资源简介

《1.2 有理数及其大小比较》教学设计
基本信息
课题 1.2 有理数及其大小比较
学科及年级 初中数学·七年级上册
教材版本 人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册
【课时教材分析】
在学生已经学习了正数、0和负数的基础上，本节课进一步系统地引入“有理数”的概念，并借助数轴这一重要工具实现对有理数的直观表示。教材从生活实例出发（如汽车站牌旁树木与标志杆的位置关系），引导学生用正数、0、负数来描述具有相反意义的量，从而自然过渡到数轴的构建。通过规定原点、正方向和单位长度，建立起数与形之间的联系，为后续学习相反数、绝对值以及有理数的大小比较奠定基础。本节内容是整个“有理数”章节的核心起点，既是对小学所学数系的拓展，又是初中学段代数思维发展的关键一环，体现了数形结合思想的初步渗透。
【课时学情分析】
七年级学生刚刚从小学升入初中，虽然已具备一定的正数运算能力和初步的负数感知（如温度、海拔等生活经验），但对“数”的抽象理解仍较为局限，容易将“负数”视为“减法的结果”而非独立的数。此外，学生首次接触“数轴”这一兼具代数与几何特征的工具，可能存在方向感混淆、单位长度不统一、点与数对应不清等问题。同时，他们正处于形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对于“可以写成分数形式的数就是有理数”这类定义性知识的理解需要具体例子支撑。因此，教学中应充分调动生活情境，借助直观图形帮助学生建立正确的数感和空间观念，逐步完成从具体到抽象的认知跃迁。
【课时设计思想】
以“问题驱动—探究发现—归纳建构—应用深化”为主线，围绕“如何用数学语言精确描述位置？”这一核心问题展开。通过创设真实可感的生活情境（马路旁物体位置），激发学生用数表达的需求；引导学生自主探索数轴三要素的必要性，在动手画图过程中体验数学建模的过程；采用小组合作方式辨析有理数分类标准，提升归纳能力；最后回归实际问题（天气预报气温排序），验证并巩固新知。整个设计注重知识的发生发展过程，强调学生主体参与，突出数形结合与分类讨论的思想方法，力求实现知识、能力与素养的协同发展。
【教学目标】
观察现实世界：
能识别生活中具有相反意义的量，并尝试用正数、0、负数进行量化描述。
能在具体情境中提取数学信息，转化为数轴上的点或有理数表示。
思考现实世界：
经历从实际问题抽象出数轴模型的过程，理解其三要素的作用及相互关系。
通过对比不同数的大小关系，体会绝对值的意义及其在比较中的作用。
表达现实世界：
能够准确说出有理数的定义，正确区分整数、分数、正有理数、负有理数等类别。
能规范绘制数轴，并在数轴上标出指定有理数对应的点，实现数与形的双向表达。
【教学重难点】
【教学重点】 掌握有理数的概念，理解整数、分数与有理数的关系；掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能在数轴上准确表示有理数。 【教学难点】 理解“所有可以写成分数形式的数都是有理数”这一本质属性，特别是有限小数和循环小数的分数转化；理解数轴上点与有理数的一一对应关系，尤其是负半轴上点的表示。
【教学课时】
1课时
【教学策略】
采用“情境探究法”激发兴趣，“合作学习法”促进交流，“讲授法”精讲要点，“练习反馈法”巩固技能。以任务为导向，设置层层递进的问题链，引导学生在操作、观察、讨论中主动建构知识体系。
【教学准备】
教师：多媒体课件（含教材图1.2-1至1.2-4）、直尺、彩色粉笔、黑板绘图工具。
学生：练习本、铅笔、直尺、橡皮擦。提前预习教材P7-P9内容。
【教学过程】
教学活动
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、情境导入，引发认知冲突 （1）创设生活情境：
同学们，请看这张图片——这是我们在课本第8页看到的情境图（展示教材图1.2-1）。 一条东西走向的马路上有一个汽车站牌，东边3米处有一棵柳树，7.5米处有一根交通标志杆；西边3米处有一棵槐树，4.8米处有一根电线杆。如果我们只说“柳树在汽车站牌旁边”，这样的描述够准确吗？为什么？
（2）提出核心问题：
怎样才能既简洁又准确地表示这些树和杆子相对于汽车站牌的位置呢？仅仅用“东”“西”还不够，我们还需要什么？距离！那能不能用一个数就把方向和距离都表示出来呢？比如，向东3米记作+3，向西3米记作-3，这样行不行？大家觉得这个想法怎么样？ 1. 观察图片，思考老师的提问。
2. 小组内交流看法：认为“旁边”太模糊，不能确定具体位置。
3. 讨论是否可以用“+”“-”号配合数字表示方向和距离。
4. 表达自己的观点，有的同学表示赞同，有的提出疑问：“负数也能表示位置吗？” 通过贴近生活的实例引发学生对“精确描述位置”的需求，制造认知冲突，激活已有负数知识，自然引出用正负数表示方向与距离的必要性，为数轴的引入做好铺垫。
二、探究建构，形成数轴模型 （1）引导抽象建模：
很好！大家都意识到需要用正负数来区分方向。现在请大家拿出直尺和笔，在纸上试着画一条直线来表示这条马路。我们可以把汽车站牌当作一个基准点，叫做“原点”，用O表示。然后规定一个方向为正方向，比如说从左到右是东，也就是正方向。再规定一段距离作为单位长度，比如1厘米代表1米。那么，柳树在原点右边3个单位长度的地方，就可以用+3来表示；电线杆在原点左边4.8个单位长度的地方，就用-4.8来表示。这就是我们今天要学习的新工具——数轴（板书课题并画出标准数轴）。
（2）明确三要素：
请大家仔细观察我画的这条直线，它和普通的直线有什么不同？对！它有三个特别的规定：第一，有一个起点，叫原点，表示0；第二，有一个箭头指明正方向，通常是向右或向上；第三，有一段固定的长度作为单位长度。这三个就是数轴的“三要素”。缺少任何一个，都不能准确表示所有的有理数。
（3）示范规范作图：
下面老师来完整示范一遍如何画数轴。第一步：画一条水平直线；第二步：在这条直线上任取一点为原点O，并标上“0”；第三步：在直线右端画上箭头，表示正方向；第四步：在原点右侧适当位置取一点A，使线段OA为1个单位长度；第五步：从原点开始，向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1, 2, 3…；向左同理，依次标上-1, -2, -3…。注意：刻度要均匀，数字要清晰。 1. 动手尝试在纸上画直线表示马路。
2. 跟随教师指令，逐步绘制数轴：
① 画直线；
② 标原点O和“0”；
③ 画正方向箭头；
④ 确定单位长度；
⑤ 向右标正整数，向左标负整数。
3. 对比自己画的图与老师示范的区别，修正错误。 通过“做中学”的方式让学生亲身经历数轴的构建过程，强化对三要素的理解。教师的规范示范有助于学生掌握正确的作图方法，避免常见错误，培养严谨的数学态度。
三、深化理解，认识有理数本质 （1）回顾旧知，分类整理： 我们已经知道正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。现在请大家回忆一下，像0.5、-3.2、 （即0.333…）、 这些数，它们属于哪一类？没错，它们都可以归为分数。但是你们有没有想过，其实整数也可以写成分数的形式？比如2可以写成 ，-3可以写成 ，0可以写成 。所以，整数也属于分数的一种特殊形式。 （2）揭示有理数定义： 既然如此，我们就把所有**可以写成分数形式**的数统称为“有理数”。也就是说，整数、分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数。例如，4.3 = ，-7.5 = ， 。反过来，像π这样的无限不循环小数就不能写成分数，所以不是有理数。 （3）组织合作探究： 现在请各小组完成课本第7页的“练习1”：把下列有理数填入集合：15， ，-5，7，0.5，-80，12，-4.2，2.3。要求：先判断每个数是有理数吗？如果是，属于正有理数还是负有理数？能否进一步判断是否为整数？然后填写集合。 （4）讲解典型例题： 我们一起看例1：指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数：13，4.3， ，8.5%，－30，－12%， ，－7.5，20，－60， 。 首先，我们要明白百分数也是分数，8.5% = ，所以是有理数。接下来逐个分析： 正有理数有：13（整数），4.3（小数），8.5%（百分数）， （分数），20（整数）， （循环小数）； 负有理数有： ，-30，-12%，-7.5，-60； 其中正整数是13和20，负整数是-30和-60。 1. 回忆并回答教师提出的分类问题。 2. 小组合作完成练习1： ① 逐一判断每个数的类型； ② 讨论争议项如-4.2是否为有理数； ③ 填写正有理数集合{15, 7, 0.5, 12, 2.3}，负有理数集合{ , -5, -80, -4.2}。 3. 听教师讲解例1，记录解题思路与规范表述。 4. 提出疑问，如“为什么循环小数能化成分数？” 通过分类活动帮助学生厘清有理数的内涵与外延，突破“整数≠非分数”的认知误区。合作学习增强互动性，促进思维碰撞。例题讲解提供规范示范，强化概念应用能力。
四、实践应用，掌握数轴表示 （1）演示数轴表示： 现在我们回到数轴上来。刚才我们只标了整数，那分数和小数怎么表示呢？比如0.5，它在数轴上应该在哪里？对，就在0和1的正中间。同样，-1.5应该在-1和-2的正中间。我们来看例2：画出数轴，并在数轴上表示下列各数：3，-4，0.5，0， ，-1。 第一步：先画好数轴，三要素齐全；第二步：找到每个数对应的位置：3在原点右3格；-4在原点左4格；0.5在0和1之间中点；0在原点； ，在-2和-3之间中点；-1在原点左1格。最后用实心圆点标出，并写出对应的数。 组织课堂练习： 请大家独立完成课本第10页练习第2题：画出数轴，并在数轴上表示下列各数： ， ， ， ， ， ， 。 特别提醒： 要先化简！ ，所以 。这是一个典型的复合运算题，考验大家的综合能力。 巡视指导纠错： 教师在教室巡视，重点关注以下几点： ① 数轴三要素是否完整？ ② 单位长度是否一致？ ③ 分数和小数的位置是否准确？ ④ 特殊表达式是否先化简再作图？ 对存在问题的学生及时个别辅导，鼓励同桌互查。 1. 观察教师示范，理解小数和分数在数轴上的定位方法。 2. 独立完成练习题： ① 正确画出数轴； ② 准确标出各点位置； ③ 特别注意 ， ， 。 3. 完成后与同桌交换检查，互相指出错误并改正。 4. 代表上台展示作品，接受全班评议。 通过动手操作加深对数轴功能的理解，实现“数”与“形”的有效转换。专项练习涵盖多种数型，提升综合应用能力。同伴互评增强责任感与批判性思维。
五、联系生活，体会数学价值 （1）回归现实情境：
我们再来回顾一开始的马路情境。现在你能用今天学到的知识完整描述每一个物体的位置了吗？柳树：+3；交通标志杆：+7.5；槐树：-3；电线杆：-4.8。完美！这说明数轴不仅能表示抽象的数，还能解决实际问题。
（2）拓展温度类比：
大家还记得温度计吗？它其实就是竖直放置的数轴！0℃是原点，往上是正温度，往下是负温度。我们在电视天气预报里经常看到一周气温变化图，其实那就是在一个虚拟的数轴上描点连线。下节课我们将专门研究如何比较这些有理数的大小。 1. 口答各个物体的数值表示。
2. 联想温度计与数轴的相似性。
3. 预期下一节课的学习内容。 再次呼应导入情境，形成教学闭环，增强学生的成就感。通过温度计类比，拓宽数轴的应用视野，激发持续学习的兴趣。
【作业设计】
基础巩固 下列各数中，哪些是有理数？请把它们填入相应集合： ， ，0， ， ， ， ， ， ， （每两个1之间多一个0） 正有理数集合：{　　　　　　　　} 负有理数集合：{　　　　　　　　} 整数集合：{　　　　　　　　} 2. 画一条数轴，并在上面标出下列各数对应的点： ， ， ， ， ， 二、能力提升 在数轴上，点A表示的数是 ，点B表示的数是 ，点C表示的数是 。请回答： （1）这三个点中，离原点最近的是哪个点？ （2）从点A出发，向右移动5个单位长度到达点D，则点D表示的数是多少？ （3）若点E与点B关于原点对称，则点E表示的数是多少？ 三、拓展延伸 4. 查阅资料，了解中国古代数学家刘徽是如何用“正算赤，负算黑”来表示正负数的？这种表示方法与今天的数轴有何异同？写一篇不少于200字的小短文。
【板书设计】
有理数及其大小比较（第1课时）
一、有理数定义：
　　所有可以写成分数形式的数 → 有理数
　　包括：整数（正、0、负）、分数（正、负）、有限小数、无限循环小数
二、数轴三要素：
　　原点（0） + 正方向（→） + 单位长度
　　↓
　　数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线
三、数轴表示法：
　　 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
　　　←─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────┼─────→
　　　　　　　　　　　　　●　　　●　　　●
　　　　　　　　　　　　-2.5　 -1.5　　0.5
四、核心结论：
　　 数轴上的点 有理数（一一对应）
　　 左边的数 < 右边的数（为下节课铺垫）
【教学反思】
本节课整体达成预期教学目标，学生积极参与探究活动，特别是在绘制数轴和分类有理数环节表现出浓厚兴趣。多数学生能够正确理解数轴的三要素并在其上表示常见有理数，但在处理带绝对值符号的复合表达式（如 ）时仍有部分学生出现未先化简直接作图的错误，反映出符号意识和运算顺序掌握不够牢固。今后需加强此类易错点的专项训练。另外，关于“所有循环小数都能化为分数”这一深层次原理，虽因课时限制未能深入展开，但已有学生提出疑问，显示出较强的求知欲，可在课后兴趣小组中补充讲解。教学中应更加关注个体差异，对基础薄弱学生给予更多一对一指导，确保每位学生都能跟上节奏。

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