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14.2.5全等三角形的判定（HL）
教学内容 本节课选自人教版八年级上册第十二章《全等三角形》中的12.2.《全等三角形的判定》的第五，探索的是直角三角形全等的条件，通过探究活动，使学生在实践中学习，是培养学生自主学习，合作交流的好素材，三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段及角相等的主要工具，而探索斜边与直角边长度之比则是以后学习三角函数的基础，因此，这节课有利于学生形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础.
学习目标 1.经历判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理的探究过程，进一步体会验证两个三角形全等的一般方法，发展几何直观和推理能力. 2.掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理和简单应用，进一步发展推理能力.
教学重点与难点 重点：直角三角形“斜边，直角边”定理及其应用. 难点：直角三角形“斜边，直角边”定理的探索和应用.
教学环节 教学活动 学生活动
环节1：情景引入，温故新知 引导语：前面我们研究了三角形全等的判定方法，本节课我们研究一种特殊的三角形——直角三角形的判定方法. 问题1：前面学习的三角形全等的判定方法，对于直角三角形也同样适用，回顾学过的三角形全等的判定方法，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就能全等，分别依据的是哪个判定？ 师生活动：学生先独立思考后，再小组交流.教师指定一组同学展示讨论结果，其他组同学提出建议和补充. 归纳：只需要找到另外两个条件就可以了，也就是满足一边一锐角分别相等（依据是“ASA”或者“AAS”）或两直角边分别相等（依据是SAS）的两个直角三角形是全等的。
环节2：动手探究，提出问题 1.活动：画一画，剪一剪 任务：请画出任意一个直角三角形，使其斜边长为5cm，一条直角边长为3cm. 步骤： a. 画一条线段AB，使AB=3cm（作为 直角边）。 b. 过点A作AB的垂线AM（作另一条直角边所在直线）。 c.以点B为圆心，5cm为半径画弧，与射线AM交于点C。 d. 连接BC，得到 Rt▲ABC。 思考：大家画出的三角形能完全重合吗？（让学生剪下自己画的三角形，与 同伴的比较） 师生活动：学生动手操作，小组讨论，教师引导学生分析。通过观察和比较，学生们会发现大家画出的所有三角形都是完全一样的（全等）。唤醒学生对三角形全等判定的经验，然后继续运用三角形全等条件的探究方法，分析除直角外还需要两个边或角的条件，梳理特殊三角形——直角三角形的判定条件，为探究直角三角形的其他判定方法作铺垫。
环节3：验证猜想，得出定理 1.逻辑验证： 我们可以用已学的知识来证明这个猜想。 已知：如图，在Rt▲ABC和 Rt▲A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B', AC=A'C'. 求证: Rt▲ABC ≌ Rt▲A'B'C'。 证明思路： 根据勾股定理，在Rt▲ABC中，BC2=AB2-AC2.在Rt▲A'B'C'中, B'C'2= A'B'2- A'C'2因为AB=AB'，AC=AC'，所以BC= B'C'. 于是在▲ABC和▲A'B'C'中，有AC=A'C'，BC=B'C',AB=A'B' 根据SSS，可以判定Rt▲ABC≌▲RtA'B'C'。 形成定理： 经过验证，我们的猜想是正确的，它可以作为一条判定定理。 “HL”定理（斜边-直角边定理）：斜边和直角边分别相等的两个三角形全等。 几何语言（这是教学的关键，要求学生熟练掌握）： 在Rt▲ABC和▲RtA'B'C'中，∵∠C=∠C1=90°，AB=A1B1,AC=A1C1（或者BC=B1C1）， ∴Rt▲ABC≌▲RtA'B'C'（HL） 辨析比较和深化理解： 1.“HL”是“SSA”的特例 提出问题：对于一般三角形，“两边及其中一边的对角相等（SSA）”能否判定全等？ 回顾：不能。因为SSA的情况存在“锐角”和“钝角”的歧义，可以画出两种不同形状的三角形。 关键点：在“HL”定理中，这个“角”是直角。由于直角是最大的角，它所对的边是斜边（最大边），因此不存在歧义。所以，“HL”可以看作是“SSA”在直角三角形中成立的特例。 强调：“HL”定理只适用于直角三角形。 2. 判定方法小结 一般三角形全等的判定方法：SSS，SAS, ASA, AAS. 直角三角形全等的判定方法：除了以上四种，还有特有的HL。（口诀助记：有斜边，用HL；无斜边，用四般。） 师生活动：教师让学生充分研读题目和猜想后，思考如何证明两个角相等，确认解决问题的关键是证明两个三角形全等，并进一步思考怎么证明，结合图形可分析得出Rt▲ABC 和Rt▲A'B'C'，验证出猜想，得出定理，具备“斜边、直角边”的条件．学生口述证明过程，教师板书.
环节4：例题讲解，应用新知 例：如图，AC⊥AD，BD⊥AD，垂足分别为C,D,AC=BD，求证BC=AD. 变式：如图，AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证BC=AD. 分析：同上一题一样要证明BC=AD，需要通过证明三角形全等得到，但是，Rt▲ABC和 Rt▲BAD 不存在了，需要构造 Rt▲ABC 和 Rt▲BAD，因此需要连接AB，补全图形，构造全等三角形.学生口述辅助线作法，教师在例题证明过程的基础上补充板书和辅助线。 总结： 1. 知识内容：直角三角形全等的特殊判定方法—HL定理。 2. 思想方法：从一般到特殊的研究方法；通过操作探究、逻辑推理来发现和验证数学结论。 3. 注意事项：牢记“HL”定理的使用前提是直角三角形，条件是斜边和一条直角边对应相等。 师生活动：教师让学生充分研读题目后，思考如何证明两个角相等，确认解决问题的关键是证明两个三角形全等，并进一步思考怎么证明，结合图形可分析得出 Rt▲ABC 和Rt▲A'B'C'。 让学生运用“斜边、直角边”的判定方法证明简单的几何问题，感悟该判定方法的简捷性，培养学生的推理能力. 变式：学生口述辅助线作法，教师在例题证明过程的基础上补充板书和辅助线。师生通过两个图的比较，学会构造全等三角形，挖掘图中隐藏的条件，并能将其补充完整.
作业设计 教科书习题14.2第11，12题
板书设计 14.2.5全等三角形的判定（HL） 定理内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 几何语言 理解 只适用于直角三角形 是SSS在直角三角形中的特例 例题
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