资源简介

初中数学人教版（2024）七年级下册
8.3 实数及其简单运算
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本章内容对应"数与代数"领域中的"实数"主题。课标要求学生理解无理数的概念，掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，能进行实数的分类和比较大小。重点培养数形结合思想，通过、等实例理解无理数的几何表示，发展几何直观能力。要求掌握实数运算的基本法则，包括相反数、绝对值等概念，并能运用有理数运算律进行实数运算。在问题解决方面，强调通过探究活动理解有理数与无理数的区别，建立实数系的整体认知，为后续学习函数等内容奠定基础。
教材分析
本节课在学习有理数的基础上，通过探究有理数的小数形式，引出无限不循环小数——无理数，进而将数系扩充到实数，建立了实数的概念与分类，并借助数轴说明实数与点的一一对应关系，拓展了相反数、绝对值及运算性质到实数范围。教学过程以问题引导、探究发现为主线，帮助学生逐步建构知识体系。本节内容与前面的有理数、平方根、立方根等知识紧密联系，是数系的又一次重要扩充。本节课不仅完善了学生对数的认识结构，提升了抽象思维能力，也为后续学习二次根式、函数、方程等奠定了坚实的数系基础，同时增强了学生数形结合和类比推理的能力。
学情分析
七年级学生已学习有理数的概念及其运算，掌握了数轴、相反数、绝对值等基本性质，具备一定的数感和抽象思维能力，能够理解有限小数和无限循环小数均可表示为有理数，同时通过平方根、立方根的学习接触了如、等无限不循环小数，为引入无理数和实数概念奠定了基础；该阶段学生正处于从具体运算向形式运算过渡的关键期，具备初步的逻辑推理能力，但对抽象概念的理解仍需借助直观模型支撑；本节课要求学生理解无理数与实数的概念，掌握实数的分类及与数轴上点的一一对应关系，并能类比有理数理解实数的相反数和绝对值意义，通过探究活动发展数形结合思想，提升对数系扩充的整体认识，为进一步学习实数运算和函数等内容打下坚实基础。
教学目标
理解有理数与无理数的区别，掌握实数的分类及意义，能识别无限不循环小数为无理数，发展抽象思维和数学概念建构能力，提升数学抽象核心素养。
掌握实数与数轴上点的一一对应关系，能用数轴表示无理数，体会数形结合思想，增强几何直观与空间观念，提高直观想象核心素养。
理解实数的相反数与绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值，类比有理数性质推广到实数，培养类比推理能力，强化数学运算与逻辑推理能力。
掌握实数运算法则与运算性质，能在实数范围内进行近似计算，理解无理数参与运算的处理方法，提升数学运算核心素养和实际应用能力。
重点难点
重点：理解无理数、实数概念，掌握实数分类，明确实数与数轴上点的对应关系及运算规则。
难点：认识无理数及理解实数与数轴上点一一对应关系，掌握实数运算中无理数近似计算。
课前任务
1.知识回顾：
上节课我们学方根与立方根，请大家回顾有理数的定义，思考有理数包含哪些数，以及开平方、开立方运算的相关知识。
2.预习教材：
阅读教材中实数部分内容，了解无理数的定义，明白实数的分类方式，留意实数与数轴的关系，将实数分类及实数与数轴对应关系的关键语句记录在预习笔记上，标记疑问点。
3.问题思考：
是有理数吗？如果不是，它属于什么数？思考如何在数轴上表示无理数，实数的相反数和绝对值与有理数的有何联系？课上一起探讨。
课堂导入
同学们，大家先回忆一下，之前我们通过引入负数，把数的范围扩充到了有理数。现在来做个小游戏，老师给出一些数，大家快速判断哪些是有理数，哪些不是：
，，， 。像、、 这些数大家很容易判断是有理数。但 呢？它好像有些特别，它是不是有理数呢？前面我们知道很多数的平方根、立方根是无限不循环小数，就像 。今天，我们就一起深入探究，当遇到这样特殊的数时，数的范围又会发生怎样的扩充，一起走进 “实数” 的世界。
实数
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经知道有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。比如：
但是，像、这样的数，它们的小数形式是无限不循环的。这类数我们称之为无理数。无理数也有正负之分，比如是正无理数，是负无理数。有理数和无理数统称为实数。
如图，实数可以分为有理数和无理数两大类。同时，非零实数还可以按正负性来分类：
那么，无理数在数轴上如何表示呢？我们来看两个例子：
表示：
如图所示，以单位长度为半径画圆，当圆沿数轴滚动一周时，终点对应的数就是。
表示和：
如图所示，以单位长度为边长画正方形，其对角线长为。以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴的交点就表示和。
由此我们得出结论：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，且数轴上的每一个点都表示一个实数，这就是实数与数轴的一一对应关系。比较实数大小时，数轴上右边的点表示的实数总比左边的大。
（二）师生互动
教师提问：同学们，我们已经知道约等于1.414，那么和1.4142哪个数更大呢？为什么？
学生回答：更大，因为1.4142是的近似值，实际=1.4142135...，第四位小数是2，比1.4142的第四位小数0要大。
教师追问：很好！那如果要在数轴上标出的位置，你们觉得应该怎么操作呢？
学生思考后回答：可以像表示那样，先构造一个直角边为1的等腰直角三角形，斜边就是，然后以和1为直角边构造直角三角形，斜边就是，再用圆规在数轴上标出这个长度。
（三）设计意图
通过具体实例引导学生从有理数过渡到无理数的认知，建立实数概念。借助几何作图直观展示无理数在数轴上的表示方法，培养学生的数形结合思想。通过师生互动中的问题链设计，帮助学生深入理解无理数的性质和实数与数轴的对应关系，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。整个探究过程注重从具体到抽象的认知规律，让学生在观察、思考和讨论中构建完整的实数知识体系。
新知巩固：在下列各数：，，，，， 中无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
解答：
我们逐个判断每个数是否为无理数。
：这是有限小数，是有理数（注意：它只是 的近似值，本身不是 ）。
→ 有理数
： 是无限不循环小数，是无理数，负号不影响其无理性。
→ 无理数
：5 不是完全平方数， 是无限不循环小数。
→ 无理数
：已知是典型的无理数。
→ 无理数
：分数形式，且分母不为零，是有理数（可计算为 ，无限循环小数）。
→ 有理数
：，所以 ，是整数。
→ 有理数
综上，无理数有：，，，共 3 个。
答案选 B。
总结：
1. 题目考查内容
本题考查对有理数与无理数的区分能力，重点在于识别哪些数是无限不循环小数（即无理数），特别是带根号、、分数等形式的数。
2. 题目求解要点
有限小数、无限循环小数、分数、整数都是有理数；
及其倍数（非零）是无理数；
开方结果若不是整数或分数（即不能表示为两个整数之比），则是无理数；
若能化简为有理数（如 ），则不是无理数。
3. 同类型题目解题步骤
将每个数尝试化简（如开方、约分）；
判断是否为整数、分数、有限小数或循环小数 → 是则为有理数；
若为 、 或非完全幂的根式（如 等），且无法化为有理数 → 为无理数；
统计无理数个数。
探究新知
（一）知识精讲
同学们，我们已经学习了有理数的相反数和绝对值，现在让我们把这些概念推广到实数范围。观察下面的例子：
相反数的概念：
的相反数是，
的相反数是，
0的相反数是0。
绝对值的概念：
，
，
。
通过观察这些例子，我们可以总结出实数范围内相反数和绝对值的定义：
数的相反数是。
一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
用数学表达式表示为：
在实数运算方面，我们可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算。此外：
正数及0可以进行开平方运算；
任意一个实数可以进行开立方运算。
在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用。当遇到无理数需要求近似值时，可以先用近似有理小数代替无理数进行计算，最后对结果四舍五入。
（二）师生互动
教师提问：同学们，我们已经知道的相反数是，那么的绝对值是多少呢？
学生回答：，因为负数的绝对值是它的相反数。
教师追问：很好！那如果我们要计算的近似值，应该怎么做呢？
学生思考后回答：可以先分别取和的近似值，比如，，然后计算2.236-3.142≈-0.906。
教师继续引导：正确！那为什么我们在取近似值时要多取一位小数呢？
学生回答：这样可以减少计算过程中的误差，保证最终结果的精确度。
（三）设计意图
通过具体实例引导学生理解实数范围内相反数和绝对值的概念，培养学生的类比推理能力和数学抽象思维。通过师生互动，帮助学生掌握实数运算的方法和技巧，特别是无理数近似计算的处理方式。强调数学概念的严谨性和运算的精确性，培养学生良好的数学思维习惯和计算习惯。通过从有理数到实数的知识迁移，让学生体会数学知识的连贯性和系统性，增强学习数学的信心。
新知应用 例1题目：
(1) 分别写出，的相反数；
(2) 指出，分别是什么数的相反数；
(3) 求的绝对值；
(4) 已知一个数的绝对值是，求这个数。
解答：
(1)
根据实数相反数的定义：数的相反数是。
我们逐个计算：
的相反数是；
的相反数是。
所以，和的相反数分别是和。
(2)
我们要找出哪个数的相反数等于给定的数。
即：若一个数是的相反数，则它等于，那么。
对于：它的相反数是，所以是的相反数；
对于：先看它的相反数是，
所以是的相反数。
因此，是的相反数，是的相反数。
(3)
先计算：
因为，所以。
再求绝对值：。
所以结果是。
(4)
设这个数为，已知。
根据绝对值的定义：
当时，；
当时，，解得。
所以满足条件的数有两个：和。
总结：
1.题目考查内容
① 实数的相反数概念及其应用；
② 实数的绝对值定义与计算；
③ 开立方运算的基本性质；
④ 绝对值方程的求解（已知绝对值反求原数）。
2.题目求解要点
① 相反数只需在原数前加负号，注意代数式整体取反要加括号；
② 绝对值要根据正负性判断：正数绝对值是本身，负数绝对值是其相反数；
③ 开立方可以对负数进行，且；
④ 若，则或，有两个解。
例2题目：
计算：
(1)
(2)
解答：
(1)
观察算式：
利用加法结合律重新组合：
所以结果是。
(2)
这是一个同类二次根式的加法。
类似于合并同类项：
所以结果是。
总结：
1.题目考查内容
① 实数的加减运算；
② 运用有理数的运算律（如结合律、分配律）进行实数运算；
③ 同类根式的合并方法。
2.题目求解要点
① 在实数运算中，有理数的运算法则仍然适用，比如结合律、交换律、分配律；
② 含有根号的加减运算中，只有“相同根式”才能像同类项一样合并；
③ 注意保持符号正确，避免漏掉括号或误操作。
新知巩固
题目：
下列命题是真命题的是（ ）
A． 若 ，则
B． 若 ，则
C． 两个有理数的积仍为有理数
D． 两个无理数的积仍为无理数
解答：
逐项分析：
A． 若 ，则
此命题不成立。
反例：取 ，，，则 ，但
当 时不等号方向改变，因此命题错误。
B． 若 ，则
同样不成立。
反例：，，，则 ，但
乘以负数时不等号方向改变，命题错误。
C． 两个有理数的积仍为有理数
正确。
设两个有理数为 和 （其中 为整数，, ），则它们的积为：
分子 是整数，分母 ，所以结果是有理数。
因此该命题为真命题。
D． 两个无理数的积仍为无理数
错误。
反例： 是无理数，，而 是有理数。
另一个反例： 与 都是无理数，其积为 ，也是有理数。
因此命题不成立。
综上，唯一正确的选项是：C
总结：
1.题目考查内容
本题考查不等式的基本性质、有理数与无理数的运算封闭性，特别是对“运算结果是否仍属于同一数集”的理解。
2.题目求解要点
不等式两边同乘一个数时，必须考虑该数的正负性：
若 ，不等号方向不变；
若 ，不等号方向改变；
若 ，则两边都为 0，无法比较。
有理数对乘法运算是封闭的（积仍为有理数）；
无理数对乘法不封闭（积可能是有理数）；
判断真假命题需举出反例否定，或用定义证明其恒成立。
3.同类型题目解题步骤
审清每个选项的条件与结论；
对于不等式类命题，优先考虑参数符号的影响，尝试代入具体数值验证；
对于数集运算类命题（如有理数、无理数），回忆集合的运算封闭性：
有理数加减乘除（除数非零）结果仍为有理数；
无理数运算可能得到有理数；
使用反例法排除错误选项；
确认唯一正确选项，并确保其他选项均有明确反例或逻辑漏洞。
板书设计
实数
数的扩充
有理数→有限小数或无限循环小数
无理数→无限不循环小数
实数分类
按定义分：有理数、无理数
按正负分：正实数、0、负实数
实数与数轴
无理数在数轴表示：、、示例
一一对应：每个实数用数轴点表示，数轴点表示实数
实数大小比较：数轴右边点表示实数比左边大
实数相反数与绝对值
相反数：的相反数
绝对值：
实数运算
运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方
运算方法：用近似有理小数代替无理数计算
教学反思
本节课围绕实数的概念展开，通过探究有理数的小数形式引出无理数，进而构建实数体系，帮助学生理解、等无限不循环小数的归属问题，并借助数轴实现实数与点的一一对应，强化数形结合思想。教学中注重概念生成与类比迁移，成功引导学生从有理数自然过渡到实数，体现了知识的系统性。学生能较好掌握实数分类、相反数与绝对值的运算规则，课堂参与积极。不足之处在于部分学生对“为何无限不循环小数不能表示为分数”理解不深，教学中缺乏更直观的反证示例；数轴上作图表示的几何依据（如勾股定理）解释略显简略，影响部分学生的逻辑建构。今后应加强无理数本质的渗透，提升学生对抽象概念的理解深度。

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