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轴对称与坐标变化课堂讲义
考点卡片
1 ．点的坐标
( 1）我们把有顺序的两个数 a 和 b 组成的数对，叫做有序数对，记作( a ，b）．
( 2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫 x 轴( 横轴），竖直数轴叫y 轴( 纵轴），x 轴一般取向右为正方向，y 轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于 x 轴，又属于y 轴．
( 3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
( 4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2 ．坐标与图形性质
1 、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到 x 轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2 、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3 、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3 ．平行线的判定与性质
平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数
量关系．
( 2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
( 3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
( 4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
4 ．线段垂直平分线的性质
( 1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线( 中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
( 2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5 ．勾股定理
( 1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2+b2 ＝c2．
( 2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
( 3）勾股定理公式 a2+b2 ＝c2 的变形有：a 及 c
( 4）由于 a2+b2 ＝c2＞a2 ，所以 c＞a ，同理c＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
6 ．关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标
( 1）关于 x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数
即点 P( x，y）关于 x 轴的对称点 P′的坐标是( x ， - y）．
( 2）关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点 P( x，y）关于y 轴的对称点 P′的坐标是( - x，y）．
7 ．坐标与图形变化-对称
( 1）关于 x 轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
( 2）关于y 轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
( 3）关于直线对称
①关于直线 x ＝m 对称，P( a ，b） P( 2m - a ，b）
②关于直线y ＝n 对称，P( a ，b） P( a ，2n - b）
8 ．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
9 ．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
课堂巩固练习
一．选择题( 共 5 小题）
1 ．( 2024 秋 枣阳市期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A( 3 ，1），则点 A 关于y 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( 1 ，3） B ．( - 3 ，1） C ．( 3 ， - 1） D ．( - 3 ， - 1）
2 ．( 2024 秋 罗湖区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( - 3 ，5）关于 x 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( 3 ，5） B ．( 3 ， - 5） C ．( 5 ， - 3） D ．( - 3 ， - 5）
3 ．( 2025 春 长春期末）在平面直角坐标系中，点( - 1 ，2）关于y 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( - 1 ， - 2） B ．( 1 ， - 2） C ．( 1 ，2） D ．( 2 ， - 1）
4 ．( 2024 秋 牟平区期末）在平面直角坐标系中，点 P( - 1 ，m2+1）关于 x 轴的对称点为 P1 ，P1 关于直线y ＝x 的对称点为 P2 ，则点 P2在 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5 ．( 2024 秋 句容市期末）若点 M( - 2 ，1）与点 N( - 2 ，3）关于某条直线对称，则这条直线是 ( )
A ．x 轴
B．y 轴
C ．过点( - 2 ，0）且垂直于 x 轴的直线
D ．过点( 0 ，2）且平行于 x 轴的直线
二．填空题( 共 5 小题）
6．( 2025 春 清原县校级月考）已知点 A( m+2 ，- 3），B( - 2，n - 4）关于 x 轴对称，则( m+n）2 = .
7．( 2024 秋 云南期末）若点 M( 2024，- 2025）与点 N 关于 x 轴对称，则点 N 的坐标为 ．
8 ．( 2025 潮阳区一模） 若点 M( 2m - 1 ， 1+m ）关于 y 轴的对称点 M'在第二象限，则 m 的取值范围是 ．
9 ．( 2025 春 河源期末）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为 ( 填序号）．
10 ．( 2025 春 淮安区校级月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线
段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有 条．
三．解答题( 共 5 小题）
11 ．( 2024 秋 淮滨县月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的坐标分别为 A( - 1 ，4），B( - 2， 1），C( - 4 ，3）．
( 1） △ABC 的面积是 ；
( 2） 已知△ABC 与△A1B1C1关于 y 轴对称， △A1B1C1与△A2B2C2关于 x 轴对称，请在坐标系中画出
△A1B1C1 和△A2B2C2；
( 3）在y 轴有一点 M，使得|BM - CM|的值最大，请画出点 M 的位置( 保留画图的痕迹）．
12 ．( 2025 春 漳州期末）如图，已知△ABC，点 D 为边 BC 上一点( 点 D 不与点 B ，C 重合）．
( 1）尺规作图：作直线 MN，使得点 A 与点 D 关于直线 MN 对称，直线 MN 交直线 AC 于 M，交直线AB 于 N；( 保留作图痕迹，不要求写作法）
( 2）在( 1） 的基础上，连接 DM，AD ，AD 交 MN 于点 P ．若已知 AB+AC ＝16 ，S△ABC ＝24 ，当 MP =NP 时，请求出点 D 到直线 AC 的距离．
13．( 2024 秋 蜀山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为 1，△ABC的顶点坐标分别为 A( - 1 ，3），B( 2 ，0），C( - 3 ， - 1）．
( 1）在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1( 点 A 、B 、C 的对应点分别为 A1 、B1 、C1）；
( 2）在( 1）的条件下写出点 A1 、B1 、C1 的坐标．
14 ．( 2025 春 余江区校级月考）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图 1 、图 2 、图 3 上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
15 ．( 2024 秋 牟平区期末）如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A 、B 、C、D 均为格点( 网格线的交点）．
( 1）画出线段 AB 关于直线 CD 对称的线段 A1B1；画出与线段 AB 平行且相等的线段 A2B2；
( 2）描出线段 AB 上的点 M 及直线 CD 上的点 N，使得直线 MN 垂直平分 AB；
( 3）线段 BB1和线段 AA1被直线 CD ， ∠BAA1与∠B1A1A 的大小关系是 ；
( 4）在( 3）的基础上建立平面直角坐标系，若 M( 3 ， - 1）、C( 0 ，3），则原点是点 ，B1点坐标是 ．
课堂巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题( 共 5 小题）
题号 1 2 3 4 5
答案 B D C C D
一．选择题( 共 5 小题）
1 ．( 2024 秋 枣阳市期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A( 3 ，1），则点 A 关于y 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( 1 ，3） B ．( - 3 ，1） C ．( 3 ， - 1） D ．( - 3 ， - 1）
【答案】B
【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【解答】解：点 A( 3 ，1）关于y 轴对称的点的坐标为( - 3 ，1），
故选：B．
2 ．( 2024 秋 罗湖区期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P( - 3 ，5）关于 x 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( 3 ，5） B ．( 3 ， - 5） C ．( 5 ， - 3） D ．( - 3 ， - 5）
【分析】关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【解答】解： ∵关于 x 轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数
∴点 P( - 3 ，5）关于 x 轴的对称点的坐标是( - 3 ， - 5）．
故选：D．
3 ．( 2025 春 长春期末）在平面直角坐标系中，点( - 1 ，2）关于y 轴的对称点的坐标是 ( )
A ．( - 1 ， - 2） B ．( 1 ， - 2） C ．( 1 ，2） D ．( 2 ， - 1）
【答案】C
【分析】根据关于y 轴的对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同即可求解．
【解答】解：根据题意可知，点( - 1 ，2）关于y 轴的对称点的坐标是( 1 ，2）．
故选：C．
4 ．( 2024 秋 牟平区期末）在平面直角坐标系中，点 P( - 1 ，m2+1）关于 x 轴的对称点为 P1 ，P1 关于直线y ＝x 的对称点为 P2 ，则点 P2在 ( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】C
【分析】根据题意，用 m 表示出点 P2 的坐标，据此进行判断即可．
【解答】解： 由题知，
点 P( - 1 ，m2+1）关于 x 轴的对称点 P1 的坐标可表示为( - 1 ， - m2 - 1），点 P1关于直线y ＝x 的对称点 P2 的坐标可表示为( - m2 - 1 ， - 1）．
因为 - m2 - 1＜0 ， - 1＜0，
所以点 P2在第三象限．
故选：C．
5 ．( 2024 秋 句容市期末）若点 M( - 2 ，1）与点 N( - 2 ，3）关于某条直线对称，则这条直线是 ( )
A ．x 轴
B．y 轴
C ．过点( - 2 ，0）且垂直于 x 轴的直线
D ．过点( 0 ，2）且平行于 x 轴的直线
【答案】D
【分析】 由题意 MN∥y 轴，所以过 MN 中点且垂直于y 轴的直线即为所求的直线，然后根据选项内容进行判断．
【解答】解： ∵点 M( - 2 ，1）与点 N( - 2 ，3），
∴MN∥y 轴，
设 MN 的中点为 A，
则 A 点坐标为 即 A( - 2 ，2），
∴点 M( - 2 ，1）与点 N( - 2 ，3）关于某条直线对称，这条直线是过点( 0 ，2）且平行于 x 轴的直线，故选：D．
二．填空题( 共 5 小题）
6．( 2025 春 清原县校级月考）已知点A( m+2 ，- 3），B( - 2，n - 4）关于 x 轴对称，则( m+n）2 ＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得出 m+2 ＝ - 2 ，n - 4 - 3 ＝0 ，即可求出 m 、n 的值，再根据有理数的乘方运算法则计算即可．
【解答】解： ∵点A( m+2 ， - 3），B( - 2 ，n - 4）关于 x 轴对称，
∴m+2 ＝ - 2 ，n - 4 - 3 ＝0，
∴m ＝ - 4 ，n ＝7，
∴( m+n）2 ＝( - 4+7）2 ＝32 ＝9，
故答案为：9．
7．( 2024 秋 云南期末）若点 M( 2024 ，- 2025）与点 N 关于 x 轴对称，则点 N 的坐标为 ( 2024，2025）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解： ∵点 M 与点 N 关于 x 轴对称，M( 2024 ， - 2025），∴N( 2024 ，2025），
故答案为：( 2024 ，2025）．
8．( 2025 潮阳区一模）若点M( 2m - 1，1+m）关于y 轴的对称点M'在第二象限，则 m 的取值范围是 ．
【答案】m
【分析】根据关于y 轴对称两个点的坐标关系可求出点 M'的坐标，再根据点 M'所在的象限，确定 m 的取值范围即可．
【解答】解： ∵点 M( 2m - 1 ，1+m）关于y 轴的对称点 M'，
∴点 M'( - 2m+1 ，1+m），
又∵点 M'( - 2m+1 ，1+m）在第二象限， ∴ - 2m+1＜0 且 1+m＞0，
解得 m
故答案为：m
9 ．( 2025 春 河源期末）如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的小正方形为 ②④⑤ ( 填序号）．
【答案】②④⑤.
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．
【解答】解：只有将②④⑤中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形，
故答案为：②④⑤.
10 ．( 2025 春 淮安区校级月考）在如图的正方形网格上画有两条线段．现在要再画一条，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，能满足条件的线段有 4 条．
【答案】4．
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：能满足条件的线段有 4 条．
故答案为：4．
三．解答题( 共 5 小题）
11 ．( 2024 秋 淮滨县月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 顶点的坐标分别为 A( - 1 ，4），B( - 2， 1），C( - 4 ，3）．
( 1） △ABC 的面积是 4 ；
( 2） 已知△ABC 与△A1B1C1关于 y 轴对称， △A1B1C1与△A2B2C2关于 x 轴对称，请在坐标系中画出
△A1B1C1 和△A2B2C2；
( 3）在y 轴有一点 M，使得|BM - CM|的值最大，请画出点 M 的位置( 保留画图的痕迹）．
【答案】( 1）4；
(
;
)( 2）
( 3） ．
【分析】( 1）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得；
( 2）先根据轴对称的性质分别画出点A1 ，B1 ，C1 ，再顺次连接即可得△A1B 1C1；先根据轴对称的性质
分别画出点 A2 ，B2 ，C2 ，再顺次连接即可得△A2B2C2；
( 3）根据三角形的三边关系可得|BM - CM|≥BC，当且仅当点 C，B ，M 共线，且点 B 在点 C，M 的中间时，等号成立，则延长 CB ，与y 轴的交点即为点 M．
【解答】解：( 1）根据割补法可得：S△ABC 故答案为：4．
( 2） △A1B1C1和△A2B2C2 即为所求作．
( 3）点 M 即为所求作．
.
12 ．( 2025 春 漳州期末）如图，已知△ABC，点 D 为边 BC 上一点( 点 D 不与点 B ，C 重合）．
( 1）尺规作图：作直线 MN，使得点 A 与点 D 关于直线 MN 对称，直线 MN 交直线 AC 于 M，交直线AB 于 N；( 保留作图痕迹，不要求写作法）
( 2）在( 1） 的基础上，连接 DM，AD ，AD 交 MN 于点 P ．若已知 AB+AC ＝16 ，S△ABC ＝24 ，当
MP=NP 时，请求出点 D 到直线 AC 的距离．
【答案】( 1）见解析；
( 2）点 D 到直线 AC 的距离为 3
【分析】( 1）连接 AD ，运用尺规作图的方法作出线段 AD 的垂直平分线即可解答；
( 2）过点 D 分别作 DE丄AB 于点 E，DF丄AC 于点 F，根据轴对称的性质得到 MN丄AD ，又 MP ＝NP，可得 AM＝AN，根据等腰三角形的“三线合一”得到∠PAM= ∠PAN，进而根据角平分线的性质得到 DE =DF，再根据 S△ABC ＝S△ABD+S△ACD 即可求出 DF 的长，即可解答．
【解答】解：( 1）如图，直线 MN 为所求．
( 2）过点 D 分别作 DE丄AB 于点 E ，DF丄AC 于点 F，由对称可知MN丄AD ，AM＝AN，
: ∠PAM= ∠PAN， :DE ＝DF，
:S△ABC ＝S△ABD+S△ACD
= 8DF，
∵S△ABC ＝24，
∴8DF＝24，
∴DF＝3，
∴点 D 到直线AC 的距离为 3．
13．( 2024 秋 蜀山区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为 1，△ABC的顶点坐标分别为 A( - 1 ，3），B( 2 ，0），C( - 3 ， - 1）．
( 1）在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1( 点 A 、B 、C 的对应点分别为 A1 、B1 、C1）；
( 2）在( 1）的条件下写出点 A1 、B1 、C1 的坐标．
【答案】( 1）见解析；
( 2）A1( - 1 ， - 3），B1( 2 ，0），C1( - 3 ，1）．
【分析】( 1）分别找到点A 、B 、C 的对应点分别为 A1 、B1 、C1 ，顺次连接即可；
( 2）根据点的位置写出坐标即可．
【解答】解：( 1）作图如下：
△A1B1C1 即为所求图形；
( 2）A1( - 1 ， - 3），B1( 2 ，0），C1( - 3 ，1）．
14 ．( 2025 春 余江区校级月考）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图 1 、图 2 、图 3 上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
【答案】见试题解答内容．
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示：
.
15 ．( 2024 秋 牟平区期末）如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A 、B 、C、D 均为格点( 网格线的交点）．
( 1）画出线段 AB 关于直线 CD 对称的线段 A1B1；画出与线段 AB 平行且相等的线段 A2B2；
( 2）描出线段 AB 上的点 M 及直线 CD 上的点 N，使得直线 MN 垂直平分 AB；
( 3）线段 BB1和线段 AA1被直线 CD 垂直平分 ， ∠BAA1与∠B1A1A 的大小关系是 相等 ；
( 4）在( 3）的基础上建立平面直角坐标系，若 M( 3 ， - 1）、C( 0 ，3），则原点是点 N ，B1 点坐标是 ( - 2 ， - 4） ．
【答案】( 1）( 2）见解析；
( 3）垂直平分，相等；
( 4）N，( - 2 ， - 4）．
【分析】( 1）利用轴对称变换的性质，平行线的判定和性质作出图形即可；
( 2）根据线段垂直平分线的定义作出图形；
( 3）根据线段的垂直平分线的定义，轴对称图形的性质判断即可；
( 4）建立平面直角坐标系可得结论．
【解答】解：( 1）如图，线段 A1B1 ，A2B2 即为所求；
( 2）如图，直线 MN 即为所求；
( 3）线段 BB1和线段 AA1被直线 CD 垂直平分， ∠BAA1与∠B1A1A 的大小关系是相等；故答案为：垂直平分，相等；
( 4）若 M( 3 ， - 1）、C( 0 ，3），则原点是点 N，B1 点坐标是( - 2 ， - 4）．故答案为
N( - 2 ， - 4）．

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