资源简介

4.4 探索三角形相似的条件（第3课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书 数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.4 探索三角形相似的条件（3），内容包括：理解并掌握“三边成比例判定两个三角形相似”的定理内容及其几何表示，并解决相关的几何问题.
2.内容解析
本节课在全章中起到承上启下的作用。教材在学生已经学习了全等三角形的判定（SSS）和相似三角形基本概念的基础上，通过类比全等三角形的SSS判定方法，引入“三边成比例”这一判定三角形相似的新方法。教材编排注重从直观感知到合情推理，再到严格证明，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维过程，旨在培养学生的几何直观、逻辑推理能力和数学建模意识，为学生后续学习相似三角形的性质和应用奠定坚实基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解“三边成比例的两个三角形相似”判定定理的定理内容及其几何表示.
1.教学目标
（1）能准确表述 “三边成比例的两个三角形相似” 的判定定理，理解定理的推导过程.
（2）能够运用该定理判断两个三角形是否相似，并解决相关的几何问题.
（3）借助改变k值重复验证定理的过程，感受数学的严谨性，激发对数学推理的兴趣.
2.目标解析
（1）学生不仅要能记住 “三边成比例的两个三角形相似” 这一判定定理的文字表述，更要深入理解其推导过程。这意味着学生需要通过动手操作、观察分析、归纳推理等活动，明确 “三边成比例” 与 “三角形相似” 之间的逻辑关系，即通过三边的比例关系可以推导出对应角相等，从而满足相似三角形的定义；
（2）学生需要能根据题目所给的三角形边长信息，准确计算三边的比例，判断是否满足 “三边成比例” 的条件，进而判定三角形是否相似。同时，还要能将该判定定理与相似三角形的性质（如对应角相等）结合，解决诸如求角度、线段长度等相关几何问题；
（3）学生经历多次实验、验证的过程，体会数学结论的严谨性，明白数学定理并非凭空而来，而是经过反复推敲和验证的，从而激发学生对数学推理的兴趣，培养严谨的治学态度.
九年级学生在本节课前已掌握三角形相似的定义，以及 “两角分别相等”“两边成比例且夹角相等” 两种三角形相似的判定方法，对“相似”的核心特征有基本认知；同时，学生此前学习过全等三角形的 SSS 判定定理，了解“三边关系”可判定三角形全等，这为迁移理解“三边成比例判定三角形相似”提供了知识铺垫.
1. 学生对“三边成比例”与“三角形相似”的因果关系理解不深刻，容易混淆“边的比例关系”与“角的相等关系”的推导逻辑，难以自主突破“从边的条件推导角的结论”的思维障碍；
2. 在复杂图形或多三角形情境中（如习题中多个三角形共存的场景），容易因对应边识别错误导致比例关系判断失误.
3. 学生在面对开放性问题时，可能因思维不够发散，无法全面考虑所有符合条件的情况. 同时可能因新判定方法与原有认知习惯的差异产生学习困惑，教学中需结合学生认知特点，通过直观操作、分层引导、错题辨析等方式，强化优势、弥补不足，帮助学生顺利掌握知识并提升能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：推理出“三边成比例”与“三角形相似”的因果关系，突破 “从边的关系推导角的关系” 的逻辑障碍.
1.温故知新
本节课将学习探索三角形相似的条件（3），先回答以下问题：
(1) 三角形相似的判定定理一：
答：两角分别相等的两个三角形相似.
(2) 三角形相似的判定定理二：
答：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3) 三角形全等的“边边边（SSS）”判定定理具体内容是什么？
答：三边分别相等的两个三角形全等.
通过以上问题，猜测一下：类比三角形全等“边边边”的判断定理，还有什么条件能判断两个三角形相似？让我们赶紧进入本节课的学习吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习）
（教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习）
2.情景引入
我们知道两三角形的三边对应相等能判定两个三角形全等，也就是说通过三边是可以判断两个三角形之间的关系的，那么两个三角形的三边对应成比例能否判定两个三角形相似呢？
(设计意图：用实际生活中的问题来引入本节课的教学内容，体现本节数学内容的实用性，也为本节课的内容作了良好的铺垫，同时发学习兴趣与探究欲.)
探究点1　探究三边成比例与三角形相似的关系
任务一：按要求画三角形.
1.工具：直尺、圆规、量角器
2.利用直尺和圆规，画与，使得=2.
①先画；
②再根据比例，计算，，，画出.
任务二：比较角的大小与三角形形状
3. 用量角器分别测量与、与、与的度数，记录并比较它们的大小；同时观察两个三角形的形状，判断它们是否“形状相同”.
4. 以小组为单位，交流以下问题：
（1）你们组测量的与相等吗？其他对应角呢？
（2）两个三角形的形状是否完全相同？
（3）若改变的值，重复画图和测量，结论还成立吗？
5.知识小结
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似.
6. 即时训练
以下各组三角形的三边长度（单位：cm），请判断是否相似，并说明理由。
（1）△ABC：3, 4, 5；△DEF：6, 8, 10
（2）△MNP：2, 3, 4；△QRS：4, 6, 8
（3）△ABC：1, 2, 3；△DEF：2, 3, 4
解：（1）相似。
理由： 将两组三角形的边按从小到大排序：
△ABC：3（最短边）、4（中边）、5（最长边）；
△DEF：6（最短边）、8（中边）、10（最长边）。
对应边的比例： ，，。
三组对应边的比例均相等，因此△ABC∽△DEF（SSS相似）。
（2）相似。
理由： 按边长按从小到大排序：
△MNP：2（最短边）、3（中边）、4（最长边）；
△QRS：4（最短边）、6（中边）、8（最长边）
对应边的比例： ，，
三组对应边的比例均相等
因此△MNP∽△QRS（SSS相似）。
（3）不相似。
理由： 按边长按从小到大排序：
△ABC：1（最短边）、2（中边）、3（最长边）；
△DEF：2（最短边）、3（中边）、4（最长边）
对应边的比例： ，，.
三组对应边的比例均不相等，因此△ABC与△DEF不相似。
（设计意图：通过让学生亲手画图、测量角的大小等操作，引导学生从直观感知出发，自主探究“三边成比例的两个三角形是否相似”，帮助学生构建三边成比例判定三角形相似这一核心知识，同时建立起与全等三角形 SSS 判定的联系，体会“从特殊（全等）到一般（相似）”的知识发展逻辑）
（教学建议：在学生画图前，教师可先进行示范，明确用直尺和圆规画三边成比例三角形的步骤，尤其是当比例系数k不为1时，如何根据已知三角形的边长计算出要画的三角形的边长，确保学生能顺利完成画图操作）
例题导析
例1 如图，在△ABC和△ADE中，，，求的度数。
【分析】本题先利用三边成比例的两个三角形相似来判定两个三角形相似，再利用相似三角形的定义来推导出角的关系，最后通过和差关系求得目标角。
【解答】解： ，
（三边成比例的两个三角形相似）
，
即
【点评】准确运用了本节课的核心知识点 “三边成比例判定三角形相似”，并将其与相似三角形对应角相等的性质结合，体现了知识的综合运用能力.
即时训练：
如图，已知＝＝，求证：∠ABD＝∠CBE.
证明：已知， 根据相似三角形的SSS判定定理
可得：
因此
观察图形，和均包含公共角：
化简得：
（设计意图：通过该例题，让学生熟练运用 “三边成比例的两个三角形相似” 这一判定定理，将边的比例关系转化为三角形相似的结论，实现对新知识的直接应用.）
（教学建议：提醒学生注意相似三角形的对应角识别，避免因对应角找错导致后续角的和差关系推导错误；同时强调每一步推理都要有依据，培养严谨的几何证明习惯）
探究点2　多种方法的应用与比较
任务一：计算边长（假设网格的每个小正方形边长为1）
1.计算△ABC个边的边长
答：利用勾股定理计算： ，，；
2. 计算△A'B'C'的边长
答：利用勾股定理计算： ，，.
任务二：用不同的方法验证两三角形相似
3.方法一：三边成比例判定
答： ，，
因为
所以根据“三边成比例的两个三角形相似”，可判定。
4.方法二：两边成比例且夹角相等判定
答：由三边比例可知，且可通过量角器测量与的度数，发现
因此根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定相似.
5.方法三：两角分别相等判定
答：用量角器分别测量和的三个内角，会发现，，
根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定相似
6. 知识小结
三边成比例判定是从 “边的整体比例” 出发，无需角的信息即可判定；
两边成比例且夹角相等判定需结合 “边的比例” 和 “角的相等”；
两角分别相等判定则从 “角的相等” 推导相似.
三种方法各有适用场景，需根据题目条件灵活选择。
7.即时训练
如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC＝135度，BC＝；
(2)用恰当的方法证明∠C＝∠E.
解： EF=2；；;
；；
因此,
∴△ABC∽△DEF
∠C=∠E（对应角相等）
（设计意图：通过对网格中三角形相似的多方法辨析，将 “三边成比例判定三角形相似” 与此前学习的 “两角分别相等”“两边成比例且夹角相等” 判定方法进行整合，帮助学生构建完整的三角形相似判定知识体系，明确不同判定方法的适用场景与逻辑关联.）
（教学建议：引导学生充分利用网格的边长为 1 的特点，熟练运用勾股定理计算三角形的边长，教师可在学生计算边长时进行巡视指导，确保学生能准确求出三边长度及比例.）
1. 甲三角形的三边分别是1，，，乙三角形的三边分别是5，，，则甲，乙两个三角形( A )
A．一定相似　　 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2.如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( C )
A．1对　　　　 B．2对
C．3对 D．4对
3．下列两个三角形不一定相似的是（ D ）
A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形
C．两个全等三角形 D．两个直角三角形
4．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ C ）
A．CA平分∠BCD B．
C．AC2＝BC CD D．∠DAC＝∠ABC
5. 如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相似的是( B )
A．②③④　 B．③④⑤　
C．④⑤⑥　 D．②③⑥
6. 一个三角形的边长分别为5 cm，8 cm，12 cm，另一个三角形的最长边为7.2cm，则当另一个三角形的另外两边长是3和4.8cm时，这两个三角形相似．
7. 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，在△A′B′C′中，A′B′＝8，A′C′＝6，则当BC∶B′C′＝时，△A′B′C′∽△ACB．
8.在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6；
（1）如果DE=10，那么当EF=12.5，FD=15时，△ABC∽△DEF；
（2）如果DE=10，那么当EF=12，FD=8时，△ABC∽△FDE；
9.如图，
（1）判断△ABC与△ADE是否相似？并说明理由；
（2）若∠BAC=100°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数；
（1）；
；
△ABC与△ADE的三边对应成比例（SSS），因此相似（）
（2）由于，对应角∠BAC与∠DAE相等（）
，因此；
（即∠CAE=70°）
角度关系： （∠DAE是∠CAD与∠CAE的和）
计算∠CAD：
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
题型一：直接利用三边成比例判定三角形相似
1. (2023·山东泰安中考) 若△ABC 的三边长分别为 2，3，4，△DEF 的三边长分别为 4，6，8，则△ABC 与△DEF 的关系是（ B ）
A. 全等 B. 相似
C. 既不全等也不相似 D. 无法判断
【分析】判断两个三角形的关系，需先区分“全等”（边完全相等）和“相似”（边成比例）。根据相似三角形的SSS判定定理（三边对应成比例），计算△ABC与△DEF对应边的比值.
【解答】△ABC的三边长按从小到大排列为：；
△DEF的三边长按从小到大排列为：；
对应边的比值为：，三边对应成比例。
因此，△ABC与△DEF相似（非全等，因边不相等）。
答案：B
【点评】本题考查相似三角形的SSS判定（三边对应成比例）
2. (2022·江苏苏州模拟) 已知△MNO 的三边长为 5cm，12cm，13cm，△PQR 的三边长为 10cm，24cm，26cm，下列说法正确的是（ A ）
A. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 1:2
B. △MNO 与△PQR 相似，相似比为 2:1
C. △MNO 与△PQR 不相似
D. 无法确定两者关系
【分析】用SSS判定相似，需计算对应边的比值，并确定相似比（前一个三角形与后一个三角形的边长比）．
【解答】△MNO的三边长为：；
△PQR的三边长为：；
对应边的比值为：，三边对应成比例，故相似。
相似比为△MNO : △PQR = 。
答案：A．
【点评】本题考点是相似三角形的SSS判定及相似比的计算.
易错点：相似比的顺序——若颠倒顺序（如写成2:1），会误选B。需注意“△MNO与△PQR相似”的相似比是前者比后者。.
3.(2024·浙江杭州模拟) 若△ABC 的三边之比为 3:4:5，△A'B'C' 的三边之比为 6:8:10，则△ABC 与△A'B'C' ( A )
A. 相似且对应角相等 B. 相似但对应角不相等
C. 不相似 D. 以上都不对
【分析】先简化△A'B'C'的三边比，看是否与△ABC的三边比一致；再根据相似三角形的性质（对应角相等）判断选项.
【解答】△ABC的三边之比为：；
△A'B'C'的三边之比为：，简化后为（除以2）；
两边三角形的三边比完全一致，故相似。
相似三角形的对应角相等（相似的基本性质），因此“相似且对应角相等”。
答案：A
【点评】本题考查相似三角形的判定（三边比一致）及性质（对应角相等）。
易错点：误认为“相似但对应角不相等”，这是错误的——相似三角形的对应角一定相等（通过平行线或全等三角形可证明）
4.(2023·广东深圳中考) 已知△ABC 的三边长分别为，，3，△DEF 的三边长分别为 2，2，6，则△ABC 与△DEF ( A )
A. 相似 B. 不相似
C. 全等 D. 无法判断
【分析】即使边长为无理数，仍可通过SSS判定（三边对应成比例）判断相似。计算△ABC与△DEF对应边的比值即可。
【解答】△ABC的三边长为：；
△DEF的三边长为：；
对应边的比值为：，三边对应成比例。
因此，△ABC与△DEF相似。
答案：A
【点评】本题考点：相似三角形的SSS判定（无理数边长的处理）。
易错点：因边长为无理数而犹豫，但相似的判定只关注“比值是否相等”，与数的类型（有理数/无理数）无关
题型二： 网格中利用三边成比例判定三角形相似
5．（2024·江苏南通期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（ B ）
A． B． C． D．
【分析】先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似．
【解答】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：，
A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意；
B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意；
C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意；
D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．。
6．（2024·湖南衡阳期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ A ）．

【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意可得：
A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似．
B．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似．
故答案为：A．
【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
7．（2024·上海期末）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：．
【分析】利用勾股定理求出每条边的长度，再求对应边的相似比即可．
【详解】证明：由图知：，，，
，，．
，
．
【点评】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可
8．（24-25九年级上·广西·期中）如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：，；
(2)判断与是否相似？并证明你的结论．
【分析】（1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出；
（2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出．
【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，，
由网格得，点G，A，C三点共线
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
由勾股定理得，；
（2）解：∵在中，，，，
∵在中，，，
∴
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
题型三 结合相似性质求角度 / 边长
9．(2023·河南郑州中考) 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB:AD = BC:DE = AC:AE = 2:3，若∠BAC = 60°，则∠DAE 的度数为（ B ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
【分析】题目给出△ABC和△ADE的三边对应成比例（AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3），根据SSS相似判定定理，两三角形相似。相似三角形的对应角相等，∠BAC与∠DAE是两边对应成比例的夹角（AB对应AD，AC对应AE），因此是对应角.
【解答】由三边对应成比例（AB:AD=BC:DE=AC:AE=2:3），得△ABC∽△ADE（SSS）。
相似三角形对应角相等，∠BAC与∠DAE是对应角，故∠DAE=∠BAC=60°。
【点评】本题考点：相似三角形的SSS判定及对应角相等的性质。
10. (2022·湖北武汉模拟) 如图，已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE = BC:EF = AC:DF = 1:2，若 BC = 3，则 EF 的长为（ B ）
A. 3 B. 6
C. 9 D. 12
【分析】△ABC∽△DEF，且对应边比例为1:2（AB:DE=BC:EF=AC:DF=1:2），根据相似三角形对应边成比例的性质，BC与EF是对应边，可列出比例式求解．
【解答】由相似三角形对应边成比例，得BC:EF=1:2（AB:DE=BC:EF=1:2）。
代入BC=3，得3:EF=1:2，解得EF=6。
答案：B
【分析】本题考点：相似三角形对应边成比例的性质.
11.（2024·浙江温州阶段练习）如图，在Rt中，，是边上一点，且．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【分析】（1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可；
（2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．
【解答】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，30°直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键
题型四 多判定方法综合应用
12.（2024·全国专题练习）如图，D是的边上的一点，，，，求证：．
【分析】先根据，，求出的长，再根据，即可得出结论．
【解答】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵为公共角，
∴．
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）
13.（2024·安徽安庆阶段练习）如图，点在的边上，与相交于点，，．试说明：．
【分析】证明，根据相似三角形的判定方法进行判断即可．
【解答】证明：，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
14．（2025·广东广州三模）如图，点，分别在正方形的边，上，且．求证：．
【分析】先根据正方形的性质得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论，掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点评】题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义
15．如图，在中，，于点D．
(1)求证: ．
(2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ．
【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【解答】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）证明：由(1)可知，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查三角形相似的判定.
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
相似三角形的判定定理3：
（1）文字描述：三边成比例的两个三角形相似
（2）符号语言：若，则
设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性.
1.必做题：随堂练习
2.探究性作业：习题4.7 第5题.
4.4探究三角形相似的条件（第三课时） 1. 三边成比例的两个三角形相似 2.符号语言：若，则 3.与全等的联系：“SSS”全等是 “三边成比例k=1” 的特殊情况

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