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函数的奇偶性
知识点1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
知识点2　函数奇偶性的性质
① 偶函数关于轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数定义域内含有，则；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
知识点3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数的奇偶性如下图
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
考点一 对函数奇偶性概念的理解
【例1-1】已知是定义在上的偶函数，那么的值是 .
【解析】依题意得，，
又(奇偶函数的定义域关于原点对称)，
，．
变式1-1：若函数是奇函数，则 ( )
A．函数是奇函数 B．函数是奇函数
C．函数是奇函数 D．函数是奇函数
【答案】
【例1-2】函数的图象关于 对称．
【解析】要使函数有意义，则，即，
解得或，则定义域关于原点对称．
此时，则函数，(化简函数形式很重要)
，
函数是奇函数，图象关于原点对称
变式1-2：函数的图象关于(　　)
．原点对称 ．轴对称 ．y轴对称 ．直线y＝x对称
【答案】
根据题意，，有，
则有，其图象关于原点对称，
故选：A．
【例1-3】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
是奇函数 是奇函数
是奇函数 是奇函数
【解析】定义法
选项：设，则为偶函数．
选项：设， 则
关系不定．
选项：设为奇函数．
选项：设为偶函数．
故选.
变式1-3：设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】
因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：．
考点二 函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【例2-1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求.
【解析】因为为定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以当时，
又因为为定义在上的奇函数，
所以，故选．
【例2-2】若函数是奇函数，为偶函数，则 .
【解析】函数是奇函数，
，即，则 ①，
为偶函数，
，即，则 ②，
由解得．
角度2 判断函数的图像
【例2-3】 函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】函数的定义域为关于原点对称，且，
(或由均是奇函数，得是偶函数)
即函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除；
又，可排除；
故选：．
变式1：已知函数f(x)的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是(　　)
A．f(x) B．f(x)＝2|x|﹣2 C．f(x)＝2|x|﹣x2 D．f(x)＝2|x|﹣|x|
【答案】 C
【解析】由函数图象可知，f(x)为偶函数，故可排除选项A；
f(0)＞0，故可排除选项B；
又当x＞0时，函数图象与x轴有两个交点，而方程ex＝x无解，故可排除D．
故选：C．
考点三 函数奇偶性的应用
【例3-1】已知是定义域为的奇函数，时，，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【答案】C
【详解】 ，由于是定义域为R的奇函数，所以，
故选：C
【例3-2】已知，则等于（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】C
【详解】函数的定义域为R，
令函数，显然，
即函数是R上的奇函数，因此，即，而，
所以.
故选：C
变式1：已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【详解】当时，函数，
当时，；当时，，
所以函数在上的值域为
因为是上的奇函数，所以的值域为，
所以的最小值是.
故选：A.
变式2：已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.
【答案】/
【详解】由函数是定义在上的奇函数，则，，
由，则.
故答案为：.
考点四 抽象函数的奇偶性
【例4-1】若函数对任意，恒有成立，且．
(1)求证：是奇函数；
(2)求的值；
(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．
【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得，
所以，故是奇函数；
（2）因为，故令得，即，
又是奇函数，所以，
令得，
令得
故；
（3）不妨设，
中，令得，
，
因为，又时，，
所以，即，
所以在R上单调递减，
故．
变式1：已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【答案】(1)，；
(2)是奇函数，证明见解析.
【详解】（1）因为函数对一切实数都有成立，，
所以当时，即，
令可得，所以，即
（2）令可得，所以，
所以，即，，
所以函数是奇函数.
题组A 基础过关练
1、已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】已知函数为奇函数，且当时，，
则.
故选：A.
2、下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
【答案】D
【详解】，都是奇函数，排除A，B.
，都是偶函数，在上递增，在递减，
故选：D．
3、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12 B．12 C．9 D．－9
【答案】B
【详解】，因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
故选：B.
4、函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
【答案】
．
则，即函数是偶函数，
则函数的图象关于轴对称，
故选：．
题组B 能力提升练
5、函数为偶函数，则实数的值为　　．
根据偶函数的定义可得，对定义域得任意都成立
即对定义域内得任意的x都成立
整理可得，
6、已知函数为定义在上的奇函数，则 .
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
特别地，当时，得到．
由取，所以，所以．
再分别令和，得，，
两式相加得，且，
，
所以．
7、已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则，
所以，
因为是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
所以
即当时，函数的解析式为，
（2）由，得，
因为为奇函数，所以，
当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增，
所以，解得，
即实数的取值范围为
8、已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵函数为奇函数，则有：
当时，则，故；
当时，则；
所以在上的解析式为.
（2）当时，则，
对，且，则，故，
∴，即，
故在上为增函数，
且，则，所以当时，的值域为.函数的奇偶性
知识点1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.
② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的.
知识点2　函数奇偶性的性质
① 偶函数关于轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数定义域内含有，则；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
知识点3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到，则排除是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数的奇偶性如下图
偶函数 偶函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数
偶函数 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 偶函数
考点一 对函数奇偶性概念的理解
【例1-1】已知是定义在上的偶函数，那么的值是 .
变式1-1：若函数是奇函数，则 ( )
A．函数是奇函数 B．函数是奇函数
C．函数是奇函数 D．函数是奇函数
【例1-2】函数的图象关于 对称．
变式1-2：函数的图象关于(　　)
．原点对称 ．轴对称 ．y轴对称 ．直线y＝x对称
【例1-3】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
是奇函数 是奇函数
是奇函数 是奇函数
变式1-3：设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A． B． C． D．
考点二 函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【例2-1】设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求.
【例2-2】若函数是奇函数，为偶函数，则 .
角度2 判断函数的图像
【例2-3】 函数的图象大致为(　　)
A． B．
C． D．
变式1：已知函数f(x)的图象如图所示，则该曲线所对应的函数可能是(　　)
A．f(x) B．f(x)＝2|x|﹣2 C．f(x)＝2|x|﹣x2 D．f(x)＝2|x|﹣|x|
考点三 函数奇偶性的应用
【例3-1】已知是定义域为的奇函数，时，，则（ ）
A．0 B． C． D．2
【例3-2】已知，则等于（ ）
A．8 B． C． D．10
变式1：已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
变式2：已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.
考点四 抽象函数的奇偶性
【例4-1】若函数对任意，恒有成立，且．
(1)求证：是奇函数；
(2)求的值；
(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．
变式1：已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
题组A 基础过关练
1、已知函数为奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2、下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
3、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A．－12 B．12 C．9 D．－9
4、函数的图象关于(　　)对称
．原点 ． ．轴 ．轴
题组B 能力提升练
5、函数为偶函数，则实数的值为　　．
6、已知函数为定义在上的奇函数，则 .
7、已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求当时，函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
8、已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求实数a的值；
(2)对于，成立，求实数m的取值范围.

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