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3.切线长定理 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第3章“圆”的第7节。内容包括切线长的定义；切线长定理及其应用。
（二）教学内容解析
本节是在学生学习了圆的切线性质和判定定理之后，对圆的切线性质的进一步深入和拓展。切线长定理揭示了从圆外一点引圆的两条切线之间的数量关系，是解决与圆相关的线段相等、角度相等、三角形全等或相似等问题的重要依据。它在证明线段相等、角相等、垂直关系等方面有着广泛的应用，也是后续学习正多边形与圆等内容的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】切线长定理的理解和应用
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.了解切线长的定义。
2.理解并掌握切线长定理。
3.能运用切线长定理进行简单的计算和证明。
（二）教学目标解析
1.理解切线长的概念和定理；
2.经历探索切线长定理的过程，发展探究意识；
3.通过体会定理的应用，培养学生分析、总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解决问题的能力；
4.通过体验内切圆相关知识解决问题，体会数形结合的数学思想，掌握方程思想解决几何问题的方法。
三、学生学情分析
学生已经学习了圆的基本性质、切线的性质和判定定理，具备了一定的几何知识基础和初步的逻辑推理能力。
九年级学生思维活跃，动手能力较强，对通过实验、观察、猜想然后证明的数学活动形式比较感兴趣。
但在面对复杂几何图形时，如何准确识别图形特征、添加合适的辅助线，以及综合运用多个定理解决问题，对学生来说仍然是一个挑战。
因此，教学中应注重引导学生主动参与，通过直观演示和动手操作降低理解难度，并通过由易到难的例题和练习逐步提升学生的解题能力。
基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】定理的探索过程以及如何构造辅助线利用定理解决几何问题。
四、教学策略分析
1. 情境创设法：通过生活中的实际问题（如测量工件半径）或复习旧知，创设问题情境，激发学生的学习兴趣和求知欲。
2.探究发现法：引导学生通过动手画图、测量、观察、猜想，自主发现切线长定理的内容，再通过逻辑推理进行证明，充分发挥学生的主体作用。
3.合作学习法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生合作交流，共同解决问题，培养学生的合作意识和交流能力。
4.讲练结合法：在定理讲解和证明后，通过例题示范和适量练习，帮助学生巩固所学知识，掌握解题方法，及时反馈学习效果。
五、教学过程分析
（一）复习引入
展示问题：“如何过圆外一点画圆的切线？能画几条？这两条切线有什么关系？” 引发学生思考，自然引出本节课的课题
设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件.
（二）主动参与、感悟新知
探究一：切线长定义
1、提出问题：经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？
板书：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2、剖析定义：
（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）
（2）切线和切线长的定义有何区别？
【议一议】　如图所示,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点.
问题:(1)这个图形是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么
学生分析:这个图形是轴对称图形,它的对称轴是点P,O所在的直线.
问题:(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗
想一想：切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
3、联系：都垂直于过切点的半径。
探究二：切线长定理
如何证明PA=PB？
证明：如图，连接OA ，OB.
∵PA，PB是⊙O的两条切线
∴OA ⊥ AP，OB ⊥ BP。
又∵OA =OB ，OP =OP。
∴Rt△AOP≌Rt△ BOP(HL)
∴PA=PB。
切线长定理 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等。
符号语言表达
∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，
∴ PA=PB 。
设计意图：通过对切线长定理的证明,不但加深了对切线长定理的印象,还进一步掌握了切线的辅助线的做法,一举两得，证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”。培养学生合情推理能力、语言表达能力。
思考：根据Rt△AOP与Rt△BOP全等，我们还可以得到其他一些什么结论？
∠OPA=∠OPB，∠POA=∠POB
切线长定理(拓展)：过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
已知：四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P，图中的线段之间有哪些等量关系？
（1）DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
（2）AB+CD = AD+BC
结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。
性质对比
两组对边和相等：AB+CD = AD+BC
两组对角相等：∠A+∠C=180° ∠B+∠D =180°
例：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝10，BC＝24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径。
解：连接 OD，OE，OF，则 OD = OE = OF，设 OD = r。
在 Rt△ABC 中，AC = 10，BC = 24，
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，
AD = AF，CE = CF。
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形。
∴ CE = CF = r
∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r
∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r
而 AB = 26，∴ 34 – 2r = 26
∴ r = 4，即 ⊙O 的半径为 4。
解法2如图，连接OA，OB，OC，
在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝24，
∴
∵ ⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，
∴ OD⊥AB，OE⊥BC ，OF⊥AC
设⊙O的半径为r，
∵ S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，
∴AC·BC＝AB·r＋BC·r＋AC·r，∴ r＝4，即⊙O的半径为4。
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，BC = 24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是 D，E，F，求⊙O 的半径.
2. 已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm. 过点P画⊙O的两条切线，求这两条切线的切线长.
3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.

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