资源简介

第五章一元函数的导数及其应用
5.3导数在研究函数中的应用
5.3.1函数的单调性
一、教材定位分析
本节内容是高中数学函数与导数模块的关键衔接点，上承高一已学的函数单调性定义及证明方法，下启导数在函数极值、最值求解及实际问题中的应用，是学生从“代数变形证明”转向“导数工具分析”的核心转折点，在整个高中数学知识体系中起到“方法升级”的桥梁作用。
必修第一册已经学习过函数的单调单调性、函数最值的定义，并利用定义研究了幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的单调性与最大(小)值，学生对函数的单调性、最大(小)值有了一定的了解.对于比较复杂的函数，可以借助导数加以解决.导数不仅在高中数学中有非常重要的作用，也是今后学习高等数学的重要基础.
函数的单调性是函数的重要性质，也是研究客观世界运动变化规律的最有用的知识之一，用导数研究函数的性质是一种通法.利用导数研究函数的单调性以及简单的优化问题，可以让学生感受到数学来源于生活、服务于生活，提高从数学角度发现和提出问题、分析问题和解决问题的能力，体会导数运算在数学证明中的重要作用，感悟导数的内在力量——导数精确定量地刻画变化规律.同时通过导数在研究函数中的应用，可以进一步提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.
二、学情分析
学生已经学习过函数的单调性、最大(小)值的定义，会利用函数单调性的定义、函数图象、重要不等式等知识求一些简单函数的最大(小)值.但是对于一些复杂的函数，用单调性的定义很难研究函数的图象与性质.前面学习了导数的概念、导数的几何意义，以及导数的运算法则，为利用导数来研究函数的图象与性质奠定了基础.
一、已有知识基础：薄弱点突出，衔接存在断层
1. 前序知识掌握不牢固：对高一“函数单调性定义”理解表面化，多数学生仅能判断简单一次、二次函数的单调性，无法用定义严谨证明；对“导数的几何意义与基本求导公式”记忆模糊，存在“会求导但不懂导数含义”“公式混用的问题。
2. 知识关联能力缺失：难以将“函数单调性”与“导数”建立联系，不清楚为何能用导数分析单调性，对“从代数变形证明到导数工具应用”的思维转换存在明显障碍。
二、思维能力水平：抽象思维弱，依赖直观认知
抽象逻辑推理不足：无法理解“导数符号决定单调性”的推导逻辑，对教材中“拉格朗日中值定理的几何意义”等抽象内容难以消化，更倾向于通过“图像观察”等直观方式获取知识。
解题思路单一固化：面对“利用导数求单调区间”“已知单调性求参数”等问题时，只会机械套用步骤，一旦题目条件稍有变化（如含分式、对数的函数），便无法灵活应对，缺乏举一反三能力。
三、学习习惯与态度：主动性不足，畏难情绪明显
1. 课前预习与课后复习缺位：多数学生无预习习惯，对课堂即将学习的新内容毫无了解；课后仅完成基础作业，不主动梳理知识框架，导致知识碎片化，难以形成体系。
2. 畏难情绪阻碍学习：因前期数学基础薄弱，多次经历解题失败，对“函数+导数”这类综合性较强的内容存在恐惧心理，课堂上不敢主动提问，遇到难题易放弃，学习积极性较低。
三、教学目标
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2..能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.
3.能利用导数研究函数增长的快慢，体会数形结合思想，发展直观想象素养.
四、重点难点
教学重点：利用导数求函数的单调区间.
教学难点：单调性的应用（比如：构造函数，求参数范围）.
五、教学过程
环节一：回顾旧知
问题1：在第四学期，我们已经学习了函数的导数与其单调性的关系，你还记得吗？
函数的单调性与导数的关系
前提 条件 结论
函数在区间上可导 在区间上单调递增
在区间上单调递减
在区间上是常数函数
追问：①若函数在上单调递增,则一定有吗？
答：不正确
②若函数在内恒有,则在上一定单调递增？
答：不正确
③若函数在定义域上都有,则在定义域上一定单调递增？
答：不正确
问题2：利用导数判断函数单调性的步骤是什么？
第一步,确定函数的定义域；
第二步,求出导数的零点；
第三步,用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出在各区间上的正负,由此得出函数在定义域内的单调性.
环节二：典例分析，由浅入深，逐个攻破
问题1:不含参数的函数单调性
①回归教材：求函数的单调区间．
解：函数的定义域为．对求导数，得
．
令，解得
，或．
和把函数定义域划分成三个区间，在各自区间上的正负，以及的单调性如表5.3-1所示．
表5.3-1
2
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在和上单调递增，在上单调递减
设计意图：教师通过例题规范解答向学生演示求函数单调性的步骤，让学生深刻记忆.
问题2:（高考真题再现）求函数单调性②
解：.
令，得，即；
令，得，即.
故 的单调递增区间为，，单调递减区间为，
设计意图：再做高考题，进一步感受高考题的难度。
问题2:含有参数的函数单调性
①回归教材：已知函数，讨论的单调性.
解： 的定义域为R，.
若，则，所以 在R上单调递减.
若，则令，得，
当 时，；
当 时，.
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时，在R上单调递减；
当 时，在 上单调递减，在 上单调递增.
②真题再现：已知函数，求的单调区间.
解： 的定义域为，.
若，则，故 在 上单调递减；
若，则当,时，，单调递增，
当,时，，单调递减.
综上所述，当 时，的单调递减区间为;当 时，的单调递减区间为,,单调递增区间为,.
问题3:函数单调性的应用
根据函数的单调性求参数的范围
已知函数.
若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 若函数在区间上存在单调递增区间,则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解：（1） ，因为函数 在区间 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，所以，，又，所以.故实数 的取值范围是.
解（2） 在 上存在单调递增区间，即 在 上有解，即 在 上有解，所以，又，所以，所以实数 的取值范围是.
方法总结
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）函数在区间上单调，实际上就是在该区间上（或）恒成立.
（2）函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集.
根据单调性比较大小
（多选题）下列不等式成立的是（ ）.
A. B.
C. D.
解：,则,
所以当 时,,函数 单调递增;
当 时,,函数 单调递减.
因为,所以,即,故 符合题意;
因为,所以,即,故 不符合题意;
因为,所以,即,故 不符合题意;
因为 ,所以,即 ,故 符合题意.
故选.
规律方法：
1）利用函数单调性比较大小是常见的题型，构造恰当的函数是比较大小的关键.结合所给条件的形式，依据函数和差积商的求导法则确定和哪个函数进行怎样的运算，有时还可以结合选项确定所构造函数
2）用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有：
(1)对于，构造.
(2)对于，构造.
(3)对于，构造.
(4)对于，构造.
(5)对于，构造.
(6)对于，构造.
课后练习，再巩固
1.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
解：，
函数 在区间 上不单调，
在区间 上有解，
则 在 上有解，
易知函数 在 上是减函数，
的值域为，
因此实数 的取值范围是.
2.已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）.
A. , B. , C. , D.
解：，
由题意可知，存在，使，即，
则，所以.
因为，
则当 时，取得最小值，最小值为，所以，解得.故选.
3.已知定义在,上的函数,是的导函数,且恒有成立,则（ ）.
A. B.
C. D.
解：令，，，
则.
由，，且恒有，
得，即函数 在，上单调递减.
由，得，即，
可得.
又由，得，即，可得.故选.
六：凝练升华，课堂小结
本节课回顾了那些知识点和学习了那些题型：
(1)导数与函数单调性的关系，求单调性的步骤
(2)已知单调区间求参数范围
(3)函数的单调性与比较大小
师生活动：教师提问，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、教师在学生回答的基础上进行适当的总结与反思.
设计意图：(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数单调区间的步骤，提高解题技能；
(2)利用函数单调性，可以求函数的单调区间、比较函数值的大小。
环节七：布置作业，应用迁移
1.已知奇函数的定义域为,且,则的单调递减区间为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,满足以上条件的一个函数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】； （答案不唯一）
解：由,可得 或
所以当 或 时,,当 时,,所以 的单调递减区间为.
满足条件的一个函数可以是.
2.已知函数.
（1）当时,求函数的单调递减区间;
（2）若函数在上单调,求实数的取值范围.
解：（1）由题意知,函数 的定义域为,
当 时,.
由,得,
故函数 的单调递减区间是.
（2）由题意得,.
因为函数 在 上单调,
所以当 在 上单调递增时,在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
设,因为 在 上单调递减,所以在 上,,所以.
当 在 上单调递减时,在 上恒成立,易知其不可能成立.
综上,实数 的取值范围为.
环节八板书设计

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