资源简介

4.1 整式
代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。本节将研究只含加、减、乘、乘方运算的代数式。
引言
2022年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4730万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。
图中两个集装箱均为长方体，宽为a m，高为b m，其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。
导入新课
问题: 请认真阅读章引言及下列问题,完成问题的解答。
(1)引言中两个集装箱体积分别是多少
(2)黄豆是一种富含蛋白质的食物,每克黄豆的蛋白质含量约为0.363 g,则x g黄豆的蛋白质含量约为多少
(3)如何表示的相反数
(4)某志愿团有八年级学生n 人,七年级学生比八年级学生的一半少1人,用代数式表示该志愿团七年级学生的人数。
(5)如图，是某公寓的建筑平面示意图，用代数式表示这间公寓的建筑面积。
上面我们利用代数式解答了很多实际生活中的问题。代数式是用运算符号把数和表示数的字母连接在一起的式子。本节我们将研究只含加、减、乘、乘方运算的代数式。
思考与交流
活动一： 体会代数式多样化的形式
问题1: 观察代数式9ab,6ab,0.363x,-,它们有什么特点
问题2: 观察代数式n-1,+5x+3又有什么特点
活动二：总结单项式和多项式的相关概念
问题1: 从运算的角度来看,你认为代数式可以怎样分类
单项式、多项式、整式的概念
问题2: 那么像,这样的代数式是整式吗
像,这样的代数式是后面将要学习的分式。
单项式的相关概念
问题3: 单项式9ab,0.363x,-,5,π,a的系数和次数分别是多少
单项式 系数 次数
9ab 9 2
0.363x 0.363 1
- -1 2
5 5 0
π π 0
a 1 1
多项式的相关概念
问题4: 多项式n-1,+5x+3的各项分别是什么 它们是几次几项式
例题讲解
例1 在判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。
（1）3a; (2)mn; (3)-x;
-1； (5)+2ab+; （6）2-3x-4。
思考：
(1)区分单项式和多项式的关键是什么
(2)在求单项式的系数与次数,多项式的项和次数时需要注意哪些问题
提示：
(1)区别单项式和多项式的关键在于代数式中是否含有加减法。
(2)求单项式的系数时要包含它前面的符号,如果一个单项式只含有字母因数(π是数字不是字母),含正号的单项式系数为1,含负号的单项式系数为-1；求单项式的次数时是将所有字母的指数相加,单独一个数字的次数是0。
（3）多项式中的每一项都包括它前面的符号,多项式的次数是最高项的次数,而不是所有含有字母的项的次数和。
解: (1)3a是单项式,系数是3,次数是1。
mn是单项式,系数是,次数是2。
(3)-x是单项式,系数是-1,次数是4.
(4)-1是多项式,它的项分别是和-1,它是三次二项式。
(5)+2ab+是多项式,它的项分别是,2ab和,它是二次三项式。
(6)2-3x-4是多项式,它的项分别是2,-3x 和-4,它是二次三项式。
知识点梳理
知识点一 单项式
单项式的定义
从运算的角度看，由数与字母的乘积组成的代数式叫作单项式。（只含乘或乘方，不含加减）
单独的一个数或一个字母也是单项式。（单独的一个数或一个字母可看乘这个数或字母与“1”相乘，“1”被省略了）例如：-4，mn，n，5，b都是单项式。
单项式的系数
单项式中的数字因数叫作单项式的系数。如-4的系数是-4。
单项式的系数包括它前面的符号。单项式的系数是1或“-1”时，“1”省略不写。但“-1”的符号“-”不能省略。如xy和-b的系数分别是“1”和“-1”。
单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如b，a的指数为3，b的指数为1，所以b的次数是3+1=4，注意不包括3的指数。
提示：
对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0，如常数8的次数是0。
单项式的系数既可以是整数，也可以是分数。
单项式的系数是带分数时，一定要化成假分数。
一个单项式的次数是几，通常称这个单项式是几次单项式。如-2,系数为-2，次数为5，是五次单项式。
题1 判断下列各式是不是单项式，如果是，指出它的系数与次数；如果不是，请说明理由。
（1）a+1; （2）； （3）-;
（4）； （5）- ; （6）。
解：（1）（2）不死单项式，因为a+1中含有“+”，不是数与字母的乘积形式。
（3）（4）（5）（6）都是数与字母的乘积，所以它们都是单项式。其中-的系数是-1，次数是3；的系数是，次数是3；- 的系数是- ，次数是4；的系数是9，次数是5。
知识点二 多项式
相关概念
多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式。
多项式的项：多项式的每个单项式都叫作这个多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。多项式的项数：多项式中所含单项式的个数，一个多项式含有几个单项式就叫作几项式。
多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
单项式与多项式的区别
类别 运算 次数
单项式 不含加减运算符号 所有字母的指数和
多项式 必含加减运算符号 多项式中次数最高的项的次数
题2 指出下列多项式-a+2- -1的项，并说明它是几次几项式。
解：该多项式的项分别是，-a，2， ，-1，次数最高的项是2，次数是4，所以该多项式是四次多项式。 （提示：“四”“五”不能用阿拉伯数字）
3. 整式
（1）定义：单项式和多项式统称为整式。
（2）单项式、多项式、整式和代数式的关系：
提示：
所有的整式的分母中都不含字母。判断一个代数式是不是整式，关键是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的不是整式。
所有的整式都是代数式，但并不是所有的代数式都是整式。
题3 下列代数式：，+x- ，，。其中是整式的有（ ）。
1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：代数式，中含有对字母的除法运算，它们不是整式；代数式+x- 是整式；π是圆周率，是一个数，而不是字母，所以是整式。所以此题答案为B。
4. 多项式的降（升）幂排列
（1）把一个多项式的各项按某一字母的次数从大到小的顺序排列，这种排列叫作这个多项式按这个字母的降幂排列。
（2）把一个多项式的各项按某一字母的次数从小到大的顺序排列，这种排列叫作这个多项式按这个字母的升幂排列。
注意：多项式按某一字母的降幂排列或升幂排列需注意以下三点：
对于一个多项式的多个字母，必须选定其中的一个字母；
确定这个字母的大小顺序；
在改变多项式中的各项的位置时，一定要连同这个单项式前面的系数（包括符号）一起移动。
题4 把多项式-+4y-15-8重新排列：
按字母y的降幂排列；
按字母y的升幂排列。
分析：先找出多项式中字母y的指数，再按y的升幂或降幂排列。注意：在按某个字母升幂或降幂排列时，若出现不含有该字母的项，通常认为这一项中该字母的次数为0。如本题中不含字母y，该项中y的次数看作0。
解：（1）--8-15+4y+。
（2）+4y-15-8-。
练习（p85）
填表:
单项式 -2 b 6
系数
次数
分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。
（1）6x+1; （2）2a+3b; （3）--7m+5; （4）3-5xy +。
解：（1）6x+1的项为6x和1，系数分别为6,1，是一次两项式。
（2）2a+3b的各项为2a和3b，系数分别为2，3，是一次二项式。
--7m+5的各项为-，-7m，5，系数分别为-，-7，5，是二次三项式。
3-5xy +的各项为3，-5xy，，系数分别为3，-5，，是二次三项式。
重点内容总结

展开更多......

收起↑