
即可得|x﹣1|+|x+a|≥|a+1|，故|a+1|=2，解得：a=1或﹣3.
【举一反三4】已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当取得最大值时，这个四位数的最小值是 ．
【答案】1119
【解析】若使的值最大，则最低位数字最大为d＝9，最高位数字最小为a＝1即可，同时为使|c－d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，所以c为1，此时b只能为1，所以此数为1119，故答案为1119.
【举一反三5】若|a|=5，|b|=3，(1)求a+b的值；
(2)若|a+b|=a+b，求a﹣b的值.
【答案】解　(1)∵|a|=5，|b|=3，∴a=±5，b=±3，
当a=5，b=3时，a+b=8；当a=5，b=﹣3时，a+b=2；
当a=﹣5，b=3时，a+b=﹣2；当a=﹣5，b=﹣3时，a+b=﹣8.
(2)由|a+b|=a+b可得，a=5，b=3或a=5，b=﹣3.
当a=5，b=3时，a﹣b=2，当a=5，b=﹣3时，a﹣b=8.
【举一反三6】如图，检测4个篮球，其中质量超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数(单位：g)，从轻重的角度看，最接近标准的球是几号？并说明理由．

【答案】解　通过求4个篮球的绝对值得：
，，，，
的绝对值最小．
所以(4)号球是最接近标准的球．
【题型22】数轴的三要素及其画法
【典型例题】下列数轴正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】A不正确，因数轴单位长度不一致；
B．正确；
C．不正确，因缺少正方向；
D．不正确，因缺少了原点．
故选：B．
【举一反三1】下列图形是四位同学画的数轴，其中正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由数轴三要素：单位长度、正方向和原点可知，
．无正方向，错误，故不符合题意；
．符合数轴三要素，正确，故符合题意；
．单位长度不统一，错误，故不符合题意；
．无原点，错误，故不符合题意；．
故选：．
【举一反三2】如图，数轴表示正确的是 ．（填序号）
【答案】（1）（2）（3）
【解析】第（1）个图中，虽然原点偏左，但这条直线符合数轴的定义；第（2）个图中，用“1个格”表示个单位长度；第（3）个图中，用“1个格”表示150个单位长度；第（4）个图中，单位长度不统一．在数轴上，“1个格”可以表示1个单位长度，也可以表示5个单位长度，100个单位长度，0.2个单位长度……但需要注意的是，在同一数轴上，单位长度必须一致．
【举一反三3】我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．
【答案】原点 　　正方向 　　单位长度 　　负 　　正
【解析】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数．
故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正．
【举一反三4】判断下面所画数轴是否正确，并说明理由
【答案】解　1．不是直线，故所画错误；
2．不是直线，故所画错误；
3．无原点，故所画错误；
4．无单位长度，故所画错误；
5．无正方向，故所画错误；
6．数轴只有一个正方向，故所画错误；
7．数轴上右边的数总是大于左边的数，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，
故所画错误；
8．原点、正方向、长度单位都有，故所画正确．
【题型23】用数轴上的点表示有理数
【典型例题】如图，在数轴上点P表示的有理数可能是（ ）
A. B. C.2.4 D.1.6
【答案】B
【解析】设P表示的数是x，
由数轴可知：P点表示的数大于-2，且小于-1，即-2＜x＜-1，
B项符合题意.
故选B.
【举一反三1】已知A，B两点在数轴上表示的数是-5，1，在数轴上有一点C，满足AC=2BC，则C点表示的数为( )
A.-1 B.0 C.7 D.-1或7
【答案】D
【解析】如图，当点C在A与B之间时，点C表示的数是-1，当点C在B的右侧时，点C表示的数是7.故选D.
【举一反三2】如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（ ）
A.-1.3 B.1.3 C.π D.2.3
【答案】D
【解析】设被叶子盖住的点表示的数为x，则1＜x＜3，又因为x的位置比较靠近3，则表示的数可能是2.3．
故选D．
【举一反三3】如图，数轴上的点A用带分数表示为_______，点B用带分数表示为_______；点C用假分数表示为______；并在数轴上用点D表示出这个数所对应的点.

【答案】解　根据数轴上各点的位置可知，1和2之间每一小格表示个单位长度，2和3之间每一小格表示个单位长度，3和4之间每一小格表示个单位长度，
∴点A表示的数是；点B表示的数是；点C表示的数是．
表示出的点D如图所示：
【举一反三4】将分数，，用数轴上的点表示．
【答案】解　如图所示，点A表示，点B表示，点C表示．
【题型24】根据点在数轴上的位置来确定数
【典型例题】有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知：，且，
A.，结论错误；
B.，结论错误；
C.，结论错误；
D.，结论正确；
故选D．
【举一反三1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若﹣a＜c＜b，则实数c的值可能是(　　)
A. B.0 C.1 D.
【答案】D
【解析】据数轴可得﹣2＜a＜﹣1＜4＜b＜5，
∵﹣a＜c＜b，即1，即1＜c＜5， 所以实数c的值可能是．
故选D．
【举一反三2】a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：，，
A．，故A正确；
B．，故B错误；
C．，故C正确；
D．， 故D正确．
故选：B．
【举一反三3】a、b、c在数轴上的位置如图所示，则：
(1)用“＜、＞、＝”填空：a_____0，b_____0，c_____0；
(2)用“＜、＞、＝”填空：﹣a_____0，a﹣b_____0，c﹣a_____0.
【答案】(1)<，<，>；(2)>，<，>
【解析】由图知，(1)a<0， b<0， c>0；
(2)因为a<0，b<0，c>0； 所以﹣a>0，－b>0；又因为|a|>|b|，
所以﹣a>0，a﹣b<0， c﹣a>0.
【举一反三4】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|．若|a+c|+|b|=2，求b的值．
【答案】解　|a|=|c|，且a，c分别在原点的两旁， 所以a，c互为相反数，即a+c=0．
因为|a+c|+|b|=2，所以 |b|=2， b=±2． 又因为b在原点左侧，所以b=﹣2．
【题型25】数轴上的动点问题
【典型例题】数轴上一动点向左移动个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，若点表示的数是，则点表示的数是( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设数轴上的动点A表示的数是，
由于向左平移个单位到点，点表示的数是，
再向右平移个单位到，点表示的数是．
∵点表示数是，，即， 点A表示的数是．
故选D．
【举一反三1】如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上(如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…)，则数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是( )．
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，
，
数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为，
故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是，
故选：D．
【举一反三2】数轴上有一动点从表示的A点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，则运动秒后点表示的数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点以每秒个单位长度的速度运动，所以点运动秒后的路程：，
又点向右运动， 所以点运动秒后表示的数为，
故选：C．
【举一反三3】阅读与思考
如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：
已知A，B都是数轴上的点．
(1)若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是________；
(2)若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是________ ；
(3)若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是________．
【答案】(1)2 (2) (3)
【解析】(1)由题意得：，点表示的数是2；
(2)由题意得：，点表示的数是；
(3)由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B
，点B所表示的数是
【举一反三4】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字 的点与数轴上表示2023的点重合．
【答案】0
【解析】圆周上的0点与重合，，，
圆滚动了506 周到2023，圆周上的0与数轴上的2023重合，
故答案为：0．
【举一反三5】一点A从数轴上表示的A点开始移动，第一次先向左平移个单位，再向右平移个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位.求：
(1)写出第一次移动后这个点在数轴上表示的数为___________；
(2)写出第二次移动结果这个点在数轴上表示的数为__________；
(3)写出第三次移动后这个店在数轴上表示的数_____________.
(4)写出第次移动结果这个店在数轴上表示的数___________.
【答案】(1)3；(2)4；(3)5；(4)2＋n
【解析】根据数轴上点平移规律：(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为3；
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为4；
(3)第五次移动后这个点在数轴上表示的数为5；
(4)第n次移动后这个点在数轴上表示的数为2＋n.
【题型26】数轴上两点之间的距离
【典型例题】数轴上与表示﹣1的点距离10个单位的数是(　　)
A.10 B.±10 C.9 D.9或﹣11
【答案】D
【解析】与点-1相距10个单位长度的点有两个：
①-1+10=9；②-1-10=-11．
故选D.
【举一反三1】电子跳蚤游戏盘如图为，，，，如果电子跳蚤开始时在BC边的点，，第一步跳蚤从跳到AC边上点，且；第二步跳蚤从跳到AB边上点，且；第三步跳蚤从跳回到BC边上点，且；跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与之间的距离为
A.0 B.2 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由题意可得，
，，，，，
，，，，
点在AB上，且，
，点在AB上，且，
，与之间的距离为2，
故选B．
【举一反三2】在数轴上，与表示的点的距离等于的点为( )
A. B. C. D.和
【答案】D
【解析】在数轴上，与表示 1的点距离等于2的点表示的数为 1或 3．
故选：D．
【举一反三3】在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是______________．
【答案】，或
【解析】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示，
∵M，N两点所表示的数分别是1、，，，
， ， 解得：；
当点在线段上时且时，如图所示，
解得：；
当点运动到点的左边时，那只有，如图所示，
，解得：；
故点表示的数为，或．
故答案为：，或．
【举一反三4】若数轴上表示数x的点到表示的点间的距离是5个单位长度，那么______________．
【答案】4或
【解析】根据题意，得：
，
解得，或，
故答案为：4或
【举一反三5】如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，，，点C是数轴上一动点，其表示的数为x．
(1)若点C到A、B两点的距离相等，求点C表示的数；
(2)数轴上是否存在点C，使得点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．
【答案】解　(1)因为点C到A、B两点的距离相等，且点A、B间的距离为，
所以点C表示的数为．
(2)存在，且x的值为或14.5．理由如下：
因为点A、B间的距离，所以点C在不可能在点A，B之间，
所以当点C在数轴上，且到点A，点B距离之和为25时，以下两种情况：
①当点C在点A的左边时，；
②当点C在点B的右边时，．
综上所述，x的值为或14.5．
【题型27】利用数轴上的点比较大小
【典型例题】如图，数a在原点的左边，则a，－a，0的大小关系正确的是(　　)
A.－a﹤0﹤a B.a﹤0﹤－a C.－a﹤a﹤0 D.a﹤－a﹤0
【答案】B
【解析】根据图示，可得：，；
故选：B．
【举一反三1】、两数在数轴上位置如图所示，将、、、用“”连接，其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
根据数轴上右边的数总比左边大，则可得：．
故选：C．
【举一反三2】大于－2且不大于2的所有整数是________.
【答案】-1，0，1，2
【解析】如图所示：
所以大于－2且不大于2的所有整数有：－1，0，1，2.
故答案是：－1，0，1，2.
【举一反三3】画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来.并用“＜”把它们连接起来.
-3，-1， ， 0， 4，
【答案】解　用数轴表示如下：
用“＜”表示为：-3<-<-1<0<3<4.

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