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2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义
第4章幂函数、指数函数与对数函数章节复习提升
考点01：幂指对函数的概念辨析
【例1】(24-25秋高一上海阶段练习）下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由幂函数的概念和单调性可得选项C正确.
【解析】由幂函数的概念可以排除B、D选项，
而在是减函数，在是增函数，
故答案为：C.
【例2】（23-24高一上七宝中学·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，是幂函数，故错误，
对于B，显然前面系数不为1，故错误，
对于C，显然前面系数不为1，故错误，
对于D，符合指数函数定义，故正确.故选：D
【例3】（22-23高一上位育中学·月考）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.
【例4】(24-25秋高一上海阶段练习）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;
【答案】或1
【分析】根据幂函数的定义可得，解方程即可.
【详解】解：因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
故答案为：或1.
【例5】(24-25秋高一上海阶段练习）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【答案】B
【分析】根据指数函数的知识求得正确答案.
【解析】由指数函数的概念，得且，解得．
故选：B
【例6】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用对数函数的解析式，求出，然后求解函数值即可．
【详解】由对数函数的定义，
可得，
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查对数函数的定义，是基础题．
考点02：求指对幂函数的值或解析式
【例7】(24-25秋高一上海阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义求解即可》
【解析】依题意可得,
所以,
又的图象经过点,
所以,
解得,
所以.
故选：D.
【例8】(24-25秋高一上海阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解.
【解析】由指数函数的图象经过点可得
，解得，
所以，
故选：A
【例9】(24-25秋高一上海阶段练习）已知函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】代入数值，即可求解.
【解析】令，得，则.
故选：A
【例10】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值.
【详解】由条件可知，，得，
所以.
故选：B
考点03：幂指对函数定义域
【例11】（2025·上海松江·二模）已知集合，则 .
【答案】
【分析】化简集合，根据交集运算求解.
【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以，
又，所以.
故答案为：.
【例12】（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为.
故答案为：．
【例13】（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案.
【详解】函数的定义域是，
所以，解得：或.
所以函数的定义域为：.
故答案为：.
【例14】（23-24高一上·山西吕梁·月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，即满足，解得，
所以函数的定义域为，故选：D.
【例15】(24-25秋高一上海阶段练习）幂函数与幂函数（ ）
A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数
【答案】B
【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.
【解析】由题知
，定义域为，单调性递增，值域为，
，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，
所以与值域相同，
故选：B
【例16】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的定义域为，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】由条件可得对都有，然后分、两种情况讨论求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以对都有，
当时成立，
当时有，解得，
综上可得，
故答案为：
考点04：指对幂函数的值域（最值）问题
【例17】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域.
【详解】设幂函数，
代入点可得，即，
可得，
因为，可得，所以该幂函数的值域是.
故答案为：.
【例18】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减，
则，所以函数的值域为.故选：B
【例19】（24-25高一上·上海松江·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．前面三个答案都不对
【答案】C
【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可.
【解析】设，则函数等价于，
因为函数函数在区间上的最小值为－8，
所以能取到，
当时，，
所以，可得，
当时，，
所以，可得，
故选：C
【例20】（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为 ．
【答案】
【解析】；；
时，取最小值时，取最大值67；
的值域为．
故答案为：．
【例21】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 .
【答案】
【分析】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域.
【详解】由，解得，所以的定义域是，
二次函数的开口向下，对称轴为，
所以，
又函数在上单调递增，
所以的值域是.
故答案为：
【例22】（24-25高一上·上海奉贤·期末）．“”是“函数的值域为”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】求出函数的值域为时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解析】，时，，值域是，
若，则（需要函数才存在），函数的值域不可能是，
若，则的最小值是，因此，又，故解得，
综上有，
因此“”是“函数的值域为”的充分不必要条件．
故选：C．
【例23】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过，，三种情况讨论即可.
【详解】，
当时，，存在最大值，不满足值域为，
当，，值域为，满足题意；
当，若的值域为，同时必有，
解得，
综上实数的取值范围是，
故答案为：
考点05：幂指对函数图像
【例24】（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数（，且），则函数图象过定点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定函数，利用指数函数恒过定点求出函数图象过的定点.
【解析】函数中，当，即时，恒成立，
所以函数的图象恒过定点.
故选：C
【例25】（24-25高一上建平中学期末）函数（且）的图象恒过定点，则等于 .
【答案】2
【解析】由，即，得，所以，
所以，
故答案为：2.
【例26】（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
【答案】
【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案.
【详解】令，可得恒成立，
所以函数的图象恒过定点.
故答案为：.
【例27】（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.
【详解】令，可得.
所以定点的坐标为.
故答案为：.
【例28】（24-25高一上·上海黄浦·期末）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知.
故选：B.
【例29】（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】由函数过点，和过点即可得解.
【详解】因为，
所以函数过点，和过点.
所以由图可得③所对应的函数不属于，和中的函数.
故选：C.
【例30】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将点代入函数求出的值，再根据对数函数的图象判断即可.
【详解】因为函数（，且）的图象过点，
所以，解得，
所以，
该函数为偶函数，关于轴对称，且在单调递增，在单调递减，
只有B中图象符合该函数特点，
故选：B
【例31】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意结合对数函数、指数函数单调性以及它们所过的定点即可求解.
【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点，
函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称，
所以单调递增，并过定点，
对比选项可知，只有B选项符合题意.
故选：B.
【例32】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；符合条件的图象是．故选：A．
【例33】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
【例34】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，
结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，故选：C.
【例35】（24-25高一上·复兴高级中学期末）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数的图象关于对称，其定义域为，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可得，要使函数的图象不过第四象限，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
【例36】（23-24高一上·宁夏银川·月考）（多选）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为减函数，且过定点，
故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：A.
【例37】（24-25高一上上海实验学校期末）直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】时，作出函数的图象，如图，此时在时，，而，因此与函数的图象只有一个交点，不合题意；
时，作出函数的图象，如图，此时在时，，因此与函数的图象有两个交点，则，解得．
综上所述，．
故答案为：．
考点06：幂指对函数单调性
【例38】（24-25高一上·河北石家庄·期中）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或，故必要性不成立，
因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件.故选：B
【例39】（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得：在上单调递增，
所以对称轴，所以.
故选：B.
【例40】（23-24高一上·江苏镇江·月考）（多选）关于幂函数，下列结论不正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】B
【解析】对于选项A，因为，所以，
得到的定义域为，所以选项A正确，
对于选项B，由知，所以选项B错误，
对于选项C，任取，且，
则，
因为，所以，，又，
所以，即，所以选项C正确，
对于选项D，因为定义域关于原点对称，又，
所以为奇函数，故选项D正确，故选：B.
【例41】（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知幂函数的图象不经过第二象限，则 ．
【答案】
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意；
当时，，显然其图象经过第二象限，不满足题意；
综上，.
故答案为：.
【例42】（24-25高一上·上海金山 期末）．“幂函数在单调递减”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可．
【解析】若为幂函数，则，解得或，
因当时，在上单调递减，符合题意；
当时，在上单调递增，不合题意.
故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立，
即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件．
故选：B.
【例43】（24-25高一上·上海嘉定期末）若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数为幂函数，可得，求解验证即可.
【解析】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，函数，在上单调递减，符合题意，
当时，函数，在上单调递增，不符合题意.
综上所述：实数的值为.
故选：A.
【例44】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】是增函数，的减区间是，
【例45】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定与的单调性，由复合函数的单调性可求单调递减区间.
【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得：
函数的单调递减区间是.
故选：D.
【例46】（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【解析】令，解得，
令，对称轴为，
则在上单调递增，则在上单调递减，
而在上单调递减，
所以在上单调递减.
故答案为：.
考点07：幂指对函数比较大小问题
【例47】已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小即得.
【解析】，而函数在上单调递增，，因此，
所以.
故选：A
【例48】设，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函函数与，利用指数函数的单调性可比较大小.
【解析】，，，
因为在上单调递增，又，所以，
所以，
又在上单调递减，又，所以，
所以.
故选：D.
【例49】下列判断不正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上是减函数，，故A不正确；
在上是增函数，，故B正确；
在上是增函数，，故C正确；
在上是减函数，，故D正确．故选：A.
【例50】已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对数函数在上为减函数，则，
指数函数在上为减函数，则，即，故.故选：C.
【例51】已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
可得，
因为，所以，
又由，可得，则，即，
所以.故选：A.
考点08：幂指对函数单调性解不等式与方程
【例52】（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，
因此，所以是定义在上的增函数，
又因为，所以，解得，故选：A.
【例53】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.
【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，则为偶函数，所以在上单调递减，
则由不等式可得，平方后整理得，
即，解得，则不等式的解集为.
故答案为：.
【例54】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果.
【详解】因为，且在上单调递增，
所以，解得，
故答案为：.
【例55】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】利用二次不等式的解法和指数函数的单调性可得出原不等式的解集.
【详解】由可得，可得或，
又因为函数为上的增函数，则有或，
故原不等式的解集为.
故答案为：.
【例56】已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【解析】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则由得，解得，即不等式的解集为．
故答案为：
【例57】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 .
【答案】
【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案.
【详解】画出函数，的图像，如图所示：
当时，，根据图像知：当时，
故答案为：.
【例58】（21-22高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 .
【答案】/
【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集.
【详解】
因为经过，
所以时，令，
当时，可得，
所以的解集为.
故答案为：.
【例59】（23-24高一上·广东韶关·月考）求满足下列条件的的取值范围．
(1)；
(2)（，且）．
【答案】(1)；(2)当时，；当时，.
【解析】（1）因为，所以，
又因为在上单调递减，
所以，
所以的取值范围为；
（2）当时，在上单调递减，
因为，所以，即，解得或，
所以的取值范围为；
当时，在上单调递增，
因为，所以，即，解得，
所以的取值范围为；
综上所述，当时，；当时，.
考点09：幂指对函数模型应用
【例60】（2023·上海长宁·统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
【答案】130
【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解.
【详解】因为，，
所以其相应的声强级为.
故答案为：130.
【例61】教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟
【答案】A
【解析】由题意得，当时，，将其代入解析式，解得，
故解析式为，令，解得，
化简得，结合，可得，故选：A
【例62】通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音等级约为，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当声音约为时，则，解得，
当声音约为时，则，解得，
所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为.故选：D.
【例63】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】经过小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：.
只需，即，.
因为函数在R上为减函数，
所以，
故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.
考点10：幂指对函数综合应用
【例64】已知幂函数在上单调递增.
(1)求解析式；
(2)若在上的最小值为，求m的值.
【答案】(1)
(2)或3
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得，进而求解即可；
（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.
【解析】（1）由题意得，，解得，
则.
（2）由，对称轴为，
当时，，则，即；
当时，，
则，即（舍去）或（舍去）；
当时，，则，即.
综上所述，或3.
【例65】已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的最小值为3，求k的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1）由题设，
而，所以；
（2）令，则，开口向上且对称轴为，
当时，在上递增，此时无最值，不满足；
当时，在上递减，在上递增，
所以，可得（正值舍）.
（3）由题意有解，即有解，
对于，当且仅当时取等号，
又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷，
故只需，即.
【例66】（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高一开学考试）设（，），且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)a=2；的定义域为.
(2)在上的最大值为2.
【解析】(1)
（，），且
所以，解得：a=2.
所以的定义域需满足：，解得：，
即函数的定义域为.
(2)
.
任取，令，则，
所以，所以在上单增；
任取，令，则，
所以，所以在上单减.
所以在上单增，在上单减.
所以在上的最大值为.
【例67】已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
（1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
（2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
【答案】（1），或；
（2），取最小值时，取最大值时.
【解析】（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
【例68】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求的最大值，并求出取得最大值时的值；
(3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)最大值为1，此时的值为1；(3)
【解析】（1）函数有意义，
则，解得，
所以函数的定义域为；
（2）函数，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
又函数在定义域上单调递增，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
所以当时，取得最大，
故函数的最大值为1，此时的值为1；
（3）由题意可得，不等式在上恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，可得在上恒成立，
令，
则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数的取值范围为．
【例69】已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若对于恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或．
(3)
【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解，
（2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解，
（3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解.
【解析】（1）因为
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为．
（2）由题得，令，
则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为或．
（3）由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义
第4章幂函数、指数函数与对数函数章节复习提升
考点01：幂指对函数的概念辨析
【例1】(24-25秋高一上海阶段练习）下列函数是幂函数且在是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（23-24高一上七宝中学·月考）给出下列函数，其中是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（22-23高一上位育中学·月考）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】(24-25秋高一上海阶段练习）已知为常数，函数为幂函数，则的值为______;
【例5】(24-25秋高一上海阶段练习）函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．，且
【例6】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）已知对数函数，则 ．
考点02：求指对幂函数的值或解析式
【例7】(24-25秋高一上海阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【例8】(24-25秋高一上海阶段练习）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．4 B．1 C．2 D．
【例9】(24-25秋高一上海阶段练习）已知函数，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【例10】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
考点03：幂指对函数定义域
【例11】（2025·上海松江·二模）已知集合，则 .
【例12】（24-25高三上·上海松江·期末）函数的定义域是 ．
【例13】（2024·上海虹口·一模）函数的定义域是 ．
【例14】（23-24高一上·山西吕梁·月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例15】(24-25秋高一上海阶段练习）幂函数与幂函数（ ）
A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数
【例16】（24-25高一上·上海宝山·期末）函数的定义域为，则实数m的取值范围是 .
考点04：指对幂函数的值域（最值）问题
【例17】（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ．
【例18】（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【例19】（24-25高一上·上海松江·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　）
A．或 B．或
C．或 D．前面三个答案都不对
【例20】（23-24高一上·广东江门·月考）函数在上的值域为 ．
的值域为 .
【例22】（24-25高一上·上海奉贤·期末）．“”是“函数的值域为”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例23】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .
考点05：幂指对函数图像
【例24】（24-25高一上·上海阶段练习）已知函数（，且），则函数图象过定点（ ）
A． B．
C． D．
【例25】（24-25高一上建平中学期末）函数（且）的图象恒过定点，则等于 .
【例26】（2024·上海虹口·一模）设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
【例27】（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
【例28】（24-25高一上·上海黄浦·期末）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． B．
C． D．
【例29】（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【例30】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【例31】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【例32】（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例33】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A．B．C． D．
【例34】（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例35】（24-25高一上·复兴高级中学期末）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ．
【例36】（23-24高一上·宁夏银川·月考）函数的大致图象可能为（ ）
A．B．C． D．
【例37】（24-25高一上上海实验学校期末）直线与函数且的图像有两个公共点，则的取值范围是 .
考点06：幂指对函数单调性
【例38】（24-25高一上·河北石家庄·期中）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例39】（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例40】（23-24高一上·江苏镇江·月考）关于幂函数，下列结论不正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
【例41】（23-24高一上·浙江宁波·月考）已知幂函数的图象不经过第二象限，则 ．
【例42】（24-25高一上·上海金山 期末）．“幂函数在单调递减”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例43】（24-25高一上·上海嘉定期末）若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【例44】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【例45】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【例46】（23-24高一上·福建莆田·期末）函数的单调递减区间是 ．
考点07：幂指对函数比较大小问题
【例47】已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例48】设，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例49】下列判断不正确的有（ ）
A． B． C． D．
【例50】已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例51】已知，设，则（ ）
A． B． C． D．
考点08：幂指对函数单调性解不等式与方程
【例52】（24-25高一上·山东济南·期中）已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例53】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 .
【例54】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 .
【例55】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 .
【例56】已知函数，则不等式的解集为 ．
【例57】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 .
【例58】（21-22高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 .
【例59】（23-24高一上·广东韶关·月考）求满足下列条件的的取值范围．
(1)；
(2)（，且）．
考点09：幂指对函数模型应用
【例60】（2023·上海长宁·统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 .
【例61】教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A．11分钟 B．14分钟 C．16分钟 D．20分钟
【例62】通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音等级约为，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A． B． C． D．
【例63】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（ ）
A． B． C． D．
考点10：幂指对函数综合应用
【例64】已知幂函数在上单调递增.
(1)求解析式；
(2)若在上的最小值为，求m的值.
【例65】已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若的最小值为3，求k的值；
(3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围.
【例66】（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高一开学考试）设（，），且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值.
【例67】已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
（1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
（2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
【例68】已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求的最大值，并求出取得最大值时的值；
(3)设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【例69】已知函数．
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若对于恒成立，求的取值范围．

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