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第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.4 边边边
“边边边”判定是华师版八年级上册第十二章《全等三角形》12.2节的内容，是全等三角形判定方法的重要组成部分.此前学生已学习了全等三角形概念及“边角边”“角边角”“角角边”等判定方法，“边边边”判定完善了全等三角形的判定体系，也为后续学习等腰三角形、直角三角形等特殊三角形性质与判定奠定基础.
1.掌握三角形全等的基本事实-SSS；
2.应用基本事实-SSS判定两个三角形是否全等，以及运用该基本事实解决一些简单的实际问题；
3.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能进行有条理的思考，体会分类思想在数学活动中的应用，积累数学活动经验；
4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．
重点：掌握三角形全等的基本事实-SSS．
难点：应用基本事实-SSS判定两个三角形是否全等，以及运用该基本事实解决一些简单的实际问题.
复习回顾
到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？
预设：
边角边(SAS)：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
角边角(ASA)：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
角角边(AAS)：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
思考：还有其它判定两个三角形全等的方法吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考后尝试回答．
设计意图：通过回顾已学的三角形全等判定方法，引导学生梳理知识，再以问题引发思考，激发学生探索新判定方法的兴趣，为后续教学做铺垫，同时促进师生互动.
探究新知
活动一：探究全等三角形的判定SSS
我们已经讨论了两个三角形有两边一角，以及两角一边分别相等时，这两个三角形能否全等的情况.
思考：若两个三角形有三个角对应相等，那么这两个三角形是否全等？
三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，如图
如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形未必全等.
探究：如果两个三角形有三条边分别相等，那么这两个三角形是否一定全等呢？
为此我们以已知的三条线段为三角形的三边，作三角形，看看你和同伴作出的三角形是否全等.
想一想：三条线段需符合什么条件，才能作出一个三角形？
预设: 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
做一做：如图，已知线段a、b、c，试作△ABC，使 BC =a，AC=b，AB=c.
作法：(1)作线段BC，使BC=a；
(2)以点B为圆心、线段c的长为半径作圆弧，以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，两弧相交于点A；
(3)连结AB、AC.
如图 ，△ABC 即为所求作的三角形.
思考：把你作的三角形与其他同学所作的三角形进行比较.它们能互相重合吗
预设：
如果两个三角形互相重合，那么这两个三角形全等.
总结：我们有如下基本事实：
三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边或“SSS”)
几何语言：如图，在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的基本事实．
设计意图：通过尺规作图和三角形重合示例，让学生直观感受三边对三角形形状、大小的影响.引导学生推理验证，培养逻辑思维.总结得出SSS基本事实，帮助学生构建知识体系，提升从直观感知到抽象归纳的数学能力.
活动二：SSS的应用
思考：如图所示，我们曾利用尺规作图作出一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB，现在你能证明这两个角确实相等吗
按如图所示的尺规作图的作法，证明∠AOB=∠A'O'B'？
证明：如图 ，连结CD、C'D'.
在△C'O'D'和△COD中,
O'C'=OC(所作)，O'D'=OD(所作)，C'D'=CD(所作)，
△C'O'D'≌△COD(SSS)
所以∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)
即∠A'O'B'=∠AOB.
思考：如图所示，我们曾利用尺规作图作出已知角∠AOB的平分线，现在你能证明射线OP确实是∠AOB的平分线吗
由作法，可知OM=ON，MP=NP.再借助线段OP，就可以证明△OMP和△ONP全等，从而∠MOP=∠NOP，射线OP即是∠AOB的平分线.
试写出整个证明过程.
证明：如图 ，连结PN、PM.
在△POM和△PON中，
OM=ON，PM=PN，OP=OP(公共边)，
所以△POM≌△PON(SSS)
所以∠POM=∠PON(全等三角形的对应角相等)
即：射线OP是∠AOB的平分线.
设计意图：通过尺规作角相等和角平分线的证明，让学生运用“SSS”（边边边）判定三角形全等的知识，验证作图的合理性.既巩固了全等三角形的判定及性质，又帮助学生理解尺规作图的原理，提升逻辑推理与几何证明能力，同时为后续几何学习中严谨证明的思维培养奠定基础.
【读一读】
至此，我们已经学习了关于全等三角形的三个基本事实，这是进行演绎推理的重要依据，它们是从静态的角度探索发现的判定方法，其本质与动态的全等三角形定义是一致的，即在这些条件下，两个三角形一定可以通过图形的基本变换(轴对称、平移和旋转)而相互重合.
【概括】
我们可以将前面在对全等三角形判定的探索中得到的结论归纳成下表(请补充完整表格中的内容)：
设计意图：通过阅读材料回顾全等三角形判定的静态方法与动态重合本质，再结合表格归纳，帮助学生系统梳理知识，强化对不同判定条件下三角形是否全等的理解，提升知识整合与归纳能力.
应用新知
教材例题
例1 如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：∠B=∠D.
分析：由于∠B和∠D分别属于△ABC和△CDA，所以只需证明这两个三角形全等即可.
证明:在△ABC 和△CDA中,
∵ AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共边)
∴△ABC ≌△CDA(SSS)
∴∠B=∠D.(全等三角形的对应角相等)
注意：证明两个角相等，可以通过全等三角形的对应角相等来解决.
典型例题
例2 已知直线AB和直线外一点P(如图)，用直尺和圆规，过点P作直线 CD，使 CD//AB.
分析：在已知直线上任取一点F与已知点P连线，作一个角∠EPD与已知角∠EFB相等，做直线CD，根据同位角相等，两直线平行，即可得.
作法：如图.
(1)在直线AB上取一点F，过点P，F作直线PF.
(2)作∠EPD=∠EFB.
(3)过点D、点P作直线CD.
则CD//AB且经过点P，直线CD就是所求作的直线.
例3 已知：如图，在△ABC中，AB=AC.点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：△ABD≌△ACE.
分析：根据已知条件先证BD=CE，再证△ABD≌△ACE即可.
证明：∵BE=CD，
∴ BE–DE=CD–DE，即BD=CE.
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC (已知)，AD=AE (已知)，BD=CE(已证)
∴△ABD≌△ACE(SSS)
师生活动：学生先独立思考再作答.
设计意图：通过典型例题，让学生运用SSS判定三角形全等，巩固所学知识，同时引导学生发现隐藏条件，提升分析和解决几何问题的能力，体会全等三角形在证明线段位置关系中的应用.
课堂练习
【教材练习】
1.根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等
(1)如图①，线段AD与BC相交于点O，AO=DO，BO=CO. △ABO 和△DCO.
证明：∵AO=DO，BO=CO，∠AOB=∠COD(对顶角)
∴△ABO≌△DCO(SAS)
(2)如图②，AC=AD，BC=BD. △ABC和△ABD.
证明：∵AC=AD，BC=BD，AB=AB(公共边)
∴△ABC≌△ABD(SSS)
(3)如图③，线段AC与BD相交于点O，∠A=∠C，∠B=∠D. △ABO和△CDO.
解：如图，三个角对应相等，但没有对应边相等，△ABO和△CDO不一定全等.
(4)如图④，∠CAB=∠DBA，∠1=∠2.△ABC和△BAD.
证明：∵∠CAB=∠DBA，∠1=∠2，AB=BA(公共边)
∴△ABC ≌△BAD(SAS)
2.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证:∠A=∠D.并找出图中互相平行的线段，说明你的理由.
证明：∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF
在△ABC和△DEF中，
AB=DE(已知)，AC=DF(已知)，BC=EF(已证)
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE
∴AB∥DE，AC∥DF.(同位角相等，两直线平行)
3.如图，点C、D是线段AB上的点，AD=BC，AF=BE，CF=DE.求证:△ACF≌△BDE，图中还有其他的全等三角形吗 说明你的理由.
证明：∵AD=BC，∴AC=BD
在△ACF和△BDE中，
∵AC=BD，AF=BE，CF=DE，
∴△ACF≌△BDE (SSS)，
∴∠A＝∠B，∠E＝∠F，∠ACF=∠BDE．
∴∠BCI=∠ADH.∴△BCI≌△ADH(ASA)
∴∠BIC=∠AHD，CI=DH
∴∠GIF=∠EHG，FI=EH
∴△GFI≌△GEH(ASA)
【自选练习】
4.如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？请完成下列解题步骤.
解：△ABC≌△DCB.
理由如下：在△ABC和△DCB，
AB = DC，AC = DB，___ = ____，
∴△ABC≌ ____ （ ）
答案：BC，CB，△DCB，SSS
5.如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（ ）
A.∠A=∠C
B. AB=AD
C. AD//BC
D. AB//CD
解：由AB=CD，AD=CB，BD=BD得，△ABC≌△ABD(SSS)，
故∠A=∠C， A选项正确．
∠ADB=∠CBD， 从而AD//BC，C选项正确．
∠ABD=∠CDB， 从而AB//CD，D选项正确．
故选B．
答案：B.
6.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件________. .
答案：BF=CD或 BD=FC
7.如图，已知AB=DE，BC=EF，AF=DC，求证: ∠EFD=∠BCA.
证明：∵AF=DC
∴AF+FC=DC+FC，∴AC=DF
在△ABC和△DEF中，
AB=DE (已知)，BC=EF (已知)，AC=DF (已证)
∴△ABC≌△DEF (SSS)
∴∠BCA=∠EFD (全等三角形的对应角相等)
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握三角形判定的基本事实SSS，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.说一说，基本事实SSS？
3.应用边边边能解决哪些问题呢？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过几个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．

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