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专题05 角的平分线
考点01（★★★）利用角平分线的性质解决长度或面积问题 4
考点02（★★）三角形中的角平分线 8
考点03（★★★）角平分线的性质与判定 12
考点04（★）尺规作图 16
1．角平分线
（1）角平分线的概念：
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线．
（2）角平分线的性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等．
注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．
（3）角平分线的判定：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．
2．三角形中角平分线的性质
三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
3．证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
4．尺规作图作已知角的平分线
已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
1．用尺规作已知角的平分线，作图依据为：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角平分线的性质
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
①这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
③使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
④运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
（2）角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等；
（3）已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段．
3．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高
考点01（★★★）利用角平分线的性质解决长度或面积问题
1．遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用“角的平分线上的点到角两边的距离相等”寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出线段长度． 2．遇角平分线常作的四种辅助线 （1）过角平分线上十点作角两边的垂线构造全等三角形． （2）过角平分线上点作角的一边的平行线构造等腰三角形． （3）过角平分线上一点，作角平分线的垂线构造等腰三角形． （4）遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形．
【例1】　（2024秋 官渡区期末）如图，射线是的平分线，为射线上一点，于点，，若是射线上一点，，则阴影部分的面积为　　
A．15 B．5 C．3 D．
【答案】
【分析】角平分线上一点到角的两边的距离相等，根据此性质过作于，则得，由三角形面积公式即可求解．
【解答】解：如图，过作于，
根据角平分线的性质可得：
，
；
故选：．
【例2】　（2025 罗湖区校级模拟）如图，在中，，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求的值．
【解答】解：过点作于，如图，
是的平分线，，，
，
．
故选：．
【例3】　（2025 贵州模拟）如图，是中的平分线，于点，，，，则　　
A．14 B．26 C．56 D．28
【答案】
【分析】如图：作交于点，根据角平分线的性质可得，再由求解即可．
【解答】解：如图，作交于点，
平分，，，
，
，
故选：．
【例4】　（2025春 榆次区期中）如图，在△中，，分别平分，，于点．若，△的面积是50，则△的周长为　　
A． B．25 C． D．50
【答案】
【分析】连接，过点作于点，于点，根据角平分线性质得，，根据△的面积是50得，进而得，据此即可得出答案．
【解答】解：连接，过点作于点，于点，如图所示：
，分别平分，，，
，，
△的面积是50，
，
，
，
，
△的周长为．
故选：．
【例5】　（2025 新城区三模）如图，在△中，，的平分线交于点，于点，若，，则△的周长为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】
【分析】根据勾股定理求出，由角平分线性质定理得，再证明△△可得，可得出，再由△的周长求得结论．
【解答】解：在△中，，
，
，
是的平分线，
，，
△△，
，
，
，
△的周长，
故选：．
考点02（★★）三角形中的角平分线
三角形外角平分线的交点有3个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个（3个旁心，1个内心．）
【例6】　（2024秋 丹阳市期末）如图，是△的角平分线，，，则点到的距离为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点作于点，
，
，
是△的角平分线，，，
，
即点到的距离为3，
故选：．
【例7】　（2025 铁西区开学）如图，是△的角平分线，于点，△的面积是10，若，则点到的距离是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】
【分析】作于点，因为平分的角平分线，于点，所以，由，，得，求得，则，即点到的距离是4，于是得到问题的答案．
【解答】解：作于点，
平分的角平分线，于点，于点，
，
，，
，
解得，
，
点到的距离是4，
故选：．
【例8】　（2025春 新城区校级期末）如图，是△的角平分线，，垂足为．△的面积为12，，，则的长为　　
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作于，
是△的角平分线，，，
，
，
，
，
故选：．
【例9】　（2024秋 海沧区期末）如图，△中，是边上的高，平分，交于点，，，则点到的距离为　　
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】
【分析】过点作于，根据角平分线的性质解答即可．
【解答】解：如图，过点作于，
，，
，
是边上的高，
，
平分，，，
，即点到的距离为2，
故选：．
【例10】　（2024秋 合江县期末）如图，是△中的平分线，于点，，，，的长是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】
【分析】作于，如图，利用角平分线的性质得，根据三角形的面积公式得，于是可求出的值．
【解答】解：作于，如图，
是△中的角平分线，，，
，
，
，
．
故选：．
考点03（★★★）角平分线的性质与判定
1．角平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 2．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等． 3．遇到已知一个点在某个角的平分线上时，一般过该点向角的两边作垂线，运用“角的平分线上的点到角两边的距离相等”寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出线段长度． 4．遇角平分线常作的四种辅助线 （1）过角平分线上十点作角两边的垂线构造全等三角形． （2）过角平分线上点作角的一边的平行线构造等腰三角形． （3）过角平分线上一点，作角平分线的垂线构造等腰三角形． （4）遇与角平分线垂直的线段时，延长垂线段与角的另一边相交，构造等腰三角形．
【例11】　（2024秋 临沭县期末）如图，点在△的边上，，，垂足分别是点，，且，连接，，两者相交于点．
求证：平分．
【答案】，，垂足分别是点，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
平分．
【分析】证明△△，推出，据此即可证明是的垂直平分线．
【解答】证明：，，垂足分别是点，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
平分．
【例12】　（2024秋 北票市期末）如图，在中，，，，是的平分线，求的长．
【分析】由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得．
【解答】解：，，
．
是的平分线，
．
，．
．
．
的长为．
【例13】　（2024秋 沈丘县期末）已知：如图，在中，，是上一点，于，且．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据已知条件结合角平分线性质定理的逆定理即可证明；
（2）根据直角三角形的两个锐角互余求解．
【解答】（1）证明：，，，
点在的平分线上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
．
【例14】　（2024秋 渭源县期末）如图，是内的一条射线，是上一点，过点作于点，于点，已知，求证：是的平分线．
【答案】证明见解析．
【分析】根据垂直的定义和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：于点，于点，
，
在与中，
，
，
，
即是的平分线．
【例15】　（2024秋 淮北期末）如图，在中，，平分交于点，于点，交于点．求证：．
【分析】根据角平分线的定义得到，根据角平分线的性质得到，，由平行线的性质得到，于是得到结论．
【解答】证明：平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
考点04（★）尺规作图
1．尺规作图中的“尺”指没有刻度的直尺，其用途是作直线，“规”指圆规，其用途是作长度相等的线段． 2．作角平分线时，“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为角平分线是一条射线，不是一条线段．
【例16】　（2025 南安市模拟）如图，在△中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得△△可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
可以理解成是平角的角平分线，
，是的平分线，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
不是的垂直平分线，故不能证明，
综上所述：，，不符合题意，符合题意，
故选：．
【例17】　（2025春 邵阳县期末）如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据作图过程可得，两个三角形三条边对应相等，所以可得两个三角形全等．
【解答】解：由作图过程可得：，，，
所以，
，
故选：．
【例18】　（2024秋 祁东县期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是　　
①作射线；
②在射线和上分别截取、，使；
③分别以、为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】
【分析】根据作一个角的平分线的过程即可进行判断．
【解答】解：根据作一个角的平分线的过程可知：
②在射线和上分别截取、，使；
③分别以、为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点；
①作射线．
则射线平分．
所以作法的合理顺序是②③①．
故选：．
【例19】　（2024秋 玉溪期末）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，
【解答】解：由作图可知，，，
△，
．
故选：．
【例20】　（2025 大理州一模）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，，，为上一动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】过点作于点．证明，利用面积法求出即可．
【解答】解：如图，过点作于点．
，，，，
由作图过程可知：平分，，，
，
设，则有，
，
，
为上一动点，
则的最小值为，
故选：．

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