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第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
12.2.3 角边角
本课时是华师版初中数学八年级上册第十二章第2节第3课时内容，是在学习了全等三角形的概念、SAS判定方法后的深入探究内容.ASA作为判定三角形全等的基本事实，是构建全等三角形知识体系的关键环节，而AAS定理是在ASA基础上的拓展与延伸.这部分知识不仅为后续解决复杂几何证明、计算问题提供有力工具，也对培养学生逻辑推理和演绎证明能力起着承上启下的重要作用.
1.掌握判定两个三角形全等的基本事实-ASA、定理AAS；
2.会利用“ASA、AAS”判定三角形全等，证明线段或角相等；
3.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能进行有条理的思考，体会分类思想在数学活动中的应用，积累数学活动经验；
4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．
重点：掌握判定两个三角形全等的基本事实-ASA、定理AAS．
难点：会利用“ASA、AAS”判定三角形全等，证明线段或角相等.
情境导入
问题：如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形玻璃？如果可以，带哪块去合适？
同学们，你能说明其中的理由吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考后尝试回答．
设计意图：创设玻璃还原的生活情境，引发认知冲突，激发学生用数学知识解决实际问题的兴趣，开启新课.
探究新知
活动一：探究全等三角形的判定ASA
前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法-SAS.
现在，我们讨论有两角一边分别相等的情况：如果两个三角形有两个角，一条边分别相等，那么这两个三角形全等吗
思考：两个三角形有两个角和一条边分别相等时，有哪几种情况？
预设：
情况1：边夹在两个角的中间形成两角夹一边(角边角)
情况2：边不夹在两角的中间，形成两角一对边(角角边)
探究：如果两个三角形有两角及其夹边分别相等，那么这两个三角形会全等吗
以已知的两个角和一条线段为三角形的两个角及其夹边，作三角形，看看你和同伴作出的三角形是否全等呢？
做一做：如图，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使 ∠A =∠α ，AB =c，∠B =∠β .
作法：
(1)作线段AB，使AB=c；
(2)作∠BAM=∠α，∠ABN=∠β，AM与BN交于点C.
如图，△ABC即为所求作的三角形.
与同学比较，三角形是否能完全重合呢？
下面我们用叠合的方法，看看你和同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB = A′B′，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，△ABC≌△A'B'C'吗？
由于AB =A'B'，我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧；因为∠A=∠A'，因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B'，可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起；由于两条直线相交只有一个交点，因此点C与点C'重合；于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明△ABC≌△A'B'C'.
师生活动：教师引导学生从满足两角及夹边进行探究，鼓励学生推理证明验证所得的结论.
总结：我们有如下基本事实：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角或“ASA”)
几何语言：如图，在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(ASA).
师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的基本事实．
设计意图：通过尺规作图和三角形重叠示例，让学生直观感受两边及夹角对三角形形状、大小的影响.引导学生推理验证，培养逻辑思维.总结得出ASA基本事实，帮助学生构建知识体系，提升从直观感知到抽象归纳的数学能力.
活动二：探究全等三角形的判定AAS
思考：如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.
试着按照上面的分析，证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.”
已知：如图，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，BC = B′C′.
求证: △ABC ≌ △A'B'C'.
证明：∵∠A +∠B+∠C= 180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠C=180°-∠A-∠B(等式的性质).
同理，∠C′ = 180°-∠A′-∠B′.
∵∠A=∠A′ (已知)，∠B =∠B′(已知)，
∴∠C =∠C′(等量代换).
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠ABC=∠A′B′C′，BC= B′C′，∠C =∠C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
总结：能判定两个三角形全等的还有以下定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”).
几何语言：如图，在△ABC与△A'B'C'中，
所以△ABC≌△A'B'C'(AAS).
做一做：现在你能解决情境中的问题了吗？
预设：第①片碎玻璃，保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边 .根据“角边角”(ASA)基本事实，在配玻璃时以这两个角和夹边为条件，可以作出与原来全等的三角形玻璃，所以应带第①片碎玻璃.
设计意图：先通过思考与证明，引导学生探究并掌握AAS判定三角形全等的方法；再结合情境问题，让学生运用ASA（及AAS相关思路），体会全等三角形判定在实际中的应用，提升知识运用与解决实际问题的能力.
应用新知
教材例题
例1 如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB = ∠DBC．求证： △ABC ≌△DCB，AB = DC.
分析：根据已知条件及公共边即可证明.
证明：在△ABC和△DCB中，
∵∠ABC =∠DCB(已知)，
BC =CB (公共边)，
∠ACB=∠DBC(已知)，
∴△ABC≌△DCB (ASA).
∴AB = DC（全等三角形的对应边相等）.
注意：找到隐藏的条件是证明此题的关键.
典型例题
例2如图，AC与DB相交于点P，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB.
求证：AP=DP，BP=CP.
分析：要证AP=DP，BP=CP，可通过证明△ABP≌△DCP得到.而在△ABP和△DCP中，只有∠APB=∠DPC，还缺两个条件，需要通过证明△ABC≌△DCB得到.
证明：在△ABC和△DCB中，
△ABC≌△DCB(ASA)，
AB=DC，∠A=∠D.
在△ABP和△DCP中，
△ABP≌△DCP(AAS)，
AP=DP，BP=CP.
师生活动：学生先独立思考再作答.
设计意图：通过例题展示基本事实ASA及定理AAS的应用，让学生学会分析条件、寻找隐藏条件（如对顶角、公共边、公共角），规范证明过程书写，提升运用基本事实ASA及定理AAS证明三角形全等及解决问题的能力.
课堂练习
【教材练习】
如图，∠A =∠B，CA =CB，△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由.
解: △CAD ≌△CBE，CD＝CE．
理由：在△CAD 和△CBE 中，
∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，
∴△CAD ≌△CBE (ASA)，
∴CD ＝CE.
2.已知四边形 ABCD，对角线 BD 将其分成两个三角形，其中 ∠ABD = ∠C，∠ADB = ∠DBC. 此时这两个三角形全等吗？请画出图形，并说说你的想法.
答案：不一定全等．不满足全等的判定条件．
3.课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高. 这时数学老师走过来，笑着对他们说:“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)
解：由于人站立时，垂直于地面，当太阳光线照射人头顶到落到地面上时，太阳光与地面所成的夹角相等，当影长相等时，由身高、影长、太阳光线所形成的两个三角形全等，所以两人身高相同．
【自选练习】
4.如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.求证：BD=CD.
证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
△ABD≌△ACD(AAS)，
BD=CD.
5.如图，∠ABC＝∠DCB，只需补充条件__________；就可以根据“AAS”得到△ABC≌△DCB.
答案：∠A＝∠D
6.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2．求证AB=CD．
证明：AB⊥BC，AD⊥DC，
∠B=∠D=90°
在△ABC和△CDA中，
△ABC≌△CDA(AAS)
AB=CD．
7.已知中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，，求证：≌．
证明：，，
又，，，
，，
在和中，
，，
∴≌（AAS）
师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结．
设计意图：通过课堂练习巩固学生所学的知识，及时发现学生存在的问题并进行解决，让学生进一步掌握两三角形的判定的基本事实ASA及定理AAS，提高学生的解题能力和应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.说一说，判定两个三角形全等的第二个基本事实ASA？
3.两个三角形的两角及一个边对应相等，则这两个三角形一定全等吗？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容.这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力.同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导.通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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