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重难点培优 函数的性质
单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
【知识梳理】
知识点1 单调性
1、函数的单调性
（1）．函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[
当时，都有，那么就说函数在区间上是 当时，都有，那么就说函数在区间上是
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设，，
若有或，则在闭区间上是 ；
若有或，则在闭区间上是 .
（2）单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
（3）函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．
2、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D，都有 ； (2) x0∈D，使得 (1) x∈D，都有 ； (2) x0∈D，使得
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
例1：（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
例2：（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
知识点2 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，-x也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于轴对称的区间上的单调性 ；
（2）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（3）复合函数的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．
（4）常见奇偶函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
例1：（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
例2：（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
例3：（2004·全国·高考真题）设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（ ）
A．0 B．1 C． D．5
例4：（1991·全国·高考真题）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（ ）
A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值
C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值
例5：（2020·山东·统考高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 周期性
1．周期函数
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数，.
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
例1：设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ．
例2：（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点4 对称性
1．函数y＝f(x)图象本身的对称性（自身对称）
轴对称
特殊情况：偶函数的图象关于直线 对称.
一般情况：若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x).
相关结论：若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(2a－x)＝f(x).
若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(－x)＝f(2a＋x).
若函数y＝f(x)的图象关于直线对称，则f(a－x)＝f(b＋x).
若f(x－a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；
点对称
特殊情况：奇函数的图象关于点 对称.
一般情况：若函数y＝f(x)的图象关于点对称，则f(a－x)＝－f(a＋x).
相关结论：若函数y＝f(x)的图象关于点对称，则f(2a－x)＝－f(x).
若函数y＝f(x)的图象关于点对称，则f(－x)＝－f(2a＋x).
若函数y＝f(x)的图象关于点对称，则f(a－x)＝－f(b＋x).
若f(x－a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ；
2．两个函数图象的对称性（相互对称）
（1）函数与的图象关于直线 对称.
（2）函数与的图象关于点 对称.
（3）互为反函数的两个函数关于直线对称.
拓展：函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数的图象有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数的图象有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
例1：（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
例2：（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
例3：（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
例4：（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习】
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
2．（1983·全国·高考真题）在直角坐标系内，函数的图象（ ）
A．关于坐标轴、原点都不对称 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
3．（2002·江苏·高考真题）函数f (x)＝1－（ ）
A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增
C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减
4．（2007·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2003·辽宁·高考真题）与曲线关于原点对称的曲线为（ ）
A． B． C． D．
6．（2005·天津·高考真题）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2007·全国·高考真题）已知函数是定义在R上的函数，，则“均为偶函数”是“为偶函数”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
9．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知，当时，的最小值是，则（ ）
A． B． C． D．
10．（新疆维吾尔自治区2025-2026学年高三上学期普通高考适应性检测月考试卷数学测试卷（一））已知是定义在上的函数，那么“函数在区间上单调递减”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（25-26高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，的定义域均为，，关于直线对称，且，若，则（ ）
A． B．的图象关于点中心对称
C．是偶函数 D．
三、填空题
13．（2022·上海·高考真题）若函数，为奇函数，则参数a的值为 ．
14．（2004·上海·高考真题）设偶函数的定义域为,若当时,的图象如图所示,则不等式的解集是 ．
15．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数为偶函数，且当时，，则 ．
16.函数的单调递减区间是 .
17．（2005·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．
18．（2008·湖南·高考真题）已知函数．
（1）若，则的定义域是 ；
（2）若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
19．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
20．函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．

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