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第五单元圆（单元讲义）
2024-2025学年六年级数学上册北京版
一、认识圆
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的用字母表示为:d=2r或r=d/2
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形半圆。
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形;
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环，
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示2、圆周率实验 :
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。3.圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14。(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14 倍
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之.
4、圆的周长公式:C=πdd=C÷n
或 C=2πrr=C÷2n
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:等于圆的周长:2计算方法:2πr÷2即πr(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方，化曲为直;化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为:长方形面积=长x宽
所以:圆的面积 =圆周长的一半 x 圆的半径
S圆=nrxr
圆的面积公式:S圆=πr
4、环形的面积:
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)
S环=R-nr2或
环形的面积公式:S环=π(R2-r2)。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如:
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:
两个圆的半径比是2:3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即:4:π8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
9、确定起跑线:
(1)每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长 +两个直道的长度。
(2)每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度，(因此起跑线不同)
(3)每相邻两个跑道相隔的距离是:2xπx跑道的宽度
(4)当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。
一、选择题
1．下图中的涂色部分是扇形的是（ ）。
A． B． C． D．
2．一只挂钟的时针长5cm，分针长8cm，从上午8时到下午2时，分针尖端“走了”（ ）cm，时针扫过的面积是（ ）平方厘米．
A．8π，12.5π B．96π，25π C．96π，12.5π
3．下面图形中的角是45°圆心角的是（ ）。
A． B． C． D．
4．自行车后轮的半径是前轮的1.5倍，后轮转动12周，前轮转了（ ）周．
A．8 B．12 C．18
5．以正方形的边长为半径的圆，它的面积是正方形面积的（　　）倍．
A．3 B．4 C．3.14 D．9
6．（　　）决定圆的大小．
A．圆心 B．面积 C．圆周率 D．半径
二、填空题
7．在春季研学活动中，张亮和李明带领同学们动手搭建了一个近似于圆锥形状的野营帐篷。为选择适当的空地，他们测量出该帐篷的底面半径是3米，高是2.4米。搭建该帐篷所需的占地面积是( )平方米，所容纳的空间是( )立方米。
8．把圆规的两脚分开，使圆规两脚间的距离是3cm，这样画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm．
9．圆周率是圆的( )除以( )的商，用字母( )表示，计算时通常取( )．
10．在同一个圆内，所有的( )和( )都分别相等，半径的长度是直径的( )．
11．用圆规画出圆以后，针尖固定的一点就是( )，通常用字母( )表示，( )决定圆的位置。
12．用一根长18.84cm的铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )cm ．
13．一个圆的直径是9cm，它的半径为( )，一个圆的半径为5dm，它的直径为( )．
14．一只挂钟，经过1小时，它的时针尖端与分针尖端走过角度的比是( )∶( )；如果分针长5厘米，在这1小时里这根分针扫过的面积是( )．
15．在一个长10厘米，宽6厘米的长方形纸板上，剪下一个最大的圆，剩下纸板的面积是( )平方厘米。
16．等腰直角三角形的一腰长是8厘米，以它的两腰为直径分别画两个半圆，那么，阴影部分的面积共有( )平方厘米。
17．在一张长6厘米，宽4厘米的长方形内画半径是1厘米的圆，这样的圆最多能画( )个．
三、判断题
18．半径越大，圆的面积越大． ( )
19．r＝2时，圆的周长与面积相等。( )
20．所有扇形都是轴对称图形，且只有一条对称轴。( )
21．从长8厘米，宽6厘米的长方形上剪下一个最大的圆，圆的直径是6厘米。( )
22．小圆半径是大圆半径的 ，那么小圆面积也是大圆面积的 ． ( )
四、作图题
23．再画一个圆，使这两个圆组成的图形有无数条对称轴，然后画出两条对称轴．
五、解答题
24．把一只羊拴在一块长8m，宽6m的长方形草地上，拴羊的绳长2m，那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米？如果要使羊吃草的面积最小，应该将羊拴在这个长方形草地的什么位置？
25．附加题：在边长4厘米的正方形外面画一个圆．并让正方形的四个顶点都在圆上．求出圆的面积．
26．在一个圆形建筑物的周围种树。树要种在半径为60米的一个圆周上，计划每隔8米种一棵。这个建筑物的周围一共要种多少棵树？
27．甲乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是190米/分，乙的速度是150米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？
28．我会求下面图形的面积．
（1）　 （2）
29．（1）过A点画它对边上的高，标出直角标记，量出高的长度是( )．（保留整厘米数）
（2）以AB为半径，A为圆心，画一个圆．
（3）过点A画它对边平行线．
30．画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，再在这个长方形中作一个最大的半圆，最后计算这个半圆的周长是多少，面积是多少？
31．如图是一个钟面,分针长6cm,时针长4cm,分针的尖端走一圈走多少厘米 时针走一圈扫过的面积是多少
32．一个直径6米的花坛，周围铺一条2米宽的环形石路，环形石路的面积是多少平方米？
33．青海省德令哈市的塔式光热电站是我国戈壁滩上的超级工程，这个发电站的占地面积大约是多少平方千米？
发电站中间是一座高200米的吸热塔，24万片反光镜层层围绕着吸热塔组成一个直径约1.8千米的圆。
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C A C C D
7． 28.26 22.608
8．3，6
9．周长，直径，π，3.14
10． 半径 直径
11． 圆心 O 圆心
12．28.26
13．4.5厘米，10分米
14． 1 12 78.5平方厘米
15．31.74
16．18.24
17．6
18．√
19．×
20．√
21．√
22．×
23．（答案不唯一）画图如下：
24．12.56平方米；长方形任意一个顶点上
3.14×2×2=12.56(平方米)；
如下图栓到长方形任意一个顶点均可
25．
解：（1）以正方形的对角线的交点为圆心，以正方形的对角线的一半（4÷2=2厘米）为半径，
画圆如下：
（2）正方形的面积为：4×4=16平方厘米，
设圆的半径为r，则r×r÷2×4=16，
2r2=16，
r2=8，
所以圆的面积为3.14×8=25.12（平方厘米）；
答：圆的面积是25.12平方厘米．
26．47棵
2×3.14×60
＝6.28×60
＝376.8（米）
376.8÷8≈47（棵）
答：这个建筑物的周围一共要种47棵树。
27．10分钟
（分）
答：经过10分钟甲第一次追上乙。
28．（1）3.14×32＝28.26(cm2)
（2）8÷2＝4(m) 4×4×3.14＝50.24(m2)
半径
29．1厘米．如图
解：根据题干分析画图如下：
经过测量可知，高的长度是 1厘米．
故答案为1厘米．
30．如图，周长是7.71厘米，面积是3.5325平方厘米
解：作图如下：
周长是：3.14×3÷2+3=7.71（厘米），
面积是：3.14×÷2=3.5325（平方厘米），
答：这个半圆的周长是7.71厘米，面积是3.5325平方厘米．
31．37.68cm 50.24cm2
3.14×6×2=37.68(cm)
3.14×42=50.24(cm2)
32．石路的面积是50.24平方米
解：大圆的直径=6+2×2=10米，
小路的面积：3.14×﹣3.14×，
=3.14×（52﹣32），
=3.14×（25﹣9），
=3.14×16，
=50.24（平方米）；
答：石路的面积是50.24平方米．
33．2.5434平方千米
【详解】3.14×（1.8÷2）2
＝3.14×0.92
＝3.14×0.81
＝2.5434（平方千米）
答：这个发电站的占地面积大约是2.5434平方千米。

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