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第四章 一次函数
1 函数
一、教学目标
1.经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验.
2.初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系是不是函数关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识.
3.掌握函数的三种表示方法，会根据两个变量之间的关系式求函数值.
4.会确定简单实际问题中函数关系式，并能确定自变量的取值范围.
二、教学重难点
重点：掌握函数的概念以及表示方法.
难点：会求函数的值，并确定自变量的取值范围.
三、教学过程设计
环节一：情境导入
教师活动：请同学们欣赏两首古诗，感受一下古人是怎么描写时间的变化的.
窗间梅熟落蒂，墙下笋成出林。
连雨不知春去，一晴方觉夏深。——范成大
纷纷红紫已成尘，
布谷声中夏令新。 ——陆游
教师活动：一场秋雨一场寒，十场秋雨穿上棉.说明__________随______的变化而变化.
教师活动：会当凌绝顶，一览众山小，说明 ____________随__________的变化而变化.
万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中，如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢 我们这节课就来研究一下吧.
学生活动：回答问题：天气温度随时间的变化而变化.抢答：人的视野随着海拔高度的变化而变化..
设计意图：创设有助于学生探索思考的问题情境，激起学生的兴趣.本节课先从学生熟悉的古诗和谚语出发，然后引导学思考生活中的变化如何通过数学的角度来寻找规律.
环节二：探究新知
【探究】
教师活动：你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
预设答案：由低变高，再由高变低.
右图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系.
请根据图象填表：
预设答案：3；14；36；47；36；14...
旋转的时间变化时，摩天轮上一点的高度也___________.
旋转的时间确定时，摩天轮上一点的高度也___________.
预设答案：随着变化；随着确定.
教师活动：对于给定的时间t，相应的高度h随之确定.
学生活动：认真思考并举手回答
设计意图：对于八年级学生来说，函数概念是相当抽象的，学生认识起来有一定的困难.为此，我们可以从具有函数关系、生动有趣、简单而又能说明问题的生活实例开始，进行分析说明，以激发学生的好奇心与求知欲.本课提供的是游乐园中的摩天轮这一生活实例，从图象和表格两个方面，让学生体会、思考其中蕴含的变量之间的关系.
【做一做】
问题一：罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
填写下表：
预设答案：1；3；6；10；15
追问：其中对于给定的每一个层数n ，物体总数 y的值确定吗？
教师活动：确定！只要给定层数，就能求出物体总数.
问题二：一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
(1)当t分别等于-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热力学温度T是多少？
(2)给定一个大于-273℃的t值，你都能求出相应的T值吗？
预设答案：
解(1)：当t为-43℃时，T=-43+273=230(K)；
当t为-27℃时，T=-27+273=246(K)；
当t为0℃时，T=0+273=273(K)；
当t为18℃时，T=18+273=291(K)；
(2)：能！代入关系式即可.
教师活动：有且只有唯一一个T值.
追问：上面的三个问题，有什么共同点？
预设答案：
共同特点：
1.都有两个变量.
2.给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值.
【归纳总结】
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量.
教师活动：注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
学生活动：认真思考并举手回答.在教师的引导下，说出三者的共同点.
设计意图：通过提问的方式引导学生思考、探究，使学生们初步感受到：现实生活中存在大量的变量间的关系，并且一个变量是随着另一个变量的变化而变化的；变量之间的关系表示方式是多样的(图象、列表和解析式等).感受变量之间的依存关系，给定自变量的值，会求函数值.
【做一做】
下面哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？
(1) S = 60t；
(2) y=20-x2；
(3) S=πr2.
预设答案：
(1) t是自变量，S是自变量的函数.
(2) x是自变量，y是自变量的函数.
(3) r是自变量，S是自变量的函数.
下列各式中，x是自变量，请判断y是不是x的函数？
y=6x； (2) y=x2；
(3) y=x3； (4) |y|=x.
预设答案： (1) 是 (2) 是 (3) 是 (4) 不是
教师活动：对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，y才是x的函数.
学生活动：认真思考并举手回答.
设计意图：通过“做一做”和对问题的思考让学生加深对函数定义的理解.在此过程中，培养学生的数学素养和学习数学的能力，激发学生的学习兴趣，同时点明本章所要解决的主要问题.
【思考】
在摩天轮旋转中，时间t可以看成是高度h的函数吗？为什么？
教师活动：当高度h确定时，对应的时间t有多个，所以t不是h的函数.
【探究】
表示函数的方法一般有哪些呢？
表示函数的一般方法有：图象法、列表法和关系式法.
教师活动：三种函数表示法可以互相转化.
学生活动：认真思考并举手回答.
设计意图：上面分别以图象、表格、表达式三种形式呈现了三个生活化的情境，通过对这三个问题的研究，使学生明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念，同时也暗示了函数的三种表示方法.
【做一做】
将“问题一”中的列表法转化为关系式法.
预设答案：
问题：上述的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
预设答案：自变量t的取值范围：t≥0.
预设答案：自变量n的取值范围：n取正整数.
预设答案：t≥-273.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
T(K)与t(℃)的函数关系：T=t+273，T≥0.当t=1时，T=1+273=274(K)，那么，274就是当t=1时的函数值.
教师活动：即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值.
学生活动：学生小组讨论，思考完成问题.
设计意图：函数有两个重要要素：一个是对应法则，它明确地给出一个变量的值是怎样随另一个变量的值的确定而确定的；另一个就是自变量的取值范围.自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分.
环节三：应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨.教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程.
【例1】 汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q(升)随行驶时间t(小时)的增加而减少.
(1)写出表示Q与t的函数关系的式子.
(2)指出自变量t的取值范围.
解：(1)函数关系式为：Q=40-5t
分析：也可叫做函数的解析式.
解：(2)由t≥0及40-5t≥0
得 0≤t≤8，
所以自变量的取值范围是0≤t≤8.
总结：汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
学生活动：思考问题，尝试回答问题，明确例题的做法
设计意图：通过典型例题的分析和讲解，让学生初步掌握函数概念，理解两个变量之间的关系是否为函数关系.理解函数值的意义.会据简单的实际问题，确定自变量的取值范围.
【例2】 已知函数 .
(1)指出自变量x的取值范围.
(2)当x=2，-2，3时，函数的值.
解：(1)由x-1≠0，得 x≠1，
所以自变量的取值范围是x≠1.
教师活动：分母不能为0.
(2)当x=2时，y=8;
当x=-2时，y= ;
当x=3时，y=
教师活动：把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
学生活动：明确例题的做法
设计意图：强化学生对自变量取值范围的认识.给出问题，激发学生思考，并讨论交流.引导学生从数学现象背后发现数学规律.
环节四：课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.选择.
(1)函数 自变量x的取值范围是( )
A. x≠5 B. x>2且x≠5 C. x≥2 D.x≥2且x≠5
(2)张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为( )
A.y=5x+10 B. y=5x-10
C.y=10x+5 D. y=10x-5
2.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=50时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中， 是变量， 是 的函数.
3.表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高度x(单位：m)落下时弹跳高度y(单位：m)与下落高的关系，据表可以写出的一个关系式是 ．
4.已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围.
答案：
1.(1)D (2)A.
2.s=50t；t和s；s;t.
3.y=0.5x
4.解：(1)函数关系式为：y=18-2x.
(2)由18-2x>0 且x＞0
得 x<9， 且x＞0;
所以自变量的取值范围是0学生活动：学生自主完成练习，然后集体交流评价.
设计意图：通过本环节的练习，让学生梳理并巩固所学知识，提高学生解答问题的能力，并进一步加强学生对本节内容的掌握程度，拓展学生的思维.
环节五：总结归纳
学生活动：回顾本节课所讲的内容.
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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