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解基本不等式的17种技巧
技巧1：知识过关
1.基本不等式
基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.
注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.
2..几个重要的不等式
重要不等式串：
其中，称为调和平均数，称为几何平均数，称为算术平均数，称为平方平均数
技巧2：直接运用求值
1.已知正数a，b，，则的最小值为____
2.已知为正实数，且，则的最小值是_____．
3.已知、，且，则的最大值是____
4. 已知正数、满足，则的最大值为___
5.若，则的最小值为_____．
【解析】
1.因为正数a，b满足，所以，当且仅当，即，时取等；
2.8；
3.因为、，由基本不等式可得，得，当且仅当，即，时，等号成立.
4.因为且，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为
5. 由，则，当且仅当时取“”。
技巧3：提负号()
求y＝3x 2＋ 的取值范围
求y＝x＋的取值范围
【解析】（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
技巧4：凑项()
1。当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.
【解析】∵x＞-1,∴x+1＞0.
∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.
2.已知，求函数的最大值。
【解析】因，故首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
3.函数的最小值为
【解析】因为，所以，所以≤当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
设，则的最小值是（ ）
【解析】因为，所以，，故，而，，
所以
故w＝＝≥2＋2＝4
当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝,b＝，式子取得最小值4.
技巧5：凑系数得定和()
1.已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值;
【解析】∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.
2.设，求函数的最大值。
【解析】因为 ，所以 故
当且仅当即时等号成立.
3.设-2【解析】∵-20；y=4x (5+2x)=（-2） （-2x) (5+2x)≥(-2)=-
4.已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy的最大值为
【解析】，，且，（1），
当且仅当，即，时，取等号。
5.若 都是正数，且，则的最大值是__
【解析】因为 都是正数，且，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
技巧6：取平方（遇到根式，平方后再用基本）
1.已知x，y为正实数，且x+y＝1，求的最大值.
【解析】因为ab≤，所以≤=;
2.已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
【解析】 x＝x ＝x·，下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
3.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝＋的最值.
法一：＋ ≤＝＝2
法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·≤10＋()2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝20　∴ W≤＝2
4.求函数的最大值。
【解析】注意到与的和为定值。
又，所以当且仅当=，即时取等号。 故。
5.若x>0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.
6.已知x，y为正实数，求值。
（1).＋＝1，求的最大值.
（2).＋3＝1，求的最大值.
（3).＋3＝1，求的最大值.
技巧7：分式的处理方法
一．谁幂次小同除谁
1.求的值域.
【解析】当时，分子分母同除以,则
当，所以, 当且仅当
当，故，当且仅当
当，=0 综上可知，y的取值范围是
二、配凑分子，分离分式
1.求的最小值。
【解析】因故故当且仅当
2.已知，则的最小值是（ ）
【解析】解：，因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，即的最小值是7.
三、换元:()——当被除项为式子时
1.求的值域。
【解析】本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当x>-1,即t=x+1>0时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
2.求函数y=的最小值.
【解析】令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1.
∴y==.
∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.
3.函数的最小值是___________.
【解析】令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4。
【针对练习】
1.若，则的最小值为 .
【解析】当时，，
则 ，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4.
2.若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值.
【解析】当时，
，
当且仅当，即时等号成立，故当时，的最小值为6.
3.设，求。
【解析】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
4.已知满足.若恒成立，求的取值范围.
【解析】（2）由，得，即，
不等式恒成立，即恒成立，
，当且仅当，即时取等号，
因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.
技巧8：不等式中“1”的妙用（重要）
【技巧】1.这种题型的典型特征是知道一个整式（或分式），求分式（或整式）的最小值；
2.当已知式子的数值不为1时，可以通过乘除变形让已知式子的数值变为1；
3.当分式中分子均为常数时采用乘“1”；当分子中只有一项为常数时采用换“1”。
【典例1】1的代换型
（1）已知x＞0,y＞0，x+2y=1,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，x+2y=3,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，且=1，求x+y的最小值；
已知x＞0,y＞0，x+3y=5xy，求3x+4y的最小值；
(5)已知x＞0,y＞0，x+y=1,求的最小值；
(6)已知x＞0,y＞0，x+y=1,求的最小值；
（7）已知x＞0,y＞0，=1，求的最小值；
（8）已知正数a，b满足，求的最小值；
（9），，，求的最小值为；
（10）(2025·上海)设，求的最小值．
（11）已知，且，求的最小值。
【解析】
（1）∵x＞0,y＞0,∴=()（x+2y)=1++4≥5+2=9(当，即x=y=时取等。）
（2）∵x＞0,y＞0,∴=()（x+2y)=(1++4) ≥(5+2)=3(当，即x=y=时取等。）
（3）∵=1, ∴x+y=(x+y)·()=10+.
∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.(当且仅当，即y=3x=12,即x=4,y=12时，取等。)∴x+y≥16
（4）∵x＞0,y＞0,∴，
∴（当且仅当即=1时取等。）
(5)∵x＞0,y＞0，x+y=1 ∴==1+≥1+2=1+2.
(6)∵x＞0,y＞0，x+y=1 ∴==3+≥3+2=3+2.
（7）由，且，可得，所以
，当且仅当，即，时取等号．
（8）由得，所以，
当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9.
（9）因为，所以
当且仅当时，等号成立，即的最小值为，
（10）易知，当且仅当，即时取得最小值.
（11）因为，当且仅当，即时等号成立；
【针对练习】
已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．
【解析】　∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＋＝（＋）（a+b)＝＋()≥＋2 ＝(当且仅当即b=2a=时取等）
2、 若直线过点，则的最小值等于（ ）
【解析】由已知得，则，因为，所以，故。（当，即时取等号．）
3、 若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1,2）,则2a+b的最小值为_________．
【答案】8【解析】由直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1,2）可得+=1，所以2a+b=（2a+b）（+）=4++≥4+2=8.当且仅当=，即b=4，a=2时等号成立.
若 则的最小值是（ ）
【解析】 可得 且即
所以
设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.
【解析】因为a + b = 2, b>0，所以
，当且仅当时等号成立，此时，或，
若，则，若，则所以取最小值时，.
6.已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
【解析】∵，且，∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，解得：
【典例2】构造分母型
【技巧】
1.这类题的特点是分式的分母加上了一个常数，为能使用基本不等式，需对整式按分式分母的造型进行变形；
若分式的分子或分母是二次项，需要分离常数后再凑分母，然后再用基本不等式。
有时需要对整式或分式变形才能凑出满足基本不等式的要求的式子。
（1）已知x＞0,y＞0，x+y=1,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，x+y=1,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，2x+3y=1,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，z>0,x+y+z=1,求的最小值；
已知x＞0,y＞0，,求x+2y的最小值；
已知x＞0,y＞0，x+y=1,求的最小值；
已知x (0,1)，求的最小值；
设，为正数，且，求的最小值；
已知正数满足，求的最大值;
（10），且，的最小值为 .
【解析】（1）整式变形为(x+1)+(y+3)=5，则=[(x+1)+(y+3)]）=（1+2+）≥(当且仅当时取等）
（2）整式变形为(2x+y)+(y+3)=5，则=[(2x+y)+(y+3)]）=[1+2+]≥
(当且仅当时取等）
(3)分式变形为，整式变形为(2x+2y)+(y+3)=4，则=[(2x+2y)+(y+3)]）=[2+2+]≥1+(当且仅当时取等）
（4）整式变形为（x+1）+（y+z)=2,则=[（x+1）+（y+z)]()=[1+2+]≥
（5）,求x+2y=x+2y+1-1=[(x+y)+(y+1)]-1=[(x+y)+(y+1)]()-1=4++1-1≥8
(6)分式分离常数为==x+1-2++y+1-2+=+ -1;
整式变形为(x+1)+(y+1)=3，则+ =[(x+1)+(y+1)]）=（1+1+）≥.
= + -1≥ -1=(当且仅当时取等）
（7）∵x+(1-x)=1，=）[x+(1-x)]=1+++2≥3+2;
(8)当时，=[（m+1)+(n+2)](）+1=（1+1+)+1≥+1=，当且仅当时，即取等号.
（9），因为，所以，
因此
，
（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），
所以.
（10）因为，且，所以，
所以 ，当且仅当，即时，等号成立，
【针对练习】
1、设，则的最小值为（ ）
【解析】，，
，当且仅当，
即时取等号。
2、已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值是 。
【解析】分式变形为+=+，整式变形为
(4a+2b)+(a+3b)=5,+=(+)[(4a+2b)+(a+3b)]= [2+++1]≥
3、已知a>0,b>0,a+2b=1,则+的最小值是
【解析】分式变形为++，整式变形为
(3a+4b)+(2a+6b)=5,+=(+）[(3a+4b)+(2a+6b)]= [1+++2]≥
技巧9： 消元求最值
1.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为__________．
【解析】　x2－3xy＋4y2－z＝0 z＝x2－3xy＋4y2，①
所以＝＝＋－3≥2－3＝1.等号成立条件为x＝2y，
代入到①可得z＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2，
所以x＝2y，z＝2y2，所以x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2≤2.
2.已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
法一（消元法）：a＝， ab＝·b＝
　　　由a＞0得，0＜b＜15
　　　令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二（基本不等式法）：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
　　　令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
　　　∴≤3，ab≤18，∴y≥
3.已知，，且，求的最小值。
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以.
4.已知，且，的最小值为
【解析】，当时，可取等号
5.若a，，，的最大值是
【解析】由题可得，，∴，
而，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值是，
【针对练习】
1.已知，且，则的最小值是（ ）
【解析】由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是.
2.已知，，且，则的最小值为（ ）
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立， 此时 ， .
3.已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
【解析】因为ab+a+2b=7，所以，，
所以，当且仅当时等号成立。
4.已知正数，满足，则的最小值为（ ）
【解析】根据题意可得，由，所以，（关注微信公众号：Hi数学派）
由，可得，即，
，
技巧10：“积”与“和”混合型
技巧：
1.形如求型，
2.形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
1.已知，，且满足，则的最小值为（ ）
【解析】因为，所以， 所以，
当且仅当时，即，时取等号．所以的最小值为.
2.若正实数满足，则的最小值为（ ）
【解析】由可得，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以，解得：，所以，
当且仅当即时等号成立，的最小值为.故选：D.
3.若，且，则的取值范围（ ）
【解析】由，且，则，即，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
整理得，即，
因为，所以，所以，解得.
4.若正实数满足，则的最小值为（ ）
【解析】由可得，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，所以，解得：，所以，
当且仅当即时等号成立，的最小值为.
技巧11：多次均值
1.已知，则的最小值是（ ）
【解析】因，则，
当且仅当且，即时取“=”，
所以当时，取最小值.
2.已知正实数，，满足，则的最小值为______.
【解析】因为，即，所以
，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：．
3.若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．
4.设，则的最小值是（ ）
【解析】因为，所以，
所以（当且仅当时取等号），所以，
所以，（当且仅当，即时取等号）.
技巧12：因式分解型
非负实数x,y满足2xy+x+6y-6=0,则x+2y的最小值为。
【解析】由已知得（x+3y)(2y+1)=9,x+2y=（x+3y)+(2y+1)- 4 ≥2 - 4 =2x3-4=2.仅当x+3=2y+1，2xy+x+6y-6=0即x=0,y=1时取等。
2.已知正数，满足，求的最小值.
【解析】因为，所以，即
，所以，则或即或显然，当时，，所以
，当且仅当，即时取等。
3.已知正数，满足，求的最小值.
【解析】由得，即，则或即或显然，当时，，所以
，当且仅当，即时，取得最小值.
4已知正实数a,b满足+ =1,求2+-4a - 2b的最小值。
【解析】因为+ =1，所以a>1,b>1,所以a-1>0,b-1>0。+ =1可化为（a-1)(b-1)=1.
2+-4a - 2b=2+-3 ≥2（a-1)(b-1)-3=2-3.当且仅当a=1+,b=1+时取等。
5.若实数、、，且，则的最小值为（ ）
【解析】因为，所以 ，
所以=，当且仅当时，等号成立.
技巧13：换元法
1.若，且，则的最小值为（ ）
【解析】因为，所以，又，所以，
令，，则，，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为.
2．已知，求的最小值。
【解析】由变形为，则，
由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，
此时，令，则由，
解得或（舍去） 所以的最小值为，
技巧14：三角换元
已知实数x,y满足方程++2x-2y=0,则+的最大值为。
【解析】由已知配方得+=2，令x+1=cosθ,y-1=sinθ,得x=cosθ-1,y=sinθ+1, 则+=则+≤cosθ+sinθ+1+1=2sin(θ+)+2≤4,当且仅当x=y=2或者x=y=-2时取等。
若x，y满足，求的+取值范围。
【解析】因为变形可得，设，所以，因此
技巧15配凑一元二次方程型
已知x,y为正数，且x++3y+ =10,则x+3y的最大值为。
【解析】(x+3y）+(+ )=10,同乘（x+3y)得+(+ )(x+3y）=10(x+3y）.
即- 10(x+3y）+++10=0,因为+ ≥ 2=6.
上式可化为- 10(x+3y）+16≤0，解得2≤x+3y≤8.
技巧16： 对勾函数在不等式中的 应用
1.求函数的值域。
【解析】令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
技巧17：辨别一些易乱题目的解法
典例1：已知正数a，b满足，则
求a+2b的最小值
解：采用同除法可得，（当且仅当时取等号）。
2.求ab的最小值
解：因为，所以（当且仅当时取等号）
3.求a2+4b2的最小值。
则（当且仅当时取等号）。
典例2．已知，，且，则（ ）
求xy的取值范围
解：因为，，所以，所以，
解得，即；
求x+y的取值范围
解：因为，，所以，所以，
即，解得，当且时等号成立，
又由，所以的取值范围是；
求x+4y的取值范围
解：因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以；
4.+的最小值为
解：由可得：(x+1)(y+1)=4，
从而+≥2(x+1)(x+1)=2×4=8.
当且仅当x+1=y+1时，等号成立，
故+最小值为8.
典例3： 若x，y满足，则（ ）
求xy的取值范围
解：变形得+=xy+1,因为+≥2xy,所以xy+1≥2xy，xy≤1.
求x+y的取值范围
解析：因为（a>0,b>0），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，；
求+的取值范围
解：由可变形为，解得，当且仅当时取等号，；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式．

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