资源简介

第三单元平行四边形、梯形和三角形（单元讲义）
2024-2025学年五年级数学上册北京版
一、平行四边形
1.平行四边形的定义。
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
2.平行四边形的基本特征。
平行四边形的两组对边分别平行且相等。
3.长方形、正方形和平行四边形之间的关系。
长方形和正方形同平行四边形一样,都是两组对边分别平行且相等,长方形和正方形具有平行四边形的一切特征,所以长方形和正方形都是特殊的平行四边形。正方形不仅具备长方形的所有特征,并且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。
4.平行四边形的特性。
平行四边形具有不稳定性,容易变形。
5.平行四边形的面积。
(1)认识平行四边形的底和高。
从平行四边形一条边上的任意一点向对边引垂线,这点到垂足间的线段叫作平行四边形的高,垂足所在的边叫作平行四边形的底。平行四边形有无数条高,一般能画出两种长度的高。
(2)平行四边形的面积。
通过剪拼发现:长方形的面积与平行四边形的面积相等,平行四边形的底等于长方形的长;平行四边形的高等于长方形的宽。
长方形的面积=长×宽
平行四边形的面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积,a和h分别表示平行四边形的底和高,那么平行四边形的面积的字母公式为S=ah。
二、梯形
1.梯形的定义。
只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
2.平行四边形和梯形的异同点。
相同点:都是四边形;都有平行的对边。
不同点:平行四边形的两组对边分别平行且相等;梯形只有一组对边平行,且平行的这组对边不相等。
3.认识梯形各部分的名称。
在梯形中,互相平行的一组对边分别叫作梯形的上底和下底;不平行的一组对边叫作梯形的腰。从上底的任意一点向下底引垂线,这点到垂足间的线段叫作梯形的高。
4.认识直角梯形和等腰梯形。
(1)直角梯形。
有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。
(2)等腰梯形。
两腰相等的梯形叫作等腰梯形。
等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴;直角梯形不是轴对称图形。
5.梯形的面积。

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于梯形的上、下底之和,高等于梯形的高。每个梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。
平行四边形的面积=(上底+下底)×高,所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
如果用a、b、h、S分别表示上底、下底、高和面积,则S=(a+b)×h÷2。
6.梯形面积计算公式的应用。
(1)已知梯形的上底、下底和高,可以直接运用梯形的面积公式来计算,即梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。
(2)高=面积×2÷(上底+下底)
上底+下底=面积×2÷高
三、三角形
1.三角形的含义和各部分的名称。
(1)三角形的含义。
由三条线段顺次首尾相接组成的图形叫作三角形。
(2)三角形各部分的名称。
三角形有三条边、三个顶点和三个角。
(3)三角形的特性。
三角形具有稳定性,不易变形。
(4)三角形三条边之间的关系。
三角形任意两边的和大于第三边。
2.三角形的分类。
(1)三角形按角分类:
锐角三角形:三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。
直角三角形:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。
钝角三角形:有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。
(2)三角形按边分类。
不等边三角形:三条边都不相等的三角形叫作不等边三角形。
等腰三角形:有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。
等边三角形:三条边都相等的三角形叫作等边三角形。
(3)等边三角形的三个角都是60°。等边三角形和等腰三角形都是轴对称图形。
(4)拓展提高。
在一个三角形中,相等的边所对的角一定相等;反之,如果两个角相等,那么它们所对的边一定也相等。
3.三角形的内角和。
(1)三角形的内角和定理。
通过观察发现:锐角三角形和钝角三角形各自拼成了一个平角。直角三角形的两个锐角拼起来和它的直角相等,三个角的度数相加的和是180°。
(2)三角形的内角和定理的应用。
已知三角形两个内角的度数,根据三角形的内角和等于180°,用内角和180°连续减去已知的两个角的度数,即可求出第三个角的度数。
在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以直接用90°减去已知锐角的度数,即可求出另一个锐角的度数。
4.三角形的面积。
(1)三角形的底和高。
从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线,顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高,垂足所在的边叫作三角形的底。
任意一个三角形都有三条高。
(2)三角形面积公式的推导。
两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
平行四边形的底=三角形的底
平行四边形的高=三角形的高
平行四边形的面积=底×高
三角形的面积=底×高÷2
用S表示三角形的面积,a表示底,h表示高,则S=ah÷2。
(3)三角形面积公式的应用。
三角形的高h=2S÷a　 三角形的底a=2S÷h
四、组合图形
1.认识组合图形。
组合图形是由简单图形组合而成的。
2.组合图形的面积。
计算组合图形的面积时,要根据已知条件对图形进行分解,先转化成已学过的简单图形,分别计算出它们的面积,再求和或求差。
五、千米2和公顷
1.认识千米2和公顷。
(1)千米2和公顷是常用的测量较大土地面积的计量单位。
(2)边长是100米的正方形的面积是1公顷;边长是1千米(1000米)的正方形的面积是1千米2。
2.公顷和千米2之间的进率。
1公顷=10000米2　1千米2=100公顷=1000000米2
3. 千米2、公顷、米2之间的换算方法。
千米2换算成公顷,把小数点向右移动两位,反之,向左移动两位;公顷换算成米2,把小数点向右移动四位,反之,向左移动四位;千米2换算成米2,把小数点向右移动六位,反之,向左移动六位
一、选择题
1．三条线段的长分别是：10厘米，5厘米，5厘米，那么这三条线段（　　）
A．能围成等腰三角形 B．能围成钝角三角形
C．不能围成三角形 D．无选项
2．已知三角形两条边长分别为2、9，又知周长是偶数，那么第三边是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．11
3．把一个长方形拉成一个平行四边形后（　　）
A．面积和周长都不变 B．周长不变，面积变小
C．面积不变，周长变小 D．周长和面积都变小
4．一个三角形的最小内角是50°，这个三角形（ ）。
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是等腰三角形
5．下图中梯形ABCD的面积是40平方分米，三角形ABC的面积是25平方分米，则三角形BCD的面积是（　　）
A．25平方分米 B．15平方分米 C．40平方分米
6．一个平行四边形底是12米，高是8米，把它的底和高都扩大3倍，它的面积会（　　）
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．扩大9倍
7．下面右侧的四个图形中，可以与下面左侧梯形拼成平行四边形的只有（ ）。
A．③ B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
8．不等式3（x﹣2）＜x﹣1的非负整数解是( )．
9．平行四边形的底扩大到原来的2倍，高不变，面积( )。
10．有一片三角形草地，面积是平方米，高是米，底是( )米．
11．一个圆锥体的底面半径是3厘米，高是5厘米，从它的顶点向下沿着高将它切成两半，表面积会增加( )平方厘米．
12．填一填．
（1）一个三角形的底和高都是4cm，它的面积是( )，如果底和高都扩大到原来的2倍，那么这时它的面积是( )．
（2）三角形的面积是60平方厘米，底是15厘米，它的高是( )厘米．
13．一个梯形上底12米，比下底短6米，高6.5米，它的面积是( )．
14．一个平行四边形的面积是18平方米，与它同底等高的三角形的面积是( )．
15．一个梯形的下底是a厘米，比上底的2倍少b厘米，是高的3倍，这个梯形的面积是( )平方厘米．
16．摆一摆。

17．一个三角形的面积是16.2平方分米，高是8分米，它的底是( )分米。
三、判断题
18．平行四边形四条边的长度总和是它的周长。( )
19．4米9厘米写成小数是4.9米。( )
20．平行四边形具有容易变形的特点，这在实践中有广泛应用。( )
21．当梯形的上底和下底相等时，就变成了平行四边形，当梯形的上底为0时，就变成了三角形。( )
22．因为平行四边形的四条边定了，它的形状也定了，所以平行四边形具有稳定性。( )
23．两个完全相同的三角形一定能拼成一个长方形。( )
四、作图题
24．如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在图中画一个45°角，使A或B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边，要求：①使用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹。
五、解答题
25．公园里有一块面积是180平方米的三角形绿地（如图），底长24米．绿地扩展，把底延长8米，高不变．
①请在图上画出扩展后的三角形绿地．（只需画出示意图）
②列式计算出扩展后三角形绿地的总面积．
26．已知一个三角形中钝角是两个锐角和的2倍，那么这个钝角三角形中的钝角为多少度？
27．如图是一堵砖墙，如果每平方米用砖170块，那么砌这堵墙一共需砖多少块？
28．一块三角形地，底长是150米，高是50米，共收油菜籽1762.5千克，平均每公顷产油菜籽多少千克？
29．（1）画出BC边上的高．
（2）量出三角形BC边的长度和∠A的度数．BC=( )，∠A=( )．
（3）这个三角形的周长是指( )；求出这个三角形的面积是多少．
30．一个等边三角形的周长是36厘米，它的一条边长是多少厘米？它的每个角是多少度？
31．过直线外一点P，作该直线的平行线，然后过P点，作一条垂线表角示这两条平行线间的距离．
32．用红纸做三角形小旗，一张红纸长3米，宽12分米，能做直角边分别为3分米和2分米的三角形小旗多少面？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B A B C B
8．不等式的非负整数解是1，2，3
9．扩大2倍
10．4.2
11．30
12．8cm2，32cm2；8
13．58.5平方米
14．9平方米
15．+ab
16．三角；长方；圆
17．4.05
18．√
19．×
20．√
21．√
22．×
23．×
24．
如图所示，AB，AC分别是小长方体的对角线，则三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°。
25．；240平方米
解：①如图，把原来的三角形绿地的底延长8米，高不变，就得到了扩展后的三角形绿地；
②三角形绿地的高：180×2÷24=360÷24=15（米），
扩展部分的面积：8×15÷2=60（平方米），
扩展后三角形绿地的面积：180+60=240（平方米）；
答：扩展后三角形绿地的总面积240平方米．
26．120度
180÷（1＋1×2）
＝180÷（1＋2）
＝180÷3
＝60（度）
60×2＝120（度）
答：这个钝角三角形中的钝角为120度。
27．1190块
解：（3+4）×2÷2×170，
=7×2÷2×170，
=1190（块）．
答：砌这堵墙一共需砖1190块．
28．4700千克
1502=3750（平方米） 1762.50.375=4700（千克/公顷）
29．；7cm，150°，三边长度之和；6.3cm2
解：（1）画出BC边上的高如下图：
（2）经度量，BC=7cm，∠A=150°；
（3）经度量，AD=1.8cm，
这个三角形的面积是：×7×1.8=6.3（cm2）；
故答案为7cm，150°，三边长度之和．
30．12厘米；60度
36÷3＝12（厘米）；180°÷3＝60°
答：它的一条边长是12厘米，每个角是60度。
31．
解：所作已知直线的平行线如图所示，
32．120面
解：3米=30分米，
（30÷3）×（12÷2）×2，
=10×6×2，
=120（面）；
或（30÷2）×（12÷3）×2，
=15×4×2，
=120（面）；
答：能做直角边分别为3分米和2分米的三角形小旗120面．
故答案为120．

展开更多......

收起↑