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平面向量基本定理及坐标表示
课前必备知识
课标要求
1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__．
注意：(1)构成基底的两向量不共线；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
2．平面向量的正交分解
(1)把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴__方向相同__的两个__单位__向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，__(x，y)__就叫做向量a的坐标．
3．平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__；
(2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__；
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__；
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__．
4．平面向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__．
常用结论
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x2，y2≠0，则a∥b ＝.
3．中点与重心的坐标公式
(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)；
(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，).
课前训练
1．(教材母题必修6.3.3练习T2)已知A(－1，1)，B(－3，4)，平面向量的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(2，－3) D．(－2，3)
解析：D　由已知得＝(－3，4)－(－1，1)＝(－2，3)，故选D.
2．(教材母题必修6.3例4改编)已知向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则|a＋b|＝________．
解析：　因为向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则a＋b＝(－2，3)，|a＋b|＝＝.
3．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．e1和e1－e2
C．2e1－4e2和－e1＋2e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
解析：C　对于A，令e2＝m(e1＋e2)，则m不存在，所以e2，e1＋e2不共线，可以作为基底，A错误；
对于B，令e1＝n(e1－e2)，则n不存在，所以e1，e1－e2不共线，可以作为基底，B错误；
对于C，因为2e1－4e2＝－2(－e1＋2e2)，所以2e1－4e2和－e1＋2e2共线，不能作为一组基底，C正确；
对于D，令e1＋2e2＝t(2e1＋e2)，则t不存在，所以e1＋2e2，2e1＋e2不共线，可以作为基底，D错误．故选C.
4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
解析：D　因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)，所以2a＋b＝(－2，6).又(2a＋b)∥c，所以－2×3－6x＝0，x＝－1.故选D.
5．(2024·辽宁大连期末)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝________．
解析：　由＝m，
得＝＋＝(1＋)，
则＝，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
故故λ＝.
课堂核心考点
考点1　平面向量基本定理及应用
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)(2024·常德市一中校阶段考)直角梯形ABCD中，角B为直角，＝3，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：(1)B　因为E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，
所以＝，＝.
设＝λ，
则＝λ(＋)＝λ(＋3).
因为E，F，P三点共线，
所以λ＋3λ＝1，
解得λ＝，
于是＝λ(＋)＝(＋)＝a＋b.故选B.
(2)B　如图，因为＝3，＝－2，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋＋＋
＝＋＋＋×，
可得＝＋，＝＋，
又＝x＋y，
所以x＋y＝＋＝.故选B.
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
变式探究
1．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．a＋b D．－a＋b
解析：C　因为点D，E分别是AC，BC的中点，F是DE的中点，
所以＝＋＝＋ ＝＋，即＝a＋b.故选C.
2．(2025·广东惠州模拟预测)在△ABC中，M是AB的中点，＝3，CM与BN相交于点P，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________．
解析：
如图，由M是AB的中点，得＝2，
由＝3，得＝，
因为＝λ＋μ，
所以＝2λ＋μ，且＝λ＋μ，
由CM与BN相交于点P可知，点P在线段CM上，也在线段BN上，
由三点共线可得解得
所以λ＋μ＝＋＝.
考点2　平面向量的坐标运算
【例2】 (1)(2024·河北保定联考)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).若a＝mb＋nc，则m＋n的值为______________；若(a＋kc)∥2b－a，则实数k的值为______________．
解析：(1)A　因为a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，
所以c＝ma＋nb＝(2m＋n，－3m＋2n)＝(9，4)，
所以解得
所以＋＝＋＝.故选A.
(2)　－
因为向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，且a＝mb＋nc，
所以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，
所以解得
所以m＋n＝＋＝.
由题意得a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
因为(a＋kc)∥2b－a，
所以2(3＋4k)＝－5(2＋k)，解得k＝－.
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来求解．
变式探究
3．(2024·广东深圳模拟预测)已知点A(2，6)，B(－2，－3)，C(0，1)，D(，6)，则与向量＋2同方向的单位向量为(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，－) D．(－，)
解析：A　由题意得＝(－4，－9)，＝(，5)，
所以＋2＝(3，1)，
从而与向量＋2同方向的单位向量为
＝(3，1)＝(，).故选A.
4．(2025·广东中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是______________．
解析：(1，)　如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(3，0)，C(1，1)，D(0，1)，直线BD的方程为＋＝1，化简得x＋3y－3＝0，所以点C到BD的距离d＝＝，
可得以点C为圆心，且与直线BD相切的圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝.
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(0，1)，＝(3，0)，
因为＝α＋β(α，β∈R)，
所以(x，y)＝α(0，1)＋β(3，0)＝(3β，α)，
可得x＝3β且y＝α，P的坐标为(3β，α)，
因为P在圆内，(3β－1)2＋(α－1)2<，
设α＋β＝t，则α＝t－β，代入上式化简整理得
10β2－(2t＋4)β＋t2－2t＋<0，
若要上述不等式有实数解，则Δ＝(2t＋4)2－4×10×(t2－2t＋)>0，
化简得3t2－8t＋5<0，解得1所以α＋β的取值范围是(1，).
考点3　平面向量坐标运算的综合应用
【例3】 (1)(2025·广西南宁期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1，
∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·四川成都石室中学一模)在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作，点P在线段BC上，点Q在上，则|＋|的取值范围是____________．
解析：(1)A　在△OAB中，已知||＝，||＝1，∠AOB＝45°，
由正弦定理可得＝，
即＝，解得sin ∠OAB＝1，
因为0°<∠OAB<180°，则∠OAB＝90°，所以△OAB为等腰直角三角形．
以O为原点，OB所在直线为x轴，以OB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
过A作AM⊥OB于B，则OM＝AM＝，
则点A的坐标为(，)，
所以＝(，)，＝(，0)，
因为＝λ＋μ(λ，μ∈R)，
则＝λ(，)＋μ(，0)＝(λ＋μ，λ)，
则||＝
＝.
因为2λ＋μ＝3，则μ＝3－2λ，代入上式可得
||＝＝＝，
所以当λ＝时，||min＝＝，故选A.
(2)[0，]　以M为原点，MC，MA所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为AB＝AC＝2，所以BC＝2，BM＝CM＝，A(0，)，由于点Q在上，不妨设Q(cos θ，sin θ)，θ∈[0，]，P(a，0)，其中－≤a≤，
＋＝(a，－)＋(cos θ，sin θ)＝(a＋cos θ，－＋sin θ)，
所以|＋|
＝，
　　可看作上的点Q(cos θ，sin θ)到点R(－a，)的距离，
由于点R(－a，)在线段y＝(－≤x≤)上运动，
故当点R(－a，)运动到点E(－，)时，距离最大，为CE，连接CE，CF，
则CE＝＝＝，
当点R(－a，)运动到点A(0，)时，距离最小，为0.
综上可知，|＋|∈[0，].
(1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．
(2)求有关向量的坐标或点的坐标时，常利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解．
(3)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择．
变式探究
5．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　)
A．1 B．
C． D．3
解析：AB　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设AB＝6，AD＝3m，m>0，则A(0，0)，B(6，0)，D(0，3m)，E(3，0)，M(2，m)，N(1，2m)，
则＝(2，m)，＝(1，2m)，＝(－6，3m)，＝(6，0).
设＝x，0≤x≤1，
则＝＋＝＋x＝(6－6x，3mx).
因为＝λ＋μ，
所以(6－6x，3mx)＝λ(2，m)＋μ(1，2m)＝(2λ＋μ，mλ＋2mμ)，
所以
整理得λ＋μ＝2－x.
因为x∈[0，1]，所以λ＋μ＝2－x∈[1，2].故选AB.
6．(2025·福建福州第一中学校期末考)在平面直角坐标系Oxy中，角α的终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转90°，得到向量，记A(1，0)，B(0，－1).则向量与的位置关系是________；|＋|的最大值为____________．
解析：共线　2＋
向量与共线，理由如下：角α的终边与单位圆O的交点为E，则E(cos α，sin α)，所以＝(cos α，sin α)，
又将向量逆时针方向旋转90°得到向量，
所以＝(cos (α＋)，
sin (α＋))＝(－sin α，cos α)，
又A(1，0)，B(0，－1)，
则＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α，cos α＋1)，
因为(cos α－1)(cos α＋1)－sin α(－sin α)＝0，
所以∥，即向量与共线．
因为＝(cos α－1，sin α)，＝(－sin α－1，cos α)，
所以＋＝(－sin α＋cos α－2，sin α＋cos α)，
所以|＋|
＝
＝
＝，
所以当α－＝＋2kπ，k∈Z，
即α＝＋2kπ，k∈Z时，sin (α－)有最大值1，
所以|＋|的最大值为＝＝2＋.
向量的新定义问题
【典例剖析】 (多选)(2024·广东广州三模)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a b；当x1A．若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则a?b
B．若a b且λa μb，则λ≥μ
C．若a b，则对于任意向量c，都有a－c b－c
D．若a b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c
解析：AC　对于A，若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则所以a b，A正确；
对于B，取a＝(1，1)，b＝(－1，－1)，λ＝－1，μ＝2，满足a b，则λa＝(－1，－1)，μb＝(－2，－2)，满足λa μb，但λ<μ，B错误；
对于C，若a b，则x1≥x2，且y1>y2，设c＝(x0，y0)，
则a－c＝(x1－x0，y1－y0)，b－c＝(x2－x0，y2－y0)，
可知所以a－c b－c，C正确；
对于D，取a＝(－2，－2)，b＝c＝(－1，－1)，可知a b，但a·c＝4，b·c＝2，即a·c>b·c，D错误．故选AC.
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力．平面向量基本定理及坐标表示
课前必备知识
课标要求
1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
知识梳理
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__．若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个__基底__．
注意：(1)构成基底的两向量不共线；
(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；
(3)若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
2．平面向量的正交分解
(1)把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)向量的直角坐标：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴__方向相同__的两个__单位__向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，__(x，y)__就叫做向量a的坐标．
3．平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__；
(2)a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__；
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__；
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__．
4．平面向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是__x1y2－x2y1＝0__．
常用结论
1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若x2，y2≠0，则a∥b ＝.
3．中点与重心的坐标公式
(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(，)；
(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(，).
课前训练
1．(教材母题必修6.3.3练习T2)已知A(－1，1)，B(－3，4)，平面向量的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－3)
C．(2，－3) D．(－2，3)
2．(教材母题必修6.3例4改编)已知向量a＝(－7，6)，b＝(5，－3)，则|a＋b|＝________．
3．设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是(　　)
A．e2和e1＋e2
B．e1和e1－e2
C．2e1－4e2和－e1＋2e2
D．e1＋2e2和2e1＋e2
4．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)
A．－2 B．－4
C．－3 D．－1
5．(2024·辽宁大连期末)在△ABC中，若＝m，＝＋λ，则λ＝________．
课堂核心考点
考点1　平面向量基本定理及应用
【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P.若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
(2)(2024·常德市一中校阶段考)直角梯形ABCD中，角B为直角，＝3，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．
变式探究
1．如图，点D，E分别是AC，BC的中点，设＝a，＝b，F是DE的中点，则＝(　　)
A．a＋b B．－a＋b
C．a＋b D．－a＋b
2．(2025·广东惠州模拟预测)在△ABC中，M是AB的中点，＝3，CM与BN相交于点P，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝__________．
考点2　平面向量的坐标运算
【例2】 (1)(2024·河北保定联考)已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，c＝(9，4)，若正实数m，n满足c＝ma＋nb，则＋＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).若a＝mb＋nc，则m＋n的值为______________；若(a＋kc)∥2b－a，则实数k的值为______________．
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来求解．
变式探究
3．(2024·广东深圳模拟预测)已知点A(2，6)，B(－2，－3)，C(0，1)，D(，6)，则与向量＋2同方向的单位向量为(　　)
A．(，) B．(，)
C．(，－) D．(－，)
4．(2025·广东中山模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是______________．
考点3　平面向量坐标运算的综合应用
【例3】 (1)(2025·广西南宁期中)在△OAB中，已知||＝，||＝1，
∠AOB＝45°，点P满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，其中2λ＋μ＝3，则||的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2025·四川成都石室中学一模)在等腰直角三角形ABC中，AB＝2，M为斜边BC的中点，以M为圆心，MA为半径作，点P在线段BC上，点Q在上，则|＋|的取值范围是____________．
(1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．
(2)求有关向量的坐标或点的坐标时，常利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解．
(3)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择．
变式探究
5．(多选)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，＝2，E为AB的中点，M，N分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值可能是(　　)
A．1 B．
C． D．3
6．(2025·福建福州第一中学校期末考)在平面直角坐标系Oxy中，角α的终边与单位圆O的交点为E，将向量逆时针方向旋转90°，得到向量，记A(1，0)，B(0，－1).则向量与的位置关系是________；|＋|的最大值为____________．
向量的新定义问题
【典例剖析】 (多选)(2024·广东广州三模)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a b；当x1A．若a＝(2，－4)，b＝(3，4)，则a?b
B．若a b且λa μb，则λ≥μ
C．若a b，则对于任意向量c，都有a－c b－c
D．若a b，则对于任意向量c，都有a·c≤b·c
新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力．

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