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第2章 特殊三角形
2.4等腰三角形的判定定理
《等腰三角形的判定定理》是浙教版八年级数学上册第二章第四节的内容．在学生已经系统学习了全等三角形、命题相关知识，并且深入掌握等腰三角形的性质之后，开展对等腰三角形判定定理的学习．它与等腰三角形的性质定理互为逆定理，不仅揭示了同一个三角形中角与边的相互关系，还为证明两条线段相等提供了全新的思路和方法，在后续几何图形的证明和计算中有着广泛应用，起到了承上启下的关键作用，是初中数学几何部分的重要内容．
1．理解并掌握等腰三角形的判定定理.
2．在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形．结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题．
3．学会规范书写几何证明过程，明确“已知—求证—证明”的逻辑链．提升对复杂图形的分析能力．
4.在探究等腰三角形性质的过程中，鼓励学生自主思考，同时与小组成员交流讨论，共同解决问题，提高学习数学的兴趣．
重点：理解并掌握等腰三角形的判定定理.
难点：在证明题中，通过角相等推导边相等，或通过边相等构造等腰三角形．结合全等三角形、平行线等知识，综合解决几何图形中的边角关系问题．学会规范书写几何证明过程，明确“已知—求证—证明”的逻辑链．提升对复杂图形的分析能力．
情境导入
1.等腰三角形的定义是什么？
有两条边相等的三角形是等腰三角形
2.等腰三角形具有哪些性质？
①等腰三角形的两个底角相等 (简写成 “等边对等角”)
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一．
3.如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB. 你知道为什么吗？
∵∠B=60°-30°=30°=∠C，
∴AB=AC.
∴量出量出AC的长，就可算出河的宽度AB.
根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形．除此之外，还有其他判定方法吗
师生活动：教师展示问题，引导学生回顾等腰三角形的性质和定义，帮助学生回忆，为新课学习做铺垫．
设计意图：从学过的知识入手，激发学生学习兴趣，通过回忆唤醒等腰三角形的相关知识，为后续探究等腰三角形的判定定理做铺垫．
探究新知
　活动一：探究等腰三角形判定定理
1.在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC 的同侧画两个相等的锐角，两角的另一边相交于点A．量一量，线段AB与AC相等吗 其他同学的结果与你的相同吗
通过测量：AB=AC
追问：你发现了什么规律
发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
你能写出证明过程吗
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：如图，作△ABC的角平分线AD．
在△ABD和△ACD中，
因为
可得△ABD≌△ACD(AAS)．
从而有AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
所以△ABC是等腰三角形.
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“在同一个三角形中，等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，
因为∠B＝∠C ，所以AB=AC．(等角对等边)
即△ABC为等腰三角形
注意：在同一个三角形中使用．
师生活动：教师组织学生，小组讨论，通过画等腰三角形，猜测等腰三角形的判定定理．
设计意图：教师引导组织学生，画等腰三角形，猜测等腰三角形的判定定理，写出证明过程，教师引导总结，增强学生的辩证思维．
活动二：探究等边三角形判定定理
问题：我们知道三条边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的各个内角都等于 60° ．
那么我们是否可以利用这一知识作为判定等边三角形的方法呢？请写出证明过程
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C，
求证：△ABC是等边三角形(即AB=BC=CA)．
证明：
因为∠A=∠B，根据等角对等边，所以BC=AC．
因为∠B=∠C，根据等角对等边，所以AC=AB．
因为∠A=∠C，根据等角对等边，所以AB=BC．
综上，AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．
等边三角形的判定定理1：
符号语言：
在△ABC中，
因为∠A=∠B=∠C，
所以AB=BC=CA．
即△ABC是等边三角形．
师生活动：通过回顾等边三角形的内容，引导学生思考等边三角形的判定定理1，教师进行总结．
设计意图：让学生从学过的知识入手，引导学生思考等边三角形的判定定理1，并且写出证明过程，能够更好的帮助他们理解这一知识点，从而培养学生的辩证能力、逻辑思维能力．
问题：有一个角是60°的等腰三角形是否是等边三角形呢？
分析：因为已知60°的角可能是等腰三角形的底角，也可能是顶角，所以分两种情形：
第一种情况：
若60°的角是等腰三角形的底角，则另一个底角也等于60°，所以顶角为180°-2×60°=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个等腰三角形是等边三角形．
证明：
因为AB=AC，∠B=60°(已知)，
所以∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角)．
所以∠A=180°-2×60°=60°(三角形内角和定理)．
所以∠A=∠B =∠C=60°．
所以△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
第二种情况：
若60°的角是等腰三角形的顶角，则它的两个底角都等于=60°，可得这个等腰三角形的三个角都相等，所以这个三角形是等边三角形．
证明：因为AB=AC，∠A=60°(已知)，
所以∠C=∠B==60°．
所以∠A=∠B=∠C =60°，
所以△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
等边三角形的判定定理2：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
在等腰三角形ABC中，
因为∠B＝60°．
所以∠A=∠B=∠C =60°，
所以△ABC是等边三角形．
师生活动：教师引导学生思考等边三角形的判定定理2，进行总结．
设计意图：让学生明白60°可能是底角，也可能是顶角，引导学生从这两方面入手，思考等边三角形的判定定理2，并且写出证明过程，能够更好的帮助他们理解这一知识点，从而培养学生的辩证能力、逻辑思维能力．
应用新知
例1．一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A，B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C=30°．量出AC的长，它就是河的宽度(即点A，B之间的距离)．这个方法法正确吗 请说明理由．
解：这个方法正确．理由如下：
因为 ∠CAD=∠B+∠C
(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
而∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°，
则 ∠B=∠C，
所以AB=AC(在同一个三角形中，等角对等边)．
例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
分析：
①先找出△ABC和△ACD中的等角关系，推出∠B=∠ACD；
②根据角平分线定义得出∠BAE=∠EAC；
③再根据“三角形外角等于不相邻两内角和”，可推出∠CEF=∠CFE.
④最后“等角对等边”得出结论△CEF是等腰三角形．
作法：如图
证明：在△ABC中，∠ACB=90°，
所以∠B+∠BAC=90°．
CD是AB边上高，所以∠ACD+∠BAC=90°，
所以∠B=∠ACD．
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE=∠EAC，
所以∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC，
即∠CEF=∠CFE．
所以CE=CF，则△CEF是等腰角形．
总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．．
师生活动：教师讲解例1、例2解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项．
设计意图：让学生将所学知识应用到实际问题中，巩固所学知识，提高学生分析问题和解决问题的能力，让学生掌握运用等腰三角形的判定定理解决问题的方法．
课堂练习
1．已知一个三角形的两个角的度数分别为43°，94°，这个三角形是不是等腰三角形 请说明理由.
解：这个三角形是等腰三角形，理由如下：
根据三角形内角和为180°，已知两个角分别为43°和94°，设第三个角为∠C，
则∠C=180°-43°-94°=43°．
因为其中有两个角都是43°，根据等角对等边可知，
所以这个三角形是等腰三角形．
2．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．
分析：根据等腰三角形的判定定理解题即可.
证明：因为∠1=∠2(已知)，
所以AD=AE(在同一个三角形中，等角对等边)．
因为 DE∥BC(已知)，所以 ∠1=∠B，∠2=∠C．
所以∠B=∠C，所以AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）．
所以 △ABC是等腰三角形.
3.辩一辩：如图，下列推理正确吗
因为∠1=∠2， 因为∠1=∠2，
所以BD=DC． 所以BC=DC．
(等角对等边) (等角对等边)
错，因为都不是在同一个三角形中．
4.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是( )
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
分析：根据题意由右图可知：∠B=130°÷2=65°.
因为∠ACB=180°-130°=50°，所以∠A=180°-65°-50°=65°.
因为∠A= ∠B ，AC=BC，即这个三角形是等腰三角形.
答：B
5.已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D．求证:BC=CD．
分析：
借助辅助线，找到角的等量关系，在根据等腰三角形的判定定理解题即可.
证明：连接BD，
因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB．
因为∠ABC=∠ADC，
所以∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB．
即∠DBC=∠BDC，所以BC=CD．
6.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离．
分析：根据三角形的外角性质，推出∠C的度数，再根据等腰三角形的判定定理得出BA=BC，最后按照路程=速度×时间，可求出B处到灯塔C的距离.
解：因为∠NBC=∠A+∠C，
所以∠C=80°-40°=40°，所以∠C=∠A，
所以BA=BC(等角对等边)．
因为AB=20×(12-10)=40(海里)．
所以BC=40海里．
答：B处距离灯塔C 40海里．
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握等腰三角形的判定定理，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．等腰三角形的判定定理是什么？
3．等边三角形的判定定理有哪些？
设计意图：帮助学生梳理本节课的知识结构，加深学生对所学知识的理解和记忆，让学生明确本节课的重点和难点，为后续学习做好准备．
实践作业：生活中的等腰三角形
任务：请你观察身边的物体(如屋顶、红领巾、三角尺等)．
要求：找出1-2个等腰三角形，并用“等角对等边”的判定方法验证它是否为等腰三角形(可拍照或画图记录，简要写出验证过程)．

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