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4.2 合并同类项
上一节我们认识了整式，整式是不是可以像数一样进行运算呢？
引言
2022年，我国上海港集装箱的吞吐量突破4730万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。
图中两个集装箱均为长方体，宽为a m，高为b m，其中一个的长为9 m，另一个的长为6 m。
导入新课
早上妈妈让小明去买早饭,其中爸爸要四根油条,一杯豆浆;妈妈要两根油条,一杯豆浆;小明要三根油条,一杯豆浆.小明来到快餐店,先买了爸爸的四根油条,一杯豆浆;又买了妈妈的两根油条,一杯豆浆;最后买了自己的三根油条,一杯豆浆.他在买的过程中周围的人都被他逗笑了,你们知道他们为什么笑吗
观察与发现
活动一：自主探究同类项的概念、合并同类项法则
问题: 请认真阅读下列问题及章引言,完成问题的解答。
思考：
① 小明家菜地的总面积怎么表示 两个集装箱的总体积怎么表示
② 它们能组合在一起吗 如果能,分别可以组合成什么图形
③ 组合后的新图形面积或体积是多少
④ 根据等量关系,你能得到什么等式
① 根据上图可得，小明家的菜地总面积是两块菜地的面积之和,为(5a+2a); 集装箱的总体积是两个集装箱的体积之和,为(9ab+6ab)。
② 小明家的两块菜地可以组合成一个长为7米,宽为a 米的新长方形;两个集装箱可以组合成一个长为15 米,宽为a 米,高为b 米的新长方体,如上图所示。
③ 新长方形的面积为7a ,新长方体的体积为15ab 。
④ 根据组合前后的长方形面积和集装箱体积分别相等,得到5a+2a=7a;9ab+6ab=15ab。所以,小明家的菜地总面积是7a ;两个集装箱的总体积是15ab 。
思考与交流
活动二：识别同类项和合并同类项
问题3:你能用乘法对加法的分配律来说明为什么5a+2a=7a;9ab+6ab=15ab吗
这就是说，运用乘法对加法的分配律可以将5a和2a,9ab和6ab分别合并成一项7a和15ab。
问题4:在多项式3-5y++y中,哪些项可以像问题3中的5a 和2a,9ab和6ab一样合并为一项 它们有什么特征
问题5:你认为,在多项式中,什么样的项可以合并成一项 怎样合并
含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同的项,能根据乘法的分配律结合在一起。把字母(连同指数)提出来,把系数相加。
概括与表达
问题6:现在你知道导入中的买早饭涉及什么知识点了吗
例题讲解
例1 下列整式中，不是同类项的是 。
① 3b与-2b; ② -与a；
③ 与-； ④ 5与π。
解析：
3b与-2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项；
-与a所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项；
不含字母，-含字母x，不是同类项；
5和π都是常数项，所有常数项都是同类项。
故不是同类项的是②③
答案: ②③
【练一练】
1. 在 - 5y + 6xy - 3 - 4y 中没有同类项的项是 。
2. 如果 2 与 -4是同类项，那么 m = ， n = 。
例2 合并下列各式中的同类项：
（1）3+2； （2） -y - 6y；
（3）2mn-5mn+10mn； （4）-3b+b+2b。
思考:
（1）每个问题中的同类项分别有哪些 请把它们写出来。
（2）你认为合并同类项实质上是在合并什么
解析：
(1)3+2中的同类项有3与2; -y - 6y中的同类项有-y与-6y; 2mn-5mn+10mn中的同类项有2mn,-5mn,10mn;-3b+b+2b中的同类项有-3b,b,2b.
根据合并同类项法则,合并同类项实质上是在合并系数。
解：（1）3+2=（3+2）=5。
-y - 6y=（-1-6）y = -7y。
2mn-5mn+10mn =（2-5+10）mn =7mn。
-3b+b+2b=（-3+1+2）b=0。
例3 合并下列各式中的同类项：
（1）4-7x+5-3+2+6x;
（2）3+9+2ab-5-9。
思考:(1)每个问题中同类项分别有哪些 请用不同的标记标出来,做标记的时候要注意什么
(2)存在没有同类项的项吗 若存在怎么办
(3)能把同类项放到一起吗 如果能,运用了什么原理 移动同类项的时候要注意什么问题
(4)每组同类项之间用什么符号连接
解析：(1)4-7x+5-3+2+6x中的同类项分别是4与-3;-7x与6x;5与2三组;
3+9+2ab-5-9中的同类项分别是3与-5;9与-9。做标记的时候,要注意连同符号一起做标记。
(2)3+9+2ab-5-9中2ab没有同类项,虽然2ab没有同类项,但它也是多项式中的一项,所以在计算中要跟着下来。
(3)根据加法交换律,可以移动同类项,从而能把同类项放到一起.移动同类项时,要注意连同符号一起移动。
(4)每组同类项之间是并列的关系,用加号连接。
解：（1）4-7x+5-3+2+6x
=4-3-7x+6x+5+2 （加法交换律）
=（4-3）+（-7x+6x）+（5+2） （加法结合律）
=（4-3）+（-7+6）x+（5+2） （乘法对加法的分配律）
=-x+7
（2）3+9+2ab-5-9
=3-5+9-9+2ab
=（3-5）+（9-9）+2ab
=-2+2ab。
【练一练】
合并同类项：
y- y+3xy; （2）4+3+2ab-4-3；（3）3b-2ab+2+3ab-b-7。
解：（1） y- y+3xy
=（1- ）y+3xy
=y+3xy （按字母x的降幂排列）
（2）4+3+2ab-4-3
=（4-4）+（3-3）+2ab
= 2ab。
（3）3b-2ab+2+3ab-b-7
=（3-1）b+（-2+3）ab+（2-7）
=-2b+ab-5。
例4 当x=，y=-2时，求多项式2y-2x+5y+x-4y的值。
思考：你认为怎么计算更简便 是直接将x,y的值代入求值,还是先将这个多项式进行合并“瘦身”后,再代入求值
提示：先化简,再代入求值更简单。
解： 2y-2x+5y+x-4y
=2y+5y-4y-2x+x
=3y - x，
当x=，y=-2时，原式=3××（-2）-×=- - = -2。
【练一练】
1.当a=-1,b=2时，求多项式4ab-3ab+ab-2的值。
解： 4ab-3ab+ab-2
=4ababab-3+-2
=-3-，
当a=-1,b=2时，原式=-3×-=-3-4=-7。
知识点梳理
知识点一 同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。常数项都是同类项。
归纳：（1）同类项要同时具备两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同。二者缺一不可。
同类项有两个“无关”：①同类项与系数“无关”；②与字母的排列顺序无关。
单独的一项不能说是同类项，同类项至少是对两项而言。
知识点二 合并同类项
合并同类项的定义
把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项。
合并同类项的法则（简记为“一相加，两不变”）
合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的和作为系数，字母与字母的指数不变。
助记：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数留原样。
合并同类项的步骤
一找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作上相同的标记；
二移：运用加法的交换律、结合律将多项式中的同类项结合；
三并：利用合并同类项法则，合并同类项；
四写：合并后的结果按某个字母的降幂（或升幂）排列。
提示：
只有同类项才能合并，不能合并的项，每步都要写上。
移动某一项的位置时，不要漏掉它的符号，特别注意“-”号。
合并同类项后的结果，若系数是带分数，则要化成假分数。
若合并同类项后系数是1或-1，则省去1。
合并同类项的依据是逆用乘法对加法的分配律。
练习（p88）
合并下列各式中的同类项:
（1）3x-5x; （2）-xy + xy; （3）-b - b。
解：（1）3x-5x=（3-5）x=-2x。
-xy + xy=（- + ）xy=0。
-b - b=（-1- ）b=- b。
下列各式中的两项是否为同类项？如果是，请合并。
+; （2）b+; （3）-3+2。
解：（1）不是同类项。
是同类项，b+=（+）b=b。
不是同类项。
练习（p89）
合并下列各式中的同类项:
（1）3x-4y-2x+y; （2）-2xy-4+6xy;
（3）b-5a-b+5a; （4）-+ -+x。
解：（1）3x-4y-2x+y=（3x-2x）+（-4y+y）=x-3y。
（2）-2xy-4+6xy=（-4）+（-2xy+6xy）=-3+4xy。
（3）b-5a-b+5a=（b-b）+（-5a+5a）=b。
（4）-+ -+x=（+ ）+（-）+x=-2+x。
2. 先化简，再求值：3-6y+1-+2y-4，其中y=-2。
解：3-6y+1-+2y-4=3--6y+2y+1-4=2-4y-3，
当y=-2时，原式=2×-4×（-2）-3=13。
重点内容总结

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