资源简介

《17.1 用提公因式法分解因式》教学设计
基本信息
课题 17.1用提公因式法分解因式
学科及年级 初中数学，八年级上册
教材版本 人民教育出版社（人教版）
【课时教材分析】
本节内容选自人教版八年级上册第十七章《因式分解》的第一节“用提公因式法分解因式”。教材从跳水比赛的得分计算情境引入，通过整式乘法与因式分解互为逆运算的关系，引导学生理解因式分解的本质。通过对多项式pa+pb+pc的结构分析，引出公因式的概念，并系统讲解如何提取公因式进行因式分解。教材安排了多个探究活动和例题，如x +x、x -1等，帮助学生建立直观认识。随后通过具体例题展示提公因式法的操作步骤，包括系数的最大公因数、字母的最低次幂等关键点。练习题层层递进，既有基础训练，也有综合应用和拓广探索，体现了知识的系统性和思维的层次性。本节内容是后续学习公式法、分组分解法等其他因式分解方法的基础，在代数运算中具有承上启下的重要作用。
【课时学情分析】
八年级学生已经掌握了整式的加减乘除运算，特别是单项式与多项式的乘法，这为理解因式分解作为其逆运算提供了认知基础。然而，由于长期习惯于将括号展开的“化简”思维，学生在初学因式分解时容易产生方向性困惑，难以适应“由和到积”的变形思维。部分学生对字母表示数的理解仍停留在表面，面对含多个字母的多项式时缺乏整体观察能力。此外，确定公因式需要综合考虑系数和字母部分，这对学生的抽象概括能力和逻辑推理能力提出了较高要求。但该年龄段学生好奇心强，喜欢探究规律，且已具备一定的合作交流能力。通过创设贴近生活的情境和设计阶梯式探究任务，可以激发学习兴趣，引导学生在观察、比较、归纳中逐步掌握提公因式法的核心要义。同时，需关注学生在提取公因式后括号内项数遗漏或符号错误等问题，加强针对性指导。
【课时设计思想】
本课以“问题驱动—自主探究—合作交流—归纳总结—迁移应用”为主线，采用议题式教学与情境探究相结合的模式。以跳水比赛得分计算为真实情境切入，引发认知冲突，激发探究欲望。通过设置系列探究性问题，引导学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的数学思维过程，主动建构因式分解的概念。利用对比教学法，突出整式乘法与因式分解的互逆关系，强化知识联系。在方法学习环节，采取“示范—模仿—变式—拓展”的策略，通过典型例题的逐步剖析，帮助学生掌握提公因式法的操作程序。注重暴露思维过程，鼓励学生表达解题思路，及时纠正常见错误。设计分层练习，满足不同学生的发展需求。整个教学过程强调数学思想方法的渗透，如整体思想、类比思想、转化思想，着力提升学生的数学核心素养。
【教学目标】
观察现实世界：能从实际问题中抽象出多项式结构，识别其中的公共因子，理解因式分解在简化计算中的实际价值。
思考现实世界：通过对比整式乘法与因式分解的过程，领悟两者互为逆运算的本质，发展逆向思维能力；在寻找公因式的过程中，培养分类讨论与归纳推理的能力。
表达现实世界：能准确使用数学语言描述因式分解的过程与结果，规范书写提公因式后的代数表达式；能解释每一步变形的依据，清晰表达解题逻辑。
【教学重难点】
【教学重点】
理解因式分解的概念，掌握提公因式法的基本步骤，能够正确找出多项式各项的公因式并完成分解。
【教学难点】
准确确定复杂多项式的公因式（特别是当系数为负或含有相反数形式的括号时），理解提取公因式后括号内多项式的结构变化，避免漏项或符号错误。
【教学课时】
1课时
【教学策略】
采用议题式教学法创设核心问题链，结合情境探究法激发学习动机，运用合作探究法促进深度理解，辅以讲授法精讲关键要点。倡导自主学习、合作学习与探究学习相结合的学习方式，通过问题引领、任务驱动，让学生在真实情境中经历知识的发生发展过程。注重数学思想方法的渗透，强化运算能力的培养。
【教学准备】
教师准备：多媒体课件、跳水比赛情境图、探究活动卡片、课堂练习单。学生准备：课本、练习本、笔。技术准备：投影设备、电子白板。
【教学过程】
教学活动
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、情境导入，提出议题
1. 创设情境 展示教材中的跳水比赛背景图： 运动员从跳台跃入泳池，水花四溅，七名裁判正在打分。教师讲述：“在跳水比赛中，选手完成一个难度系数为 的动作后，7名裁判评分，去掉2个最高分和2个最低分，剩下3个分数 、 、 。选手的最终得分可以用两种方式计算： 第一种： 第二种： 请大家思考：这两个算式相等吗？它们之间有什么联系？” 观看图片，倾听情境描述，思考两个算式的异同，初步感知两者的等价性。 以真实体育赛事为背景，增强数学的应用感，激发学习兴趣。通过直观情境引出核心代数表达式，为后续学习埋下伏笔。
2. 引发思考 提问：“从数学运算角度看，从 得到 是我们熟悉的什么运算？”引导学生回答“整式乘法”。接着追问：“那么反过来，从 变成 ，这种变形叫什么呢？这就是我们今天要学习的新内容——因式分解。”板书课题。 回忆整式乘法知识，明确前者是乘法展开，后者是新的变形方式，带着疑问进入新课学习。 通过正反对比，制造认知冲突，自然引出因式分解的概念，使学生明确学习目标。
二、探究新知，建构概念
1. 探究活动 呈现教材“探究”栏目中的三个问题： 组织学生分组讨论，尝试填写空白。提示可借助整式乘法逆向思考。巡视各组，适时给予启发：“第一个式子中两项都含有哪个共同的字母？” 小组合作，回顾平方差公式、完全平方公式等已有知识，尝试将多项式写成乘积形式。代表汇报结果： (1) (2) (3) 通过开放性探究活动，激活已有知识储备，让学生亲历因式分解的发现过程，初步感知其形式特征。
2. 归纳定义 肯定学生的答案，指出：“像这样，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做这个多项式的**因式分解**，也叫**分解因式**。”强调因式分解的结果必须是“积”的形式。进一步提问：“因式分解和整式乘法有什么关系？”引导学生观察 ，明确二者是方向相反的变形。 理解因式分解的定义，认识到它是整式乘法的逆运算，形成双向转换的意识。 通过对比分析，建立新旧知识的联系，深化对因式分解本质的理解，避免孤立记忆概念。
三、方法探究，掌握技能
1. 认识公因式 聚焦 ，提问：“这个多项式的每一项都包含哪个相同的因式？”引导学生发现“ ”是公共部分。介绍：“我们把这个公共的因式 称为这个多项式各项的**公因式**。”给出一般性描述：“如果一个多项式的各项都有一个公共的因式，这个因式就是它的公因式。” 观察多项式结构，识别出 是三项共有的因子，理解公因式的含义。 从具体例子出发，抽象出“公因式”的概念，为提公因式法奠定理论基础。
2. 学习提公因式法 讲解：“既然 是公因式，我们可以把它‘提’出来，写成 的形式。这种方法叫做**提公因式法**。”强调提公因式法的关键是“先找公因式，再提取”。以教材例1(1) 为例，边讲解边板书： “观察两项： 和 ，它们都含有 ，所以公因式是 。提出 后，第一项剩下 ，第二项剩下 ，因此结果是 。” 跟随教师思路，观察例题，理解提取公因式的过程，记录笔记。 通过典型例题的示范，直观展示提公因式法的操作流程，帮助学生建立解题框架。
3. 突破难点 讲解例1(2) 。提问：“这个多项式有几项？各项是什么？”引导学生说出三项。继续问：“它们有没有公共的字母因式？”引导发现都有 。追问：“次数呢？最低是多少？”明确取 。再看系数：3, -4, 1，最大公因数是1，所以公因式是 。板书分解过程： 特别强调：“提出 后，最后一项变成1，不能省略！” 参与互动，回答问题，理解系数与字母部分分别处理的原则，注意提取后常数项的存在。 通过复杂案例突破易错点，强调提取公因式后括号内的完整性，防止漏项错误。
4. 深化理解 讲解例2 。引导学生分步分析： “先看系数：8和12，最大公因数是4； 再看字母：两项都有 和 ； 的次数分别是3和1，最低是1； 的次数分别是2和3，最低是2； 只在第二项出现，不是公共的。 所以公因式是 。” 板书： 提问：“现在括号里的两项还有公因式吗？”确认无后结束。 按照教师引导，逐步分析系数和字母的公因式，理解“取最低次数”的原则，完成分解。 通过多字母多项式的分解，系统训练公因式的确定方法，强化“系数取最大公因数，字母取最低次幂”的规则。
5. 拓展提升 讲解例3(1) 。提问：“这里的公因式还是单个字母吗？”引导学生观察到 是两项共有的整体。指出：“可以把 看作一个整体，它是公因式。”板书： 再讲例3(2) 。提示：“ 和 有什么关系？”引导回忆 ，所以原式变为 ，公因式为 ，分解得 认识整体思想在提公因式中的应用，理解相反数的平方相等，学会灵活变形。 拓展公因式的内涵，引入整体思想和符号变换技巧，提升思维灵活性和应变能力。
四、巩固练习，应用反馈
1. 基础训练 布置教材“练习”第1题：判断是否为因式分解。逐题分析： (1) ：左边是积，右边是和，是乘法，不是因式分解。 (2) ：和变积，是因式分解。 (3) ：结果仍是和，不是积，不是因式分解。 独立判断，说明理由，辨析因式分解的本质特征。 巩固概念，澄清误区，确保学生准确理解因式分解的定义。
2. 技能操练 布置“练习”第2题：分解因式。 (1) ：公因式 ，结果 (2) ：公因式 ，结果 (3) ：公因式 ，结果 (4) ：公因式 ，结果 巡视指导，纠正错误。 独立完成分解，体会提公因式法的应用，积累操作经验。 通过基础题组训练，熟练掌握提公因式法的基本操作，形成基本技能。
3. 综合应用 布置“练习”第3题：利用因式分解计算。 (1) (2) 强调因式分解在简化计算中的优势。 尝试将数值计算转化为代数式分解，体会数学方法的实际价值。 展现因式分解的应用价值，增强学习动机，实现知识的迁移。
【作业设计】
基础巩固 下列变形是因式分解的是（　　） 　　　B. 　C. 　　　D. 分解因式： 　 　(2) 　(3) 　(4) 能力提升 先分解因式，再求值： 　 ，其中 ， ， ， 。 4. 已知 ， ，求 的值。 拓广探索 5. 证明：对于任意整数 ， 一定是6的倍数。
【板书设计】
第十七章 因式分解 17.1 用提公因式法分解因式 一、因式分解 　定义：多项式 → 整式乘积 　与整式乘法互为逆运算 　例： 二、提公因式法 　1. 公因式：各项公共的因式 　2. 方法：提取公因式，写成积的形式 　3. 步骤： 　　　① 找：系数（最大公因数），字母（最低次幂） 　　　② 提：提出公因式 　　　③ 写：括号内为原式除以公因式的商 三、注意事项 　 提取后括号内不能漏项 　 注意符号变化 　 整体思想的应用
【教学反思】
本节课通过跳水比赛的真实情境成功激发了学生的学习兴趣，使抽象的代数运算有了具体的生活依托。教学中注重概念的生成过程，通过探究活动让学生自主发现因式分解的形式特征，有效避免了机械记忆。在方法讲解环节，采用“低起点、小步子、多反馈”的策略，从简单到复杂逐步推进，特别是对例1(2)中常数项1的强调，有效减少了学生漏项的错误。整体思想的渗透也为后续学习奠定了良好基础。但仍有个别学生在处理 与 的关系时存在困惑，反映出符号意识有待加强。今后可在课前增加相关复习环节。课堂练习时间稍显紧张，部分学生未能充分展示解题过程，建议将部分练习调整为课后作业，留出更多时间进行典型错误的集体剖析。总体而言，学生基本掌握了提公因式法的核心技能，达到了预期教学目标。

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