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3.6直线和圆的位置关系（第1课时） 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第3章“圆”的第6节。内容包括：直线和圆的三种位置关系：相交、相切、相离，用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的数量关系来判断位置关系
（二）教学内容解析
本节是在学习了点与圆的位置关系后，进一步研究直线与圆的位置关系，是圆的重要性质之一，也是后续学习切线的判定和性质、圆与圆的位置关系的基础，体现了从几何直观到代数分析的转化思想，培养学生的逻辑思维能力。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】直线和圆的三种位置关系；切线的定义和性质.
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1.理解直线和圆的三种位置关系；掌握用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线和圆的位置关系
2.通过观察、操作、归纳等数学活动，经历直线和圆位置关系的探索过程
3.感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣；培养合作交流和探究精神
（二）教学目标解析
学生能准确识别直线和圆的三种位置关系，并能用文字语言和符号语言描述
学生能根据给定条件，计算圆心到直线的距离和圆的半径，并据此判断位置关系
学生能运用所学知识解决简单的实际问题，体会数学的应用价值
三、学生学情分析
已有知识基础：学生已经学习了点与圆的位置关系，对用数量关系判断位置关系有一定的认知，掌握了点到直线的距离的计算方法，具备基本的几何图形识别能力和简单的逻辑推理能力
可能遇到的困难：对“直线和圆相切”的理解可能不够深刻，容易忽略“有且只有一个公共点”的条件，在具体问题中，可能难以准确找到圆心到直线的距离，灵活运用位置关系解决综合性问题时，可能会感到无从下手。基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】 理解圆心到直线的距离与半径的数量关系和直线与圆位置关系的对应性
四、教学策略分析
1. 教学方法
采用“情境引入—探究发现—归纳总结—应用拓展”的教学模式
结合直观演示、小组讨论、讲练结合等方法，引导学生主动参与学习过程
2. 教学手段
利用多媒体课件动态展示直线和圆的位置关系变化，增强教学的直观性
让学生使用直尺、圆规等工具进行动手操作，加深对知识的理解
五、教学过程分析
（一）复习引入
1.点和圆共有几种位置关系？每种位置关系可以用怎样的数量关系来表示？
(
点在圆内
) (
d < r
)设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
(
位置关系 数量关系
) (
点在圆上
) (
d = r
)
(
点在圆外
) (
d > r
)
设计意图：复习回顾，唤醒认知。
（二）主动参与、感悟新知
探究一：直线和圆的位置关系
唐代诗人王维的《使至塞上》中有一句脍炙人口的诗句：大漠孤烟直，长河落日圆.他描写的是塞外浩瀚无边的大漠中，烽火台燃起的一缕长烟，以及横贯其间的黄河上一轮落日浑圆的奇特壮丽的风光.数学起源于生活，如果我们把落日看成一个圆，地平线看成一条直线，那么这一诗句所描写的画面，展现的就正好是直线和圆的一种位置关系，直线和圆的位置关系就是本节课我们要研究的课题.
1、动手实验
（1）作一个圆，把直尺看作直线，上下移动直尺，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了什么变化？
（拍摄学生演示视频）
设计意图：让学生通过动手操作、合作交流、探索发现、思维碰撞能获得对数学最深切的感受，体验创造的快乐，并通过问题情境类比得到直线与圆的三种位置关系.
（2）随着直线的不断靠近，直线和圆的位置关系有几种？你是如何分类的？
总结1：随着直线的不断靠近，直线和圆的位置关系也在变化，由直线全在圆外（即直线上所有的点都在圆外）到直线有一个点在圆上，继续靠近到直线有两个点在圆上.
让学生观察自己所画的图形，引导学生通过公共点个数区分直线与圆的三种位置关系.然后得出：
（1）直线与圆没有交点，称为直线与圆相离.
（2）直线与圆只有一个交点，称为直线与圆相切.
（3）直线与圆有两个交点，称为直线与圆相交.
强调直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.
2. 圆心O到直线l的距离为d，与⊙O的半径为r.
（1）d与r的大小有什么关系？
（2）你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？
（1）直线和圆相交<=> d＜r；（2）直线和圆相切<=> d = r；（3）直线和圆相离<=> d＞r.
总结：直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.
直线与圆的位置关系，可以用圆心到直线的距离与圆的半径数量关系来刻画.
设计意图：巩固判断直线和圆的位置关系的方法，强化用d和r的数量关系来刻画直线
和圆位置关系.
探究二：圆的切线的性质
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,
∴∠BAC=∠BAD=90°.
∴AB⊥CD；
老师引导学生学生可以利用对称性、反证法等不同的方法说理证明.
下面我们来证明这个结论：
反证法
证明：在图中，AB 与 CD 要么垂直， 要么不垂直． 假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作一条直径垂直于 CD、垂足为 M，就OM＜OA，即圆心 O 到直线 CD 的距离小于⊙ O 的半径，因此CD 与⊙ O 相交，这与已知条件“直线 CD 与⊙ O 相切”相冲突，所以 AB 与 CD 垂直．
归纳总结
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言:
∵CD是⊙Ｏ的切线，Ａ是切点，OA是⊙O的半径，
∴CD⊥OA．
添加辅助线方法：
一般连接圆心与切点，作过切点的半径，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
简单地说，就是：见切线，连半径，则垂直。
例1:(教材P90例1)如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2) 以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图，过点C作AB的垂线，垂足为D.
∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，∴cos A＝＝，
∴∠A＝60°，∴CD＝AC·sin A＝4×sin 60°＝2(cm).
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，
∴当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；
当r＝4 cm时，d设计意图：本例题通过直线和圆的位置关系得出数量关系，以及由圆心到直线的距离和半径的数量关系得到它们的位置关系，既巩固了所学知识，又提高了学生解决问题的能力，也规范了答题，体现了数形结合的思想.
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
课本第91页习题3.7知识技能1、2、数学理解3.

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