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第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.2 边角边
本课时是华师版初中数学第12章第2节第2课时内容，是在学生学习了全等三角形的概念、性质后，对三角形全等判定方法的进一步探究.基本事实SAS不仅是证明两个三角形全等的重要依据之一，也是后续学习三角形相似、几何证明等知识的基础，在初中几何知识体系中起到承上启下的关键作用，有助于培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力.
教材先引导学生回顾给出三组对应的元素会出现几种可能情况，再自然过渡到对“两边一角”情况的探究，符合学生的认知规律，便于学生逐步深入理解三角形全等的判定方法.通过设置探究活动，如让学生用尺规作图，根据给定的两边及夹角作三角形，并与其他同学所作三角形进行比较，从实践操作中直观感受基本事实SAS的正确性，培养学生的动手能力和自主探究精神.
1.掌握判定两个三角形全等的基本事实-SAS；
2.会利用“SAS”判定三角形全等，证明线段或角相等；
3.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能进行有条理的思考，体会分类思想在数学活动中的应用，积累数学活动经验；
4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．
重点：掌握判定两个三角形全等的基本事实-SAS．
难点：会利用“SAS”判定三角形全等，证明线段或角相等.
情境导入
问题：因铺设电线的需要，要在池塘两侧 A 、B 处各埋设一根电线杆(如图)，现有一足够长的米尺却无法直接量出 A 、B 两点间的距离．
同学们，你们知道怎样测出A 、B 两点之间的距离吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考后尝试回答．
设计意图：创设池塘测距的生活情境，引发认知冲突，激发学生用数学知识解决实际问题的兴趣，开启新课.
探究新知
活动一：探究全等三角形的判定SAS
探究：如果两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素(三条边、三个角)分类组合，可能出现：
三组边都相等，三组角都相等，两组角一组边相等，两组边一组角相等.
你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？
先让我们观察两个三角形有两条边和一个角分别相等的情况.
思考：两个三角形有两条边和一个角分别相等时，有哪几种情况？
预设：
情况1：角夹在两条边的中间形成两边夹一角(边角边)
情况2：角不夹在两边的中间，形成两边一对角(边边角)
探究：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形会全等吗
以已知的两条线段和一个角为三角形的两边及其夹角，作三角形，看看你和同伴作出的三角形是否全等呢？
做一做：如图，已知线段b、c和∠α，试作△ABC，使 AB =c，∠A =∠α，AC=b.
作法：(1)作线段AB，使AB=c；
(2)作∠BAM=∠α；
(3)在射线AM上截取AC=b；
(4)连结BC.
如图，△ABC即为所求作的三角形.
与同学比较，三角形是否能完全重合呢？
下面我们用叠合的方法，看看你和同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB = A′B′，∠A =∠A′，AC = A'C'，△ABC≌△A'B'C'吗？
由于AB=A'B'，我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合；因为∠A=∠A'，所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起；又因为AC=A'C'，因此点C与点C'重合；于是△ABC与△A'B'C'重合；这就说明△ABC≌△A'B'C'.
师生活动：教师引导学生从满足两条边及夹角进行探究，鼓励学生推理证明验证所得的结论.
总结：我们有如下基本事实：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边或“SAS”)
几何语言：如图，在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(SAS).
师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的基本事实．
设计意图：通过尺规作图和三角形重叠示例，让学生直观感受两边及夹角对三角形形状、大小的影响.引导学生推理验证，培养逻辑思维.总结得出SAS基本事实，帮助学生构建知识体系，提升从直观感知到抽象归纳的数学能力.
活动二：探究两边及其中一边的对角
探究：如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗
以已知的两条线段和一个角为三角形的两边及其中一边的对角，作三角形，看看你和同伴作出的三角形是否全等呢？
做一做：如图，已知线段a、b(b＞a)和∠α，试作△ABC，使 AC =b，∠A =∠α，BC=a.
作法：(1)作线段AC，使AC=b；
(2)作∠CAM=∠α；
(3)以C为圆心，a为半径画弧，与AM交于点B1和B2；
(4)连结B1C和B2C .
如图 ，△AB1C 、△AB2C 即为所求作的三角形.
把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较，所作的三角形都全等吗 此时，符合条件的三角形有多少种
预设：
如图①，我们可以发现，此时符合条件的三角形可以有如图②③两种，因此，“边边角”分别相等的两个三角形不一定全等.
师生活动：鼓励学生借助手上的两支笔、圆规在纸上进行探究操作，并小组讨论，教师展示结论.
设计意图：借助尺规作图验证，让学生探究两边及其中一边对角对应相等时三角形情况，培养猜想、动手及归纳能力，加深对三角形全等条件的理解.
应用新知
教材例题
例1 如图，已知线段 AC、BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE. 求证: △ABE≌△DCE.
分析：根据已知条件及对顶角相等即可证明.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵AE = DE(已知)，
∠AEB = ∠DEC (对顶角相等)，
BE = CE(已知)，
∴△ ABE≌DCE (SAS).
注意：找到隐藏的条件是证明此题的关键.
例2 如图，有一池塘.要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD = CA. 连结 BC 并延长到 E，使 CE= CB. 连结 DE，那么 DE 的长就是 A、B 的距离. 你知道其中的道理吗？
转化符号语言：
已知：AD 与 BE 相交于点 C，CA = CD，CB = CE.求证：AB = DE.
分析：我们可以通过证明DE和AB所在的两个三角形全等得出DE=AB.
证明：在△ACB 和△DCE 中，
∵CA = CD (已知)，∠1= ∠2 (对顶角相等），
CB = CE (已知)，
∴△ACB≌△DCE (SAS).
∴AB = DE (全等三角形的对应边相等).
典型例题
例3如图，AB=DB，BC=BE，∠1=∠2.求证：∠C=∠D.
分析：∠C与∠E分别在△ABC和△DBE中，要证∠C=∠E，只要证△ABC≌△DBE.
证明：由∠1=∠2，可得∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，即∠ABC=∠DBE.
在△AOB和△COD中，
△ABC≌△DBE(SAS)
∠C=∠E(全等三角形的对应角相等)
师生活动：学生先独立思考再作答.
设计意图：通过例题展示基本事实SAS的应用，让学生学会分析条件、寻找隐藏条件（如对顶角、公共边、公共角），规范证明过程书写，提升运用基本事实SAS证明三角形全等及解决问题的能力.
课堂练习
【教材练习】
1.根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？
（1）AC = DF，∠C = ∠F，BC = EF；
（2）BC = BD，∠ABC =∠ABD.
答案：（1）（2）都能(SAS).
2.如图，在△ABC中，AB = AC，在 AB、AC 上分别截取相等的两条线段 AD、AE，并连结 BE、CD. 求证：△ADC ≌△AEB.
证明: 在△ADC 和△AEB 中，
∵AD ＝AE，
∠A ＝∠A，
AC＝AB，
∴△ADC≌△AEB (SAS).
3.如图所示，小明想设计一种测零件内径 AB 的卡钳.在卡钳的设计中，要使测出的 DC 长度恰好为内径 AB 的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法.
解：满足OA＝OC，OB＝OD ．
∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，
∴△AOB≌△COD (SAS)，
∴AB＝CD ．
【自选练习】
4.试着解决情境中的问题：
解：如图，要测A、B两点间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结AO并延长到C，使OC=OA. 连结BO并延长到D，使OD=OB. 连结CD，那么CD的长就是A、B 的距离.
5.已知：如图，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且AD=AE，求证：BD＝CE(填空).
证明：在△ABD和___中，
所以_______≌ _______( )
所以BD = CE( )
答案：△ACE，AE，∠A，∠A，公共角，已知，△ABD，△ACE，SAS，全等三角形的对应边相等.
6.已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．
证明：AB∥ED，∠B=∠E．
在△ABC和△CED中，
△ABC≌△CED(SAS)．
AC=CD(全等三角形的对应边相等)
7.如图，已知△ABC≌△A1B1C1，D与D1分别是BC，B1C1上的一点，且BD=B1D1．AD与A1D1相等吗？为什么？
解：AD=A1D1．理由如下：
在△ABD与△A1B1D1中，
△ABC≌△A1B1C1，AB=A1B1，∠B=∠B1．
又BD=B1D1．
根据SAS，△ABD≌△A1B1D1．AD=A1D1．
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握三角形全等判定的基本事实SAS，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.说一说，判定两个三角形全等的第一个基本事实？
3.两个三角形的两边及一个角对应相等，则这两个三角形一定全等吗？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力.同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．

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