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第23讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
【基础回顾】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
【必备知识】
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α题型一 角及其表示
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【例题精讲】
1．已知sinα＜0，cosα＜0，则的终边一定不在（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【解答】解：∵由题意可得α为第三象限角，
∴可得，k∈Z，
∴可得，k∈Z，
∴的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限．
故选：C．
2．集合{α|k 180°≤α≤k 180°+60°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当k＝2n，n∈Z时，{α|n 360°≤α≤n 360°+60°，k∈Z}，
当k＝2n+1，n∈Z时，α|n 360°+180°≤α≤n 360°+240°，k∈Z}，
所以选项C满足题意．
故选：C．
3．下列说法中正确的个数是（　　）
①终边相同的角一定相等；
②钝角一定是第二象限角；
③第一象限角可能是负角；
④小于90°的角都是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，故错误；
对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，故正确；
对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，故正确；
对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，故错误，
综上，正确的个数是2．
故选：B．
（多选）4．下列说法正确的是（　　）
A．是第二象限角
B．若，则
C．与是终边相同的角
D．函数的最小正周期为
【解答】解：由于是第二象限角，故A正确；
若，则cos（α）＝sinα，故B正确；
由于2π，故与是终边相同的角，故C错误；
函数的最小正周期为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）5．下列说法正确的是（　　）
A．若α是第一象限角，则α是锐角
B．
C．若sinθ＜0，则θ为第三象限角
D．若θ为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
【解答】解：对于A选项，α＝390°，满足是第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于B选项，，故B正确；
对于C选项，若sinθ＜0，则θ为第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上，故C错误；
对于D选项，若θ为第二象限角，则，k∈Z，所以，k∈Z，若k为偶数时，为第一象限角；
若k为奇数时，则，m∈Z，为第三象限角；
综上，为第一象限或第三象限角，故D正确．
故选：BD．
题型二 弧度制及其应用
应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例题精讲】
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
【解答】解：扇形的圆心角为72°，
∵半径等于20cm，
∴扇形的面积为400＝80πcm2，
故选：B．
2．小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形OAB中，，OA＝10cm，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C． D．125πcm2
【解答】解：由已知可得扇形的圆心角α，扇形半径r＝10，
则扇形面积为Scm2．
故选：A．
3．在ΔABC中，AB＝3，，以AB为直径的半圆弧和ΔABC的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设ΔABC外接圆的圆心为O，半径为r，连接OA，OB，
∵AB＝3，，
ΔABC中，由正弦定理得，
所以，即．
在ΔAOB中，由余弦定理得，
又∠AOB∈（0，π），所以，，
弓形的面积为，
以AB为直径的半圆的面积为，
由以AB为直径的半圆的面积减去弓形的面积可得月牙形区域的面积为．
故选：B．
（多选）4．下列结论正确的是（　　）
A．若角α为锐角，则角2α为钝角
B．是第三象限角
C．若角α的终边过点P（﹣4，3），则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
【解答】解：对于A，因为角α为锐角，即，
所以0＜2α＜π，所以角2α是锐角或直角或钝角，故A错误；
对于B，与终边相同是第二象限角，故B错误；
对于C，由题意，
可得，故C正确；
对于D，由题意该扇形的半径为，
可得该扇形面积为，故D正确．
故选：CD．
（多选）5．如图，在扇形AOB中，半径OB＝1，圆心角，P是扇形弧AB上的动点，平行四边形MNPQ内接于扇形，点Q在OA上，点M，N在OB上，记∠BOP＝α．则下列说法正确的是（　　）
A．弧AB的长为
B．扇形OAB的面积为
C．当时，平行四边形MNPQ的面积为
D．平行四边形MNPQ的面积的最大值为
【解答】解：对于A：弧AB的长为，A正确；
对于B：扇形OAB的面积为，B错误；
对于C：过点P，Q作OB的垂线，垂足为F，E，
明显平行四边形MNPQ的面积即为矩形MNEF的面积，因为，所以，，
所以，
则平行四边形MNPQ为，C正确；
对于D：，
所以平行四边形MNPQ为
，其中，
所以，当时，面积取最大值，且最大值为，D正确．
故选：ACD．
题型三 三角函数的概念
1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【例题精讲】
1．已知角α的终边经过点，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为角α的终边经过点，
所以，
所以．
故选：C．
2．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），
∴tanθ2，
则原式，
故选：D．
3．下列命题中，真命题为（　　）
A．若点P（a，2a）（a≠0）为角θ的终边上的一点，则
B．同时满足，的角x有且只有一个
C．如果角α满足，那么角α是第二象限的角
D．的解集为
【解答】解：对A，若P（a，2a）（a≠0）为角a终边上一点，
则r|a|，所以sinθ，
所以当a＞0时，sinθ，当a＜0时，sinθ，所以A错误；
对B，由于三角函数线可知：同时满足，的角x，k∈Z，
所以B错误；
对C，∵，∴，∴角α是第三象限的角，∴C错误；
对D，∵tanx，∴x，k∈Z，∴D正确．
故选：D．
（多选）4．已知角θ的终边经过点，则下列选项正确的是（　　）
A．θ为钝角
B．
C．
D．点（tanθ，sinθ）在第二象限
【解答】解：对于A，根据点位于第二象限，
可知角θ是第二象限角，但θ不一定是钝角，故A项错误；
对于B、C，原点到的距离r，
可得，，可知B项正确，C项错误；
对于D，因为点位于第二象限，所以tanθ＜0且sinθ＞0，
可得（tanθ，sinθ）为第二象限的点，故D项正确．
故选：BD．
（多选）5．已知角θ的终边过（﹣3a，4a）（a≠0），则（　　）
A．角θ为第二象限角
B．tanθ
C．当a＞0时，sin
D．sinθcosθ的值与a的正负有关
【解答】解：由已知可得x＝﹣3a，y＝4a，则r，
所以tan，故B正确；
因为a的符号不确定，所以﹣3a，4a的符号都不确定，故A错误；
当a＞0时，r＝5a，则sin，故C正确；
sin，结果为定值，与a无关，故D错误．
故选：BC．
题型四 三角函数的性质
已知象限判符号：由角所在象限直接判断．已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限．
【例题精讲】
1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（　　）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x轴负半轴角，
又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，
∴θ是第三象限角．
故选：C．
2．已知角α终边上一点P坐标为（1，3），则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得：，
故，
故．
故选：D．
3．已知角α的终边经过点（﹣2，y），将α的终边逆时针旋转45°得到角β，若，则y＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．3
【解答】解：因为角α的终边经过点（﹣2，y），
所以，
因为α的终边逆时针旋转45°得到角β，
所以，解得y＝3．
故选：D．
（多选）4．若cosθ tanθ＜0，则角θ的终边可能落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：因为cosθ tanθ＜0，所以或，
当时，为第三象限角，
当，θ为第四象限角．
故选：CD．
（多选）5．若角α的终边在第四象限，则的值可能为（　　）
A．0 B．4 C．6 D．﹣4
【解答】解：因为角α的终边在第四象限，所以，
所以，即是第二象限角或第四象限角．
当是第四象限角时，；
当是第二象限角时，．
故选：CD．
课时精练
一．单选题（共8小题）
1．﹣1630°的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：因为﹣1630°＝﹣5×360°+170°，
又因为170°为第二象限角，即﹣1630°的终边在第二象限．
故选：B．
2．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，扇形的圆心角，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧长，
所以r＝2，
所以该扇形的面积为．
故选：B．
3．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：由于α、β均为第二象限角，当sinα＞sinβ＞0，整理得sin2α＞sin2β，根据同角三角函数的关系式，所以1﹣cos2α＞1﹣cos2β，
由于cosα＜0，cosβ＜0，故cosα＞cosβ，即充分性成立，
当cosα＞cosβ，且α、β均为第二象限角，所以0＞cosα＞cosβ，故cos2α＜cos2β，
所以1﹣sin2α＜1﹣sin2β，即sin2α＞sin2β，
由于α、β均为第二象限角，所以sinα＞sinβ＞0，故必要性成立，
故“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的充要条件．
故选：C．
4．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意角α的终边经过点，
得角α的终边经过点，|OP|＝1，
根据三角函数的定义得．
故选：C．
5．已知tanθ＝6，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为tanθ＝6，则．
故选：D．
6．已知tanα＝3，则2sin2α+sinαcosα﹣3cos2α的值为（　　）
A． B．18 C． D．15
【答案】A
【解答】解：因为tanα＝3，所以2sin2α+sinαcosα﹣3cos2α
，
故选：A．
7．已知α∈（0，π），，则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由已知得，因为，
所以，
则，
故，
又sinαcosα＜0且α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0，
所以sinα﹣cosα＞0，故．
故选：A．
8．已知，则sinα+cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为，所以，
化简得3（sinα+cosα）2﹣8（sinα+cosα）﹣3＝0，
解得或sinα+cosα＝3（舍去）．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3，﹣4），则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若，且0＜α＜π，则
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由α终边上的点（3，﹣4），知，故A正确；
对于B，取锐角α＝30°，则2α＝60°也是锐角，故B错误；
对于C，设扇形半径为r，根据弧长公式有弧长，则r＝3，
所以扇形面积为，故C正确；
对于D，由题设，即，则，
又0＜α＜π，所以sinα＞0＞cosα，结合，可得，
所以，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．已知，θ∈（0，π），则下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解答】解：根据，两边平方可得sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ，
即1+2sinθcosθ，解得sinθcosθ，故A项正确；
因为θ∈（0，π），且sinθcosθ＜0，所以θ为钝角，sinθ﹣cosθ＞0，
根据（sinθ﹣cosθ）2＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2×（），可得sinθ﹣cosθ，故B项正确；
由，解得，可得tanθ，所以C项不正确；
由，两式相乘可得sin2θ﹣cos2θ，故D项正确．
故选：ABD．
（多选）11．如图，质点P和Q从单位圆O上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动．点P的起始位置坐标为，角速度为1rad/s，点Q的起始位置坐标为（1，0），角速度为2rad/s，则（　　）
A．在1s末，点Q的坐标为（sin2，cos2）
B．在末，点P，Q在单位圆上第一次重合
C．在1s末，扇形POQ的弧长为1
D．在s末，△POQ的面积为
【答案】BCD
【解答】解：由题设，起始位置时，，则ts末质点P的坐标为，质点Q的坐标为（cos2t，sin2t），
对于A，在1s末，Q的坐标为（cos2，sin2），故A错误；
对于B若P，Q重合，则，故，
又t≥0，故，故在末，点P，Q在单位圆上第一次重合，故B正确．
对于C，在1s末，质点P在角的终边上，质点Q在角2的终边上，
则扇形POQ的弧长为，故C正确．
对于D，因△POQ的面积为，
当时，△POQ的面积为，故D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．sintan（）的值为　0　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：sintan（）
＝sin（2π）+cos（4π）﹣tan（﹣6π）
＝sincostan
＝0．
故答案为：0．
13．已知0＜α＜π，且，则tanα＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为0＜α＜π，
可得，
又因为，
所以，
所以2，
可得．
故答案为：．
14．已知，则sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由可得2+2tanα＝tanα﹣1，
即tanα＝﹣3，
所以
，
故答案为：．
四．解答题（共5小题）
15．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1，或x＝2，
∵α是第三象限角，则tanα＞0，
∴tanα＝2，
∴
；
（2）∵，α∈（0，π），
则sinα＞0，cosα＞0，
∴，则，
故，
．
16．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令∠AOC＝α，若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求cos（π﹣β）；
（2）设|BC|＝1，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题知，
所以由三角函数的定义得：，，
所以．
（2）由题意可得|OB|＝|OC|＝|BC|＝1，所以△OBC为等边三角形，
所以
sin∠AOB＝sin（2π﹣β）＝﹣sinβ，
由（1）得，，
所以．
17．如图，扇形OCD中有一个小扇形OAB，已知∠AOB＝150°，AD＝2，．
（1）求的长；
（2）若∠CON＝∠DOM＝15°，求△OMN和扇形OMN的面积之比．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）已知扇形OCD中有一个小扇形OAB，∠AOB＝150°，AD＝2，．
由题意可得，
则，
解得OA＝1，所以．
（2）如图，过点O作OE⊥MN，垂足为E，因为∠AOB＝150°，∠CON＝∠DOM＝15°，则，
由（1）知扇形OMN的半径为3，所以．
在Rt△OME中，，，
所以，所以，则，
故，
则△OMN和扇形OMN的面积之比为．
18．解答下列各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知0＜α＜π，且，求sinα﹣cosα的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为5，解得tanα＝2，
所以；
（2）因为sinα+cosα，
所以（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，
解得2sinαcosα，
又因为0＜α＜π，所以sinα＞0，cosα＜0，
所以sinα﹣cosα＞0，
所以sinα﹣cosα
．
19．已知关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）．
（1）求的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的两根及θ的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）两根为，或．
【解答】解：（1）因为关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ，
所以，
可得；
（2）由于，
可得，
可得，解得；
（3）由（2）可知，，
可得，其两根为，
可得或，
又由于θ∈（﹣2π，0），
可得或．第23讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
【基础回顾】
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，＝tan α(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
【必备知识】
1．象限角
2．轴线角
3．若角α∈，则sin α<α题型一 角及其表示
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【例题精讲】
1．已知sinα＜0，cosα＜0，则的终边一定不在（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
2．集合{α|k 180°≤α≤k 180°+60°，k∈Z}中的角所表示的范围（阴影部分）是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法中正确的个数是（　　）
①终边相同的角一定相等；
②钝角一定是第二象限角；
③第一象限角可能是负角；
④小于90°的角都是锐角．
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）4．下列说法正确的是（　　）
A．是第二象限角
B．若，则
C．与是终边相同的角
D．函数的最小正周期为
（多选）5．下列说法正确的是（　　）
A．若α是第一象限角，则α是锐角
B．
C．若sinθ＜0，则θ为第三象限角
D．若θ为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
题型二 弧度制及其应用
应用弧度制解决问题时应注意
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例题精讲】
1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40π cm2 B．80π cm2 C．40 cm2 D．80 cm2
2．小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形OAB中，，OA＝10cm，则扇形OAB的面积为（　　）
A． B． C． D．125πcm2
3．在ΔABC中，AB＝3，，以AB为直径的半圆弧和ΔABC的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
（多选）4．下列结论正确的是（　　）
A．若角α为锐角，则角2α为钝角
B．是第三象限角
C．若角α的终边过点P（﹣4，3），则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
（多选）5．如图，在扇形AOB中，半径OB＝1，圆心角，P是扇形弧AB上的动点，平行四边形MNPQ内接于扇形，点Q在OA上，点M，N在OB上，记∠BOP＝α．则下列说法正确的是（　　）
A．弧AB的长为
B．扇形OAB的面积为
C．当时，平行四边形MNPQ的面积为
D．平行四边形MNPQ的面积的最大值为
题型三 三角函数的概念
1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
【例题精讲】
1．已知角α的终边经过点，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P（1，2），则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．下列命题中，真命题为（　　）
A．若点P（a，2a）（a≠0）为角θ的终边上的一点，则
B．同时满足，的角x有且只有一个
C．如果角α满足，那么角α是第二象限的角
D．的解集为
（多选）4．已知角θ的终边经过点，则下列选项正确的是（　　）
A．θ为钝角
B．
C．
D．点（tanθ，sinθ）在第二象限
（多选）5．已知角θ的终边过（﹣3a，4a）（a≠0），则（　　）
A．角θ为第二象限角
B．tanθ
C．当a＞0时，sin
D．sinθcosθ的值与a的正负有关
题型四 三角函数的性质
已知象限判符号：由角所在象限直接判断．已知符号定范围：依据符号反向推导角的象限．
【例题精讲】
1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（　　）
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
2．已知角α终边上一点P坐标为（1，3），则（　　）
A． B． C． D．
3．已知角α的终边经过点（﹣2，y），将α的终边逆时针旋转45°得到角β，若，则y＝（　　）
A．﹣2 B． C． D．3
（多选）4．若cosθ tanθ＜0，则角θ的终边可能落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（多选）5．若角α的终边在第四象限，则的值可能为（　　）
A．0 B．4 C．6 D．﹣4
课时精练
一．单选题（共8小题）
1．﹣1630°的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．已知α、β均为第二象限角，则“sinα＞sinβ”是“cosα＞cosβ”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知tanθ＝6，则（　　）
A． B． C． D．
6．已知tanα＝3，则2sin2α+sinαcosα﹣3cos2α的值为（　　）
A． B．18 C． D．15
7．已知α∈（0，π），，则sinα﹣cosα＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则sinα+cosα＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为（3，﹣4），则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若，且0＜α＜π，则
（多选）10．已知，θ∈（0，π），则下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．如图，质点P和Q从单位圆O上同时出发且按逆时针做匀速圆周运动．点P的起始位置坐标为，角速度为1rad/s，点Q的起始位置坐标为（1，0），角速度为2rad/s，则（　　）
A．在1s末，点Q的坐标为（sin2，cos2）
B．在末，点P，Q在单位圆上第一次重合
C．在1s末，扇形POQ的弧长为1
D．在s末，△POQ的面积为
三．填空题（共3小题）
12．sintan（）的值为　　 ．
13．已知0＜α＜π，且，则tanα＝　　 ．
14．已知，则sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α＝ 　　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
16．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，令∠AOC＝α，若角β的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求cos（π﹣β）；
（2）设|BC|＝1，求的值．
17．如图，扇形OCD中有一个小扇形OAB，已知∠AOB＝150°，AD＝2，．
（1）求的长；
（2）若∠CON＝∠DOM＝15°，求△OMN和扇形OMN的面积之比．
18．解答下列各题：
（1）已知，求的值；
（2）已知0＜α＜π，且，求sinα﹣cosα的值．
19．已知关于x的方程的两个根分别为sinθ和cosθ，且θ∈（﹣2π，0）．
（1）求的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的两根及θ的值．

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