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28.1 锐角三角函数（第2课时 余弦、正切） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》九年级下册第二十八章 锐角三角函数 28.1锐角三角函数，内容包括：余弦、正切.
2.内容解析
在本节课学习之前，学生已经学习了正弦，对于平面几何和初步的三角函数知识有所了解，具备了一定的知识和方法基础，本节课将在此基础上，引导学生进一步探究余弦、正切函数的性质，学生能够理解余弦、正切函数的定义，掌握它们的计算方法，并能够运用这些知识解决实际问题。本节课的学习，学生不仅能够巩固和拓展已有的知识，还能够提高数学思维能力和解决问题的能力。它既是对已有知识的延伸也是后续知识学习的基础，起着承上启下的作用.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 熟练掌握余弦和正切的定义和基本性质能够灵活运用余弦和正切计算三角函数值理解正弦、余弦、正切的基本关系.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）熟练掌握余弦和正切的定义和基本性质能够灵活运用余弦和正切计算三角函数值理解正弦、余弦、正切的基本关系；
（2）提高学生运用数学工具解决实际问题的能力培养学生总结问题的能力，加深对知识点的理解；
（3）培养学生独立思考、勇于创新的精神.提高学生对数学学科的兴趣和热爱.
2.目标解析
（1）教材由复习正弦问题引入，并引导学生通过观察、猜想、类比、归纳等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣；
（2）培养学生对余弦、正切函数的理解和运用能力，对余弦、正切函数形成正确的认识；
（3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.
三、教学问题诊断分析
在知识方面，学生已经掌握了正弦函数的基本性质，但对于余弦函数和正切函数的性质，他们的认识可能较为浅显。在能力上，学生需要提高的是对函数的解析能力，以及运用函数解决实际问题的能力。在素质方面，学生的数学思维能力和空间想象能力需要得到进一步的锻炼。行为习惯上，部分学生可能存在依赖老师、缺乏独立思考的问题，自主学习和探究的能力有待提高，这可能会影响他们对新知识的接受和掌握。此外，学生在课堂上的参与度和积极性也是需要关注的，因为这对他们理解和应用新知识至关重要。
基于以上分析，本节课的教学难点为: 提高学生运用数学工具解决实际问题的能力和培养学生总结问题的能力，加深对知识点的理解.
四、教学过程设计
（一）复习旧知
1.如图，在中，．
(1)若，则____ ____,___ ___．
(2)若，，则的周长为____ ______
如图，在中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜
边的比叫作的正弦（sine），记作即
【设计意图】通过复习引入，既是对上节课重要知识的回顾，又为引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获得结论的方法完全类似，让学生有法可依.
（二）新知探究
问1：在中，，当锐角确定时，的对边与斜边比随之确定．那的邻边与斜边的比也是定值吗？
已知和, ,,
求证：
解：∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
∴Rt△ABC ∽Rt△A'B’C‘；
∴即=.
归纳:
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图所示，在中，°，
我们把锐角的邻边与斜边的比叫的余弦,记作，
即
特别注意：
(1)是一个函数，不是一个角
(2)中不写“”,但如是等必须写为， （即当角是由一个大写表示时，的符号可以省略）
(3)不是与的乘积
(4)是一个比值（比有顺序），没有单位
(5)是一个正数
(6)
问2：在中，，当锐角确定时，的对边与邻边的比也是定值吗？
已知和, ,,
求证：
解：∵∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，
∴Rt△ABC ∽Rt△A'B’C‘；
∴即=.
归纳：
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图所示，在中，°，
把锐角的对边与邻边的比叫作的正切，记作，
即
特别注意：
(1)是一个函数，不是一个角
(2)中不写“”,但如是等必须写为， （即当角是由一个大写表示时，的符号可以省略）
(3)不是与的乘积
(4)是一个比值（比有顺序），没有单位
(5)是一个正数
(6)
, ,
锐角的正弦、余弦、正切都叫作的锐角三角函数.
对于锐角的每一个确定的值，有唯一确定的值与它对应，所以是的函数。 同样地，，也是的函数。
【设计意图】学生类比正弦的探究方法，让学生通过观察、比较、归纳等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力,从中获得成功的体验，激发学习激情.
（三）新知应用
1. 在中，，，.
______，______，____，
______，______，____.
2. 在中，，，.
_______，_______，=_____，
_______，_______，_____.
【设计意图】通过此题让学生初步理解和掌握正弦、余弦和正切的相关概念.
（四）典例讲解
例1 如图，在中，，，，求，，的值.
解：由勾股定理得：
又∵ ，
∴
因此
，
，
方法点拨
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
例2 (1)如图，在中，，，，求、的值.
解：∵
又∵BC = 6， sinA =
∴
在 Rt△ABC中,
∴，
.
方法点拨：
在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其他的所有锐角三角函数值.
(2)在中，，，，求的长度及的值
解：∵在中，，，，
∴，设，则，
∴,
解得：，
则
∵
∴
方法点拨：
在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，可设未知数，利用勾股定理，求出其余边的长度，既而求出其他的所有锐角三角函数值.
(3)如图，在中，，，求、的值．
解：∵
设
∵在中,
∴,
因此 ,
方法点拨：
在直角三角形中，如果已知一个锐角的某个三角函数值，可设未知数，利用勾股定理，表示其余边的长度，既而求出其他的所有锐角三角函数值.
【设计意图】通过例题讲解让学生掌握余弦、正切的定义，并能利用余弦和正切的定义解决比较简单的问题.
（五）变式训练
1.如图,在中，，若，求 的值．
解：如图，过点A作于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
方法点拨：
遇等腰三角形常见辅助线作底边的垂线.
2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，求的值．
解：连接并延长交于点，连接，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
3.如图，在中，，的垂直平分线与，的交点分别为，．若，，求的长和的值．
解：∵在中，，，
∴，
在中，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
【设计意图】巩固学生理解余弦、正切的概念，学会通过作辅助线构造直角三角形解决问题.
（六）拓展探究
1.在中,是的高线．若，求的长．
解：如图，分以下两种情况讨论：
①当高在内部时，
在Rt中，．
在Rt中，
∴，
；
②当高在外部时，
在Rt中，．
∵
∴
∴
综上所述：的长为或．
2.如图，为的直径，点为上一点，连接、，过点作经过点的直线的垂线，垂足为，已知平分．
(1)求证：直线为的切线；
(2)若，求的半径．
证明：如图，连接
∵平分，∴ ，
∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点在上，
∴直线为的切线.
(2)：∵，∴，
∴，
∵为的直径，∴，可得，
又∵，
∴，可得，
∵，∴
∴，∴的半径为．
【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的能力.
（七）当堂巩固
1.如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（　B　）
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则菱形的周长为 __8____
3.如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，则 ．
4.如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是_____,的值是_____
5.在中，是锐角，，求,
解：在中，是锐角，，
当时，如图，∴，
∴；
当时，如图，∴，
∴.
6.如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，求的值．
解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴， 解得．
∴．
7.如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，．
(1)求的长．
(2)求的正弦值．
解(1)：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴．
解（2）：∵是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得，
∴，
∴.
【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题.
（八）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握.
（九）布置作业
P65 练习1、2题.
五、教学反思

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