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三次函数
【知识梳理】
知识点一：三次函数概念
定义：形如叫做三次函数
知识点二：三次函数的单调性、图象及极值
1、单调性
当时，三次函数在上是单调函数；
当时，三次函数在上有3个单调区间．
证明：
∴当时，与x轴无交点或有一个交点，或恒成立，
原函数单调．
当时，与x轴有两个交点，原函数有3个单调区间．
系数关系式 的图像 的图像 的性质
恒成立 在上递增 无极值点
恒成立 在上递减 无极值
增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值
增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值
2、图象及极值
注：三次函数要么有两个极值，要么无极值.
知识点三：三次函数的零点个数
若三次函数存在极值时，其图象、零点、极值的关系如下：
性质 三次函数图像 说明
零点个数 三个 两个极值异号，图象与轴有三个交点
两个 有一个极值为0 图象与轴有两个交点
一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点
知识点四：三次函数的韦达定理
设的三个零点分别为，则
(1)； (2)；
(3)； (4)
证明：设
即
故
知识点五：三次函数的对称性
结论1三次函数的图象关于点中心对称，无对称轴.
证明：设的图象关于对称，则满足
所以三次函数图像关于点中心对称.
结论2若图象关于点对称，则图象关于轴对称
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
知识点六：三次函数的切线条数判断定理
类型一：过三次函数图象上任一点的切线
设点为三次函数图象上任一点，则过点一定有直线与的图象相切.
若点为三次函数图象的中心对称点，则过点有且只有一条切线；
若点不是三次函数图象的对称中心，则过点有两条不同的切线.
证明：设，过点的切线可以分为两类：
(1)若是切点，则，
切线方程为：
(2)若不是切点，则过点作图象的切线，切于另一点
当时，
当时，两切重合，所以过点在且只有一条切线
当时，，所以过点有两条不同的切线
其切线方程：或
类型二：过三次函数图象外一点的切线
区域分布切线条数判定定理
过三次函数的中心对称点作切线，平面被该切线和函数图像分割为四个区域，I，II，II，VI，不妨记该切线为区域V，三次函数曲线为区域，如上图所示，设点为平面内一点，令，则
当，则为中心对称点，过点作的切线，条数为1条(见类型一)
当，且，则在区域或VI上(挖掉中心对称点)，条数为2条
当，且，则在区域II，IV内，过点作切线，条数为1条
当，且，则在区域I，III内，过点作切线，条数为3条
证明：设过点作直线与图像相切于点
则切线方程为，将点代入得
设
令，则
当恰有一个实根的充要条件是曲线与轴只有一个交点
即在上为单调函数或两极值同号，所以或
且时，过点恰有一条切线
当有两个不同实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，
所以，且时，过点有两条不同的切线
当有三个不同实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点
在一个极大值，一个极小值，且两极值异号.
所以且时，过点在三条不同的切线.
【典型例题】
1.（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【解析】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
2.（2024年新高考1卷第10题） 设函数 , 则（ ）.
是的极小值点 当时,
当时, 当时,
【解析】，当时，单调递减；当时，单调递增，所以是的极小值点，正确；
当时，单调递增，又，所以，错误；当时,，易知单调递减，所以，即，所以正确；
当 时,
所以 ，所以正确，
综上，本题选
3.（2024新高考2卷第11题 ）设函数，则（ ）
当时，有三个零点 当时，是的极大值点
存在，使得为曲线的对称轴
存在，使得点为曲线的对称中心
【解析】对于选项,，由得或，因为，所以当或时，单调递增，当时，单调递减，又，，，，所以由零点存在定理在，上各有一个零点，所以正确；
对于选项,结合选项可知，当时，是的极小值点，所以错误；
对于选项，任何三次函数都不存在对称轴，所以选项错误；
对于选项，，对称轴为，于是当时，点为曲线的对称中心，所以正确.
综上，本题选.
4.（2022年新高考1卷第10题）已知函数,则
有两个极值点 有三个零点
点是曲线的对称中心 直线是曲线的切线
【解析】在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故正确；
极小值，所以只有一个零点,故错误
由可知，点是曲线的对称中心,故正确
令，可得，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故错误.
综上，答案选．
5.（24-25高二下·四川资阳·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（ ）
A．存在拐点 B．若，则
C．当，且有极值时， D．当，，且函数有三个零点时，
【详解】由题意有，，所以，
令，所以，，所以不存在拐点，故A错误；
当时，由，解得，，故B正确；
由，令有：，由，
当时，，所以，故C正确；
当时，，所以，
当时，由有或，有，所以的单调减区间为，单调增区间为，
要使函数有三个零点，只需，又，所以，故D错误.
故选：BC.
【巩固练习】
一、单选题
1．（2022·河南·三模）已知 为三次函数，其图象如图所示.若有9个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数的图象一定是中心对称图形
B．函数可能只有一个极值点
C．当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
D．当时，则过点的切线可能有一条或者三条
3．（24-25高三上·浙江·开学考试）三次函数叙述正确的是（ ）
A．函数可能只有一个极值点
B．当时，函数的图象关于点中心对称
C．当时，过点的切线可能有一条或者两条
D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
4．（24-25高二下·云南昭通·期末）定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ）
A．，
B．方程有三个根
C．若关于的方程在区间上有两解，则
D．若函数在区间上有最大值，则
三、填空题
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数有三个零点，，，且在点处切线的斜率为，则 .
6．（24-25高二下·浙江·期中）若三次函数有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 .
13．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知，若三次函数在点处的切线与图象交于另一点，在点处的切线与图象交于另一点，则的最大值为 ．
四、解答题
7．（23-24高二下·重庆铜梁·阶段练习）拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，并且在点左右两侧二阶导数符号相反，则称为函数的“拐点”.
(1)经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为，讨论函数的单调性并求极值.
(2)已知函数，其中.求的拐点.

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