资源简介

教材版本：人教版(2024)
学 科：数学
年 级：八年级
课题名称：13.3.1 三角形的内角(第1课时)
参评教师：耿翠玲
工作单位：新乡市外国语学校
13.3.1 三角形的内角（第1课时） 教学设计
一、教学内容分析
（一） 内容
三角形内角和定理.
（二） 内容分析
三角形内角和定理是“三角形”单元的核心内容，是“图形与几何”领域中刻画三角形本质特征的关键定理.它不仅是后续学习多边形内角和、全等三角形、相似三角形等知识的逻辑基础，也为解决复杂几何问题提供了“角的数量关系工具”.
三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程.实验操作（度量、剪拼）能让学生直观感知“三角形内角和为180°”，但无法保证结论的准确性与普遍性，这直接说明了“证明的必要性”.
定理的证明以“平行线的性质与判定”为知识基础.“剪拼实验”不仅是直观感知的手段，更蕴含“辅助线构造”的思路启发：剪拼时“角的转移与集中”，对应着证明中“通过平行线构造等角，实现角的转移与集中”.这种“转化思想”为学生后续解决复杂几何问题提供了方法借鉴.
二、学情分析
证明三角形内角和定理的关键与难点是“添加辅助线”.这是学生首次系统接触“通过辅助线构造新图形，实现角的转化”的证明方法.由于辅助线的添加具有“尝试性”与“策略性”，导致学生难以从“剪拼实验”中抽象出辅助线的构造思路，不理解“作平行线”与“剪拼转移角”的内在联系.
教学时，需通过以下策略突破难点：强化“剪拼操作”的直观体验：引导学生观察“剪拼前后两个角的位置关系和数量关系”，进而发现平行线，从而自然过渡到“作平行线构造等角”的辅助线方法；鼓励“一题多解”：引导学生探索不同辅助线的构造方式，在对比中体会“转化思想”的本质.
三、目标确定
（一） 目标
1.探索并证明三角形内角和定理.
2.能运用三角形内角和定理解决简单问题.
（二） 目标分析
达成目标1的标志是：能通过“度量法”“剪拼法”等实验，直观感知“三角形内角和为180°”；能基于“实验存在误差”的局限性，自主提出“需要推理证明”的需求；能在剪拼操作的启发下，发现“作平行线构造等角”的辅助线方法，并运用平行线的性质完成定理的证明，体会“转化思想”.
达成目标2的标志是：学生能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题，并在解题时清晰表达“依据定理推导角的关系”的逻辑过程.
四、学习重点难点
重点：探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性.
难点：如何添加辅助线证明三角形内角和定理.
五、课前准备
（一）学生分组
每组组长1人，组员5人.
（二）学具准备
大小适中，形状不同的三角形纸片(每人2~3张)，在纸片上标注∠1，∠2，∠3，并按要求涂色.
六、学习活动设计
（一）唤醒经历，激活旧知
通过《三角形》的章节知识树，回顾已学知识，引出本节课的学习内容.
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？
用度量的方法得出结论.
师生活动 学生简要描述度量的过程.
（2）通过剪拼的方法得出结论.
请大家利用手中的三角形纸片，把三角形的三个内角拼在一起.拼好的同学将拼图结果粘在黑板上，后面展示的同学请不要与前面同学的拼法重复.
师生活动 学生上台展示剪拼的过程.
...（学生的其他拼法）
追问1 运用度量法或剪拼法获得的结论可靠吗？
学生回答：不可靠.
追问2 你认为不可靠的原因有哪些？
度量法存在测量误差，剪拼法存在视觉误差，两者均不具备一般性. 我们把运用这两种方法获得的结论称作猜想.
追问3 有同学提出：既然手工度量存在误差，那我们选择用计算机来度量，这样获得的结论可靠吗？
不可靠.仍然存在测量误差且不具备一般性. 我们把这种方法称作对猜想的验证.
追问4 怎样才能获得可靠的结论？
通过推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”.
追问5 你能写出已知、求证吗？
师生活动 学生回答，教师板书.
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
设计意图 让学生回忆小学时的学习经历，通过问题链的方式引导学生发现实验操作的局限性（度量，剪拼），并给出一定的解决策略（计算机验证），让学生在连续的思维过程中了解证明的必要性；让学生充分展示剪拼的结果，加深对此部分学习经历的印象，为下一步从拼图中寻找证明思路做好准备.
（二）关联经历，探究新知
对于这个猜想的证明，历史上许多数学家都研究过.我们熟悉的古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得都证明过这个猜想，他们证明的思路正是来源于我们刚才的拼图.
问题2 请各小组观察拼图并思考：哪一幅拼图能够为我们的证明提供思路？你是怎么想到的？
师生活动：学生独立思考后进行小组讨论，找到证明思路后上台分享发现证明思路的过程.
设计意图 引导学生观察拼图，在逐步深入中自主发现添加辅助线的方法，获得证明思路，感悟辅助线在几何证明中的重要作用（利用平行线实现角的等量转化）.
追问1 请大家根据同学的证明思路写出证明过程.
证明：过点A作BC的平行线l.
∵l∥BC，
∴∠4=∠2，∠5=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠4+∠5=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
师生活动 学生口答，教师板书证明过程，学生对证明过程进行点评.
设计意图 让学生通过严格的逻辑推理证明“三角形内角和是180°”，在感悟几何证明的意义的同时，体会几何证明的规范性和严谨性.
追问2 只能过点A作BC的平行线吗？还可以怎样作辅助线？
设计意图 通过添加类似的辅助线，感悟平行线的作用，同时培养学生的类比迁移能力和发散思维.
师生活动 对于学生分享的其他证明思路采取分层次的处理方式：第二种证法的过程采取学生齐答的方式呈现，后续证法以学生分享证明思路的形式呈现.
证明：延长BC，过点C作AB的平行线l.
∵l∥AB，
∴∠4=∠1(两直线平行，内错角相等)，
∠5=∠2(两直线平行，同位角相等).
∵∠4+∠5+∠3=180°(平角定义)，
∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).
过三角形的其他顶点作出类似的辅助线，也可以完成证明.
师生活动 分析学生展示的其他拼图.
证法拓展 在三角形的三条边上任取一点作其他两边的平行线，或在三角形的内部或外部任取一点作三条边的平行线，都可以完成证明.
设计意图 鼓励学生继续观察拼图，尝试从不同的角度思考问题，既是对“利用平行线进行角的等量转化”的巩固，又是对学生类比迁移能力和创新意识的培养.
问题3 除了平角，还有什么角与180°有关？
两直线平行，同旁内角互补.
追问1 顺着这个思路，你能找到证明三角形内角和定理的方法吗？
师生活动 学生分享证明思路.
设计意图 寻找与180°相关的知识点，从新的角度寻找证明方法，也是对“利用平行线进行角的等量转化”的巩固.
追问2 通过观察拼图，我们发现了许多证明方法，你能总结一下这些证明方法的共同特征吗？
通过添加辅助线，利用平行线的性质实现角转化.证明过程都依据了平行线的性质，平角定义和等量代换.
（三） 内化经历，巩固新知
证明了三角形内角和定理之后，我们就可以应用他来解决问题了.例如，在一个三角形中，如果知道了两个内角的度数，就可以利用这个定理求出第三个内角的度数.
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD = ∠BAC = 20°.
在△ABD中，
∠ADB = 180°-∠B-∠BAD = 180°-75°-20° = 85°.
师生活动：（1）教师引导学生分析解题思路：求∠ADB的度数→求∠BAD的度数→∠BAC 的度数和角平分线的定义；（2）学生独立完成解题过程，选择一名学生板演，学生点评，教师总结并强调书写过程的规范性.
练习1 如图，在△ABC中，∠A = 40°，
则∠B+∠C+∠ADE+∠AED = 280 °.
师生活动：学生思考后分享解题思路.
例2 如图是ABC三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是 60 °？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是 90 °.
师生活动：（1）教师带领学生标记第一个方位角，唤醒学生对方位角的记忆；（2）学生独立完成解题过程，分享解题思路，教师总结.
追问 不求∠CAB和∠ABC的度数，能直接求出∠ACB的度数吗？
过三角形的三个顶点作一组平行线，也可以证明三角形内角和定理，古希腊数学家普罗克拉斯就是用的这个方法.
练习2 如图，从A处观测C处时的仰角∠CAD = 30°，从B处观测C处时的仰角∠CBD = 45°. 则从C处观测A，B两处时的视角∠ACB = 15 °.
师生活动：学生独立完成后分享解题思路.
设计意图：利用三角形内角和定理解决简单问题，鼓励学生深入思考多种解题方法，提高学生的应用意识，创新意识和数学表达能力.
（四） 沉淀经历，小结检测
（1）本节课我们学习了哪些内容？
用推理的方法证明了三角形的内角和是180°，得到了三角形的内角和定理；应用这个定理解决了一些与角度有关的计算问题.
（2）为什么要证明这个结论呢？
度量法和剪拼法获得的结论不一定可靠.
（3）我们是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
通过观察拼图发现平行线，从而得到证明思路.
虽然通过观察度量获得的结论不一定可靠，但他们可以帮助我们获得猜想，验证结论，还可以为我们提供证明的思路.
（4）这些证明方法既有区别又有联系，这种联系体现在何处？
他们都是过一点作三角形边的平行线，这一点既可以是像三角形的顶点这样特殊的点，也可以是平面内一般的点；利用平行线的性质还可以实现与具体操作一样的角的转化效果.
从度量剪拼到猜想验证，再到推理证明，这每一步都是数学思维过程中不可缺少的重要的一环，他们发挥着各自独特的作用，希望同学们在今后的数学学习中，能够关联今天的学习经历，探索更多的数学真理.
师生活动 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容.
设计意图 通过小结，带领学生复盘本节课所学内容，再次体会证明的必要性，感悟辅助线的添加方法和在几何证明中的作用，深化学生对“研究几何问题的一般路径”的理解，为今后几何问题的研究奠定基础.
七、学习评价设计
当堂检测
（1）直接写出下列各图中∠1的度数.
∠1=　90°　； ∠1=　85°　； ∠1=　85°　.
（2）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是( D )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
（3）如图是某模具厂的一种模具. 按规定，BA，CD的延长线的夹角应为61°，王师傅测得∠B = 42°，∠C = 79°，则可以判断该模具 不符合 （填“符合”或“不符合”）要求，理由是： 三角形的内角和等于180° .
设计意图 通过当堂检测，检验学生本节课的学习情况，判断学习目标的达成度.
八、板书设计
13.3.1 三角形的内角（第1课时） 三角形的内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° . 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角， 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明： 过点A作BC的平行线l. ∵l∥BC， ∴∠4=∠2，∠5=∠3(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠4+∠5=180°(平角定义)， ∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换). ... （学生拼图展示区） （学生板演例1区域）
九、作业与拓展学习设计
（一）基础性作业
习题13.3第1，3，7题.
（二）研究性作业
搜索资料，寻找更多三角形内角和定理的证明方法.
十、教学反思与改进
（一）教学反思
1.基于学生学习经历设计教学
本节课采用“经历式学习”的教学模式.
在唤醒经历阶段，一方面关注学生小学时的学习经历——通过度量和剪拼获得结论，另一方面引导学生回忆研究几何问题的一般方法——观察（度量剪拼）-猜想-验证-证明；在关联经历中，以小组合作探究的方式建立新知与旧知的联系——将平行线的性质与角的剪拼联系起来，旨在激发学生的深度思考，形成更加深刻的学习经验；在内化经历中，基于新知生成的认知基础，通过解题实践等方式，将新学知识与已有经验深度融合，在问题解决中实现知识的迁移应用与思维方法的创新，使外在知识转化为内在认知能力——利用三角形内角和定理计算角度，利用平行线的性质实现角的转化；在沉淀经历中，引导学生复盘学习过程和研究方法，使阶段性的学习体验沉淀为可迁移的研究范式与思维策略——数学思维过程的连续性：观察（度量剪拼）-猜想-验证-证明，使本节课的学习经历纳入到学生已有的认知体系中，为后续学习奠定经验基础.
2.依托多元教学活动凸显学生主体地位
为了突出学生的主体地位，课堂上设计了丰富的学生活动.“动手拼图”和“观察拼图思考证明方法”让学生在动手操作中直观感受角的关系；而“一题多解”的证明环节和“学生上台讲解”的展示交流环节则充分调动了学生的思维和积极性，有效地提升了他们的数学表达能力。
3.融合技术与文化拓展课堂深度
本节课借助几何画板的动态演示，直观地验证了三角形内角和定理，形象地展示了推广后的定理证明方法，突破了传统教学的局限.同时，通过介绍毕达哥拉斯、欧几里得等数学家的证法，适时渗透数学文化，让学生感受到数学的历史底蕴和趣味性.
4.聚焦学习目标优化教学实效
整个课堂设计紧扣“探索并证明定理”和“运用定理解决问题”两大学习目标.无论是例题讲解还是当堂检测，都围绕目标展开，确保了目标的有效落实。通过教师板书、学生拼图和学生板演等方式清晰呈现学习过程，既展示了学习重点，又强化了解题规范.
（二）改进方向
1. 时间分配需进一步优化
由于学生自主探索和展示的环节较多，部分基础薄弱的学生在独立证明时可能进度较慢，导致其充分思考的时间不足.后续可提前设计分层任务，对不同层次学生进行针对性引导，确保整体节奏更均衡。
2. 证明思路的引导可更细致
虽然鼓励了一题多解，但部分学生可能难以从剪拼操作自然联想到“添加辅助线”的关键操作.可在小组讨论环节，适当引导学生思考“剪拼前后两个角之间的关系”，帮助其更顺利地搭建从操作到证明的桥梁.
3. 知识延伸可更灵活
课堂结尾虽提炼了数学思想，但可进一步引导学生思考定理的拓展应用（如多边形内角和的推导），为后续学习埋下伏笔.同时，可增加开放性问题，让学生尝试用定理解决更复杂的实际问题，提升知识应用的灵活性.
本节课有效落实了核心素养中的逻辑推理、直观想象与数学运算能力的培养.后续教学中，需在时间管控和细节引导上进一步打磨，让课堂既保持探究的开放性，又确保教学的高效性，帮助学生在几何学习中实现思维的稳步提升.

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