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三角函数图像性质类问题之题型归纳（十大题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢 1
实战演练·能力进阶攀高峰 3
题型一、五点作图法 3
题型二、解三角不等式 4
题型三、求三角函数最小正周期 5
题型四、求三角函数值域（最值） 6
题型五、三角函数图像平移/伸缩变换问题 7
题型六、利用图像求解析式或参数问题 8
题型七、求问题（选） 10
题型八、三角函数图像上点构成图形类问题（选） 11
题型九、三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合（解） 12
题型十、三角函数模型与实际问题（解） 14
题型精析 方法突破提能力 16
(
知识网络 核心根基深扎牢
)
知识点1：五点作图法
函数，的图象中，五个关键点是．
函数，的图象中，五个关键点是．
知识点2：正余弦函数周期定义域值域
最小正周期：．
定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
知识点3：正余弦函数图像与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点4：正余弦函数图像伸缩/平移变换
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
(
实战演练 能力进阶攀高峰
)
题型01 五点作图法
五点作图法的解题策略 1.确定五点横坐标：设函数为（或余弦型），令分别取、，解出对应的值，即为五点横坐标。 2.求纵坐标并作图：将横坐标代入函数式，计算出对应纵坐标，得到五个关键点；在坐标系中描出各点，按三角函数图像趋势平滑连接，完成作图。
1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，，， B．0，，，，
C．0，，，， D．0，，，，
2．用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数.
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)写出此函数的单调递增区间.
4．用“五点法”作函数的图象．
列出下表，
0
1 3 7 9
0 2 0 0
根据表中信息：
(1)请求出的值；
(2)请写出表格中对应的值；
(3)作出函数在一个周期内的图象．
题型02 解三角不等式
解三角不等式的解题策略 1.转化为最简三角不等式并求基础解：将不等式化为（或型），结合对应三角函数图像或单位圆，求出一个周期内的基础解集。 2.结合周期扩广解集：根据三角函数周期（周期），在基础解集上加上周期的整数倍，写出最终的通解，注意剔除无定义点。
5．设，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象如图所示，则在区间上的解集是（ ）

A． B． C． D．
7．已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断的单调性（无需证明），并求关于x的不等式的解集．
8．已知函数的图象经过三点，且的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)求不等式的解集.
题型03 求三角函数最小正周期
求三角函数最小正周期的解题策略 1.确定函数最简形式与基本周期：将三角函数化为、或的最简形式，明确基本周期（正弦、余弦为）。 2.计算最小正周期：根据值计算，正弦、余弦型函数最小正周期；若含绝对值等变形，结合图像分析周期，最终确定最小正周期。
9．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的最小正周期为，其中，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
11．化简，并求函数的最小正周期．
12．求函数的最小正周期．
题型04 求三角函数值域（最值）
求三角函数值域（最值）的解题策略 1.化简函数并确定定义域：将三角函数化为等最简形式，明确自变量的取值范围（定义域），结合定义域确定的取值范围（相位范围）。 2.结合三角函数值域求结果：根据正弦、余弦的值域，结合的符号与大小，计算函数的最值；若有定义域限制，结合相位范围分析单调性求值域。
13．已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
14．已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
15．求下列函数的值域.
(1)；
(2).
16．已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域．
题型05 三角函数图像平移/伸缩变换问题
三角函数图像平移/伸缩变换问题的解题策略 1.确定变换顺序与参数：明确原函数（如）与目标函数（如），按“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”定顺序，提取（相位）、（上下移）参数。 2.分步执行变换：按顺序执行变换，平移时“左加右减”（，先伸缩时需除以），伸缩时横缩倍，得到目标图像。
17．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
18．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
19．已知函数的最小正周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式.
20．已知函数．
(1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域．
题型06 利用图像求解析式或参数问题
利用图像求解析式或参数问题的解题策略 1.提取图像关键信息：确定函数类型（正弦/余弦型），从图像中找振幅（最值差一半）、周期（相邻最值/零点间距）、上下移（最值平均值）及特殊点（如零点、顶点）坐标。 2.计算参数并确定解析式：由，将特殊点坐标代入验证后确定解析式。
21．已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
22．已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及其图象的对称中心的坐标；
(2)将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．
24．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)求函数的值域.
题型07 求问题
求问题的解题策略 1.分析图像对称性与关键点：确定函数解析式及周期、对称中心（正弦/余弦型为零点或最值点中点）、对称轴，找出x ,x ,…对应的图像对称关系或相邻关键点间距。 2.利用性质计算求和或函数值：若求和，根据对称中心得x +x =2a（a为对称中心横坐标），分组求和；若求f(和)，先算和的值，结合周期化简后代入解析式求结果。
25．已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ）
A． B． C． D．0
26．已知函数的最小正周期为，若存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
27．已知函数．若，则（ ）
A． B．或
C． D．或
28．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型08 三角函数图像上点构成图形类问题
三角函数图像上点构成图形类问题的解题策略 1.确定关键点坐标与图形类型：根据三角函数解析式或图像，求出构成图形的关键点（如顶点、交点、零点）坐标，明确图形形状（三角形、四边形等）及各顶点对应关系。 2.用几何公式结合三角函数性质求解：根据图形类型选对应公式（如三角形面积用底高公式），结合三角函数周期性、对称性简化计算，代入坐标求出图形的面积、周长等目标量。
29．已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
30．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（ ）
A． B． C． D．
31．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
32．若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
题型09 三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合
三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合问题的解题策略 1.化简函数为最简形式：利用三角恒等变换公式，将函数化为、或的标准形式，明确参数。 2.一分析核心性质：周期性由、正切；奇偶性代入验证，结合判断；单调性解不等式求单调区间；对称性找对称中心和对称轴。 3.结合题干条件关联性质：根据题目要求（如已知单调区间求，已知对称性求，建立性质与参数的关系式，排除不合理解。 4.综合求解并验证：联立关系式求出参数或目标量，代入原函数验证各性质是否符合题意，确保结果准确。
33．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
35．已知函数．
(1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间；
(2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围；
(3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围．
36．已知函数的图象经过点，且的最小值是．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围．
题型10 三角函数模型与实际问题
三角函数模型与实际问题的解题策略 1. 分析实际问题建立模型：梳理问题中的周期性、最值等关键信息（如潮汐、振动等），确定函数类型（正弦/余弦型为主），设解析式为，明确自变量、因变量及实际意义。 2. 提取数据求模型参数：根据问题给出的最值求（平衡位置），由周期求，结合特殊时刻的对应值代入解析式求，确定完整三角函数模型。 3. 代入模型求解实际问题：根据题目需求（如求某时刻的量、量满足条件的时刻），代入模型计算，利用三角函数性质（值域、单调性等）处理，得到数学解。 4. 检验结果并还原实际意义：验证数学解是否符合实际问题的定义域、取值范围等约束条件，剔除不合理解，将最终结果转化为实际问题的答案并说明。
37．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为．
(1)求点转动的频率；
(2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值．
38．主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；
(2)证明：为定值.
39．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.
(1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：）
40．深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：），圆心在水平地面上的射影点为，摩天轮上任意一点在水平地面上的射影点都在直线上．水平地面上有三个观景点、、，如图（2）所示．在三角形中，，，，，，记（单位：）．

(1)在中，求的值；
(2)若摩天轮上任意一点与点连线与水平正方向所成的角为如图（3）所示，点在水平地面上的投影为．
①用表示，，的长；
②因安全因素考虑，观景点与摩天轮上任意一点的之间距离不超过（单位：），求实数的取值范围．
(
题型精析 方法突破提能力
)
1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
2．已知锐角满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的最小正周期为（ ）
A．4 B． C． D．1
4．设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
7．若函数满足如下条件，
①任意，
②存在唯一，
③存在．
则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的图象关于点对称，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（ ）

A． B． C． D．
10．已知函数的图象如图，轴，轴，四边形的面积为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12已知函数．
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集．
13．已知函数的最大值为1.
(1)求实数；
(2)求使成立的的取值集合.
14．求下列函数的周期．
(1)；
(2)．
15．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．
(1)若，求的值域；
(2)求函数的值域．
16．已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴．
(1)求的解析式和单调区间；
(2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围．
17．已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)求方程在区间内的所有实数解的和．
18．已知函数，且对任意，若，则的最小值为.
(1)求和；
(2)求图像与在上的交点个数.
19．直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
20．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？三角函数图像性质类问题之题型归纳（十大题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢 1
实战演练·能力进阶攀高峰 3
题型一、五点作图法 3
题型二、解三角不等式 6
题型三、求三角函数最小正周期 9
题型四、求三角函数值域（最值） 11
题型五、三角函数图像平移/伸缩变换问题 15
题型六、利用图像求解析式或参数问题 18
题型七、求问题（选） 22
题型八、三角函数图像上点构成图形类问题（选） 25
题型九、三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合（解） 28
题型十、三角函数模型与实际问题（解） 34
题型精析 方法突破提能力 40
(
知识网络 核心根基深扎牢
)
知识点1：五点作图法
函数，的图象中，五个关键点是．
函数，的图象中，五个关键点是．
知识点2：正余弦函数周期定义域值域
最小正周期：．
定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．
知识点3：正余弦函数图像与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
知识点4：正余弦函数图像伸缩/平移变换
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，
方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
(
实战演练 能力进阶攀高峰
)
题型01 五点作图法
五点作图法的解题策略 1.确定五点横坐标：设函数为（或余弦型），令分别取、，解出对应的值，即为五点横坐标。 2.求纵坐标并作图：将横坐标代入函数式，计算出对应纵坐标，得到五个关键点；在坐标系中描出各点，按三角函数图像趋势平滑连接，完成作图。
1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，，， B．0，，，，
C．0，，，， D．0，，，，
【答案】D
【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值.
【详解】由“五点法”作图知，令，
解得，即为五个关键点的横坐标.
故选：D．
2．用五点法作的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数五点法作图的基准点的坐标直接可得解.
【详解】分别令，，，，，
解得，，，，，
即五点的横坐标分别为，，，，，
故选：B.
3．已知函数.
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)写出此函数的单调递增区间.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据五点法，列表、描点、连线.
（2）由余弦函数的单调性可得.
【详解】（1）按五个关键点列表如下:
x 0
1 0 0 1
5 3 1 3 5
描点、连线画出图象（如图）.
（2）令，则;
因为函数是增函数，所以当时，函数单调递增，也是单调递增的.
所以，函数的单调递增区间为.
4．用“五点法”作函数的图象．
列出下表，
0
1 3 7 9
0 2 0 0
根据表中信息：
(1)请求出的值；
(2)请写出表格中对应的值；
(3)作出函数在一个周期内的图象．
【答案】(1)；
(2)；
(3)图象见解析.
【分析】（1）（2）根据给定的数表，结合五点法作图求出及.
（3）由数表描出点，进而作出函数图象.
【详解】（1）由表格知，，由，解得，，
所以.
（2）由，得，
当时，，，
所以.
（3）作出一个周期的图象，如图，
题型02 解三角不等式
解三角不等式的解题策略 1.转化为最简三角不等式并求基础解：将不等式化为（或型），结合对应三角函数图像或单位圆，求出一个周期内的基础解集。 2.结合周期扩广解集：根据三角函数周期（周期），在基础解集上加上周期的整数倍，写出最终的通解，注意剔除无定义点。
5．设，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先结合二倍角余弦公式，利用一元二次不等式的解法及余弦函数性质求得的解，再结合二倍角正弦公式及正弦函数性质求得的解，求交集即可得解.
【详解】因为，由，得，
所以（舍）或，所以．
由，得，又，所以，
所以．因为，所以．
所以不等式组的解集为.
故选：C．
6．函数的部分图象如图所示，则在区间上的解集是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图象判断函数的最小正周期，运用余弦型最小正周期公式，结合函数的图象进行求解即可；
速解：得到函数解析式后，运用特例法进行排除即可.
【详解】由图象可知，（为最小正周期），所以，即，
所以，则．又，所以，
所以，又，即，
所以 ，
所以，又，
所以或．
故选：D
速解：
求出后，取，得，排除BC；取，得 ，排除A．
故选：D
7．已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)判断的单调性（无需证明），并求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)单调递增，
【分析】（1）根据求出，再代入验证即可；
（2）利用定义判断函数的单调性，结合奇偶性可得到，再利用余弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，解得，
当时，，
所以，满足是奇函数，
所以；
（2）设，
则，
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为，所以
又为奇函数，所以，
所以，得，
所以，化简得，解得或，
因为，所以，解得，
所以关于x的不等式的解集为.
8．已知函数的图象经过三点，且的最小值为.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知可得周期，求出，再代入点求解即可；
（2）根据余弦函数的性质求出值域即可；
（2）不等式等价于不等式，根据余弦函数的性质可得结果.
【详解】（1）由题意的图象经过三点，且的最小值为，
可得的最小正周期，则，解得.
则，
由，
故，，
又因为，所以.
故.
（2）由于，所以，
故，．
所以函数的值域为．
（3）不等式等价于不等式，即不等式.
令，解得，
故不等式的解集为.
题型03 求三角函数最小正周期
求三角函数最小正周期的解题策略 1.确定函数最简形式与基本周期：将三角函数化为、或的最简形式，明确基本周期（正弦、余弦为）。 2.计算最小正周期：根据值计算，正弦、余弦型函数最小正周期；若含绝对值等变形，结合图像分析周期，最终确定最小正周期。
9．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】借助正弦函数周期性计算即可得.
【详解】最小正周期.
故选：C.
10．已知函数的最小正周期为，其中，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】依题意，，因，则得.
故选：B.
11．化简，并求函数的最小正周期．
【答案】，最小正周期为．
【分析】利用诱导公式和辅助角公式，化简为标准型，再求其最小正周期即可．
【详解】
．
故的最小正周期为．
12．求函数的最小正周期．
【答案】
【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式、辅助角公式化简得，再利用正弦型函数的周期性求解.
【详解】
．
则最小正周期.
题型04 求三角函数值域（最值）
求三角函数值域（最值）的解题策略 1.化简函数并确定定义域：将三角函数化为等最简形式，明确自变量的取值范围（定义域），结合定义域确定的取值范围（相位范围）。 2.结合三角函数值域求结果：根据正弦、余弦的值域，结合的符号与大小，计算函数的最值；若有定义域限制，结合相位范围分析单调性求值域。
13．已知函数，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】C
【分析】利用二倍角的余弦公式变形函数，再由含正弦的二次函数求出最值.
【详解】函数，
而，则时，，当时，.
故选：C
14．已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解.
【详解】由题意，解得，，
所以的最大值为3.
故选：D.
15．求下列函数的值域.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一 分离常数，得，再由三角函数及反比例函数的性质求解即可；
方法二 利用三角函数的有界性，由题意可得，且，再由求解即可；
（2）化简得，令，结合基本不等式及反比例函数的性质求解即可.
【详解】（1）方法一 分离常数法
，
，
，
，
的值域为.
方法二 利用三角函数的有界性
由，得，
所以，
由，
得，
当，即时，不等式无解；
当，即时，解得.
故的值域为.
（2）利用分离参数结合换元求解.
.
令，则.
当时，.
当时，，
由基本不等式可得，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以，
所以或
此时函数的值域为.
故函数的值域为.
16．已知函数的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数图象确定函数最值与周期，再代入点坐标，可得函数解析式；
（2）利用整体代入法可得函数单调区间；
（3）可得在上的值域，再利用换元法结合二次函数性质可得值域.
【详解】（1）由图象可知，
且，即，
又，所以；
所以，
又，
解得，，
又，则，
所以；
（2）令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，
所以函数在上的单调递增区间为和；
（3）当，则，
即
设，
则，，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，
故在上的值域为.
题型05 三角函数图像平移/伸缩变换问题
三角函数图像平移/伸缩变换问题的解题策略 1.确定变换顺序与参数：明确原函数（如）与目标函数（如），按“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”定顺序，提取（相位）、（上下移）参数。 2.分步执行变换：按顺序执行变换，平移时“左加右减”（，先伸缩时需除以），伸缩时横缩倍，得到目标图像。
17．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】A
【分析】先把目标函数变形为与原函数结构相似的形式，再利用三角函数图象平移规律确定平移方向和单位．
【详解】，
由到，需要向右平移个单位，
故选：A．
18．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【分析】根据图像求出正弦型函数，再结合平移的内容判断.
【详解】由题图象知，
所以．所以，
又图象过点，由五点法知，所以，
所以．
故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象．
故答案为：A.
19．已知函数的最小正周期为．
(1)求函数的解析式；
(2)若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，根据最小正周期得到，得到函数解析式；
（2）根据平移变换和伸缩变换的法则得到答案.
【详解】（1）
，
最小正周期为，故，故，
所以；
（2）的图象向左平移个单位长度，得到，
将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数.
20．已知函数．
(1)求函数的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，当时，求函数的值域．
【答案】(1)最小正周期为；振幅为；初相为；对称轴方程为.
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的性质来求解最小正周期、振幅、初相和对称轴方程.
（2）先根据平移规律得到的表达式，再结合的取值范围求解其值域.
【详解】（1）因为，
所以最小正周期为；振幅为；初相为；
对称轴方程为，解得.
（2）由题意知，.
因为，所以，所以.
所以.
故函数的值域为.
题型06 利用图像求解析式或参数问题
利用图像求解析式或参数问题的解题策略 1.提取图像关键信息：确定函数类型（正弦/余弦型），从图像中找振幅（最值差一半）、周期（相邻最值/零点间距）、上下移（最值平均值）及特殊点（如零点、顶点）坐标。 2.计算参数并确定解析式：由，将特殊点坐标代入验证后确定解析式。
21．已知函数，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简，即可根据周期排除AB，根据最高点坐标排除D，即可求解.
【详解】由图可知：图中函数的周期为,
而的周期为，
而选项AB中的函数周期均为,不符合题意，舍去，
对于D, ，
当时，，不符合要求，
对于C, ，
最小正周期为，当时，，符合要求.
故选：C.
22．已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心.
【详解】由，得，，所以，
所以，令，得，
所以当时，，所以是函数的一个对称中心.
故选：B.
23．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式及其图象的对称中心的坐标；
(2)将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】(1)解析式：，对称中心：，.
(2)
【分析】（1）由图可得函数的最值、周期以及已知点，分别建立方程，解得解析式；根据正弦函数的对称中心，利用整体思想，可得答案.
（2）根据函数图象变换，解得函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案.
【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为，最小值为，因为，所以.
又因为，所以周期；据周期公式，可得.
此时，图象过点，
将其代入函数可得，即.
所以，，解得，.
又因为，所以，.因此.
令，，解得，.
所以图象的对称中心的坐标为，.
（2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；
再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到的图象.
当时，则，
由在上单调递增，在上单调递减；
当时，，；
当时，，；
所以在区间上的值域为.
24．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递减区间；
(3)求函数的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图中对称轴与对称中心的差值与周期的关系，先求出，，再代入最高点求，注意范围；
（2）根据正弦函数的性质，整体法求解单调区间即可；
（3）利用两角和的正弦公式，化简出，再求值域即可.
【详解】（1）由图可得，，则，
因为，所以，则，
将点的坐标代入解析式可得，
则，解得，
因为，所以，
则.
（2）令，解得，
所以的单调递减区间为.
（3）
，
所以的值域为.
题型07 求问题
求问题的解题策略 1.分析图像对称性与关键点：确定函数解析式及周期、对称中心（正弦/余弦型为零点或最值点中点）、对称轴，找出x ,x ,…对应的图像对称关系或相邻关键点间距。 2.利用性质计算求和或函数值：若求和，根据对称中心得x +x =2a（a为对称中心横坐标），分组求和；若求f(和)，先算和的值，结合周期化简后代入解析式求结果。
25．已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，当，且时，，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】函数过点，代入求解得到，利用函数的周期性得结合单调性可得，通过整体换元得到函数的对称轴，从而由即可得解.
【详解】函数的图象过点，
则：，解得：，由于：，所以：，
则.
同时的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，
所以：，则：.
函数在上单调，则：，解得：，所以：.
则：.
函数的对称轴方程为：，得.
已知：，且时，则：当时，.
由于，则，
则，
故选：B．
26．已知函数的最小正周期为，若存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简，再由最小正周期求出，即可得到函数解析式，再求出函数的对称轴，结合对称性计算可得.
【详解】因为，
又因为的最小正周期为，所以，解得，
所以，
令，解得，
则函数的对称轴为，
又因为，且，
所以或，
当时， ，
当时，令，可得的最小值为.
故选：A.
27．已知函数．若，则（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性和对称性求解.
【详解】因为，则该函数的最小正周期为，
由可得，
所以，函数的对称轴方程为，
因为，则或，
故选：B.
28．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象的对称性得，再利用诱导公式和二倍角的正弦公式及同角公式求解.
【详解】由，，得，且，
则，，
所以.
故选：C
题型08 三角函数图像上点构成图形类问题
三角函数图像上点构成图形类问题的解题策略 1.确定关键点坐标与图形类型：根据三角函数解析式或图像，求出构成图形的关键点（如顶点、交点、零点）坐标，明确图形形状（三角形、四边形等）及各顶点对应关系。 2.用几何公式结合三角函数性质求解：根据图形类型选对应公式（如三角形面积用底高公式），结合三角函数周期性、对称性简化计算，代入坐标求出图形的面积、周长等目标量。
29．已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】先通过方程求出交点横坐标.接着取相邻三个整数确定三个交点、、.然后求出向量与，利用向量点积坐标运算公式，令算出的值.再根据向量模长公式求出与，最后根据直角三角形面积公式算出面积.
【详解】先求交点，对于，有：，即，解得，.
再确定相邻三个交点，取相邻三个整数，
当时，得到交点. 当时，得到交点. 当时，得到交点.
最后判定直角三角形，已知向量，.
根据向量点积的坐标运算公式：所以.
令，即.解得
所以，同理.
因为该三角形为直角三角形，且两条直角边长度都为.
所以该三角形面积.
故选：D..
30．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果.
【详解】如图，
不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得，
由面积为及对称性知，，进而，
代入结合，得.
故选：B
31．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移规则得出解析式，再由对称性及面积公式即可求解.
【详解】由题可得，其最小正周期为，的最小正周期也为，
如图设，图象相邻的三个交点为，则，
因为，所以，假设，
将代入，可得，所以，
将点代入，可得或，
即或，又，所以.
故选：C
32．若函数的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数图像，结合几何特点，根据函数周期，即可容易求得结果.
【详解】作出函数的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点.
设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P.
根据正弦函数图象的对称性，易知为等腰直角三角形，
且斜边上的高，
所以斜边，则周期.
由，有，所以.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数图象的综合应用，属基础题.
题型09 三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合
三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合问题的解题策略 1.化简函数为最简形式：利用三角恒等变换公式，将函数化为、或的标准形式，明确参数。 2.一分析核心性质：周期性由、正切；奇偶性代入验证，结合判断；单调性解不等式求单调区间；对称性找对称中心和对称轴。 3.结合题干条件关联性质：根据题目要求（如已知单调区间求，已知对称性求，建立性质与参数的关系式，排除不合理解。 4.综合求解并验证：联立关系式求出参数或目标量，代入原函数验证各性质是否符合题意，确保结果准确。
33．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】令，，则,，结合条件可得有4个整数符合题意，可求出的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.
【详解】由函数，
令，可得，，
因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，
解得，即，可得，
即，解得，即③正确；
对于①，当时，，即可得，
显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；
对于②，的最小正周期为，易知，
所以的最小正周期可能是，即②正确；
对于④，当时，；
由可知，
由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；
即可得②③④正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：求解三角函数中的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.
34．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】先分析、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值.
【详解】当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时，
结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：

由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可，
因为图象的对称性，不妨考虑时的情况，
当时，，所以，
当时，，所以或，
结合图象，若成立，则有，所以，
又因为若对任意，都有，
则有，所以，所以，
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.
35．已知函数．
(1)若且的最大值为2，求函数在上的单调递增区间；
(2)若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数m的取值范围；
(3)已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到函数，结合正弦型函数的性质，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，转化为在上有两解，结合正弦函数的性质，即可求解.
（3）由，求得，得到，根据，求得，把任意，总存在唯一确定的，转化为，结合正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数，其中，
因为函数的最大值为2，可得，解得，
所以，
令，可得，
当时，可得，
因为，所以函数在区间上的递增区间为.
（2）解：当时，，
则
，
因为在时有两解，所以在上有两解，
令，可得，
转化为与在上有两个交点，
又由，
结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为.
（3）解：因为，解得，
所以，
因为，可得，所以，
对任意，总存在唯一确定的，
使得成立，所以，
且有且仅有唯一解，
令，则，所以，
所以，解得，所以，即实数的范围为.
36．已知函数的图象经过点，且的最小值是．
(1)求的解析式；
(2)若函数在上有3个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】(1)根据的最小值求解出；
(2)首先根据方程与函数的零点问题求解得或，然后结合三角函数的图像和性质求解出实数的取值范围．
【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则．
又，所以．
因为的图象经过点，所以．
所以，即
又，所以．
故.
（2）令，即，
解得或．
因为，所以，
所以．
因为在上有3个零点，所以方程在上有2个不同的实根，
在上有1个实根或在上有1个实根，
，在上有2个不同的实根，
则
解得或．
故的取值范围为．
题型10 三角函数模型与实际问题
三角函数模型与实际问题的解题策略 1. 分析实际问题建立模型：梳理问题中的周期性、最值等关键信息（如潮汐、振动等），确定函数类型（正弦/余弦型为主），设解析式为，明确自变量、因变量及实际意义。 2. 提取数据求模型参数：根据问题给出的最值求（平衡位置），由周期求，结合特殊时刻的对应值代入解析式求，确定完整三角函数模型。 3. 代入模型求解实际问题：根据题目需求（如求某时刻的量、量满足条件的时刻），代入模型计算，利用三角函数性质（值域、单调性等）处理，得到数学解。 4. 检验结果并还原实际意义：验证数学解是否符合实际问题的定义域、取值范围等约束条件，剔除不合理解，将最终结果转化为实际问题的答案并说明。
37．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一圈可以获得2度电量．设风机叶片端点与地面的距离为（单位：m），若以点离地面最近时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系式为．
(1)求点转动的频率；
(2)若每度电收益0.6元，求该风机工作1小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点距离地面的高度差（单位：m）关于时间的函数解析式，并求高度差的最大值．
【答案】(1)
(2)元
(3)函数解析式为，且的最大值为
【分析】（1）根据频率的意义求解即可；
（2）先求得1秒钟的收益，进而可求1小时的收益；
（3）由题意可得，利用三角恒等变换可求最大值.
【详解】（1）由题意，的周期，
频率；
（2）由（1）知频率，故1秒钟叶片转动圈，
秒钟可获电量0.5度，收益为0.3元，
小时的收益为元；
（3）由题意，
利用，可得：
高度差关于时间的函数解析式为，且的最大值为．
38．主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线 ，其振幅为2，且经过点.
(1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析式；
(2)证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据振幅为2求出A，将点代入解析式即可解得；
（2）由（1），结合诱导公式和两角和差的余弦公式化简即可证明.
【详解】（1）由振幅为2，，可得，，
由噪声声波曲线经过点，得，
而，，
则，则，
又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，
所以.
（2）由（1），
则
，
即为定值0.
39．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒（视为质点）的初始位置到水面的距离为7米.
(1)盛水筒经过秒后到水面的距离为米，求筒车转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)为了把水引到高处，在筒车中心正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：）
【答案】(1)，
(2)秒
【分析】（1）首先以点为原点，建立平面直角坐标系，利用三角函数表示；
（2）由题意转化为，转化为三角不等式问题，即可求解.
【详解】（1）以简车中心为原点，与水面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，
由题知，，
又筒车半径为6，点的纵坐标为3，则，
由题知，，解得，，
故，；
（2）如图，作弦平行且等于盛水槽，则在中，
，，，则，
则距离水面的高度，
盛水筒转到盛水槽的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽，
即当时符合题意，
则，即，解得，
因为，所以盛水筒转一圈的过程中，能把水倒入盛水槽的时间为秒.
40．深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：），圆心在水平地面上的射影点为，摩天轮上任意一点在水平地面上的射影点都在直线上．水平地面上有三个观景点、、，如图（2）所示．在三角形中，，，，，，记（单位：）．

(1)在中，求的值；
(2)若摩天轮上任意一点与点连线与水平正方向所成的角为如图（3）所示，点在水平地面上的投影为．
①用表示，，的长；
②因安全因素考虑，观景点与摩天轮上任意一点的之间距离不超过（单位：），求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①，
，
；
②
【分析】（1）设，，利用余弦定理分别在和中表示出即可计算出，代入计算即可得；
（2）①根据三角函数定义可直接表示出，作于点，利用勾股定理可分别表示出和；②利用辅助角公式可得的最大值为，因此解不等式即可求出实数的取值范围．
【详解】（1）根据题意可设，
易知，且，，可得；
所以在中，，
在中由余弦定理可得，
即可得，解得；
所以，
即的值为；
（2）①由图可知，
作于点，连接；如下图所示：

易知，；
，
所以；
则可得
②根据题意可知恒成立，
所以即可，
由辅助角公式可得，其中；
易知，所以即可；
即，解得；
又，
因此实数的取值范围是.
(
题型精析 方法突破提能力
)
1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
【答案】A
【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可.
【详解】函数的最小正周期为，
用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象，
所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π.
故选：A
2．已知锐角满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可.
【详解】由和差化积公式得，
欲求，则求即可，
因为是锐角，所以，且，
故求即可，解得，
则，当时，，
而，得到，故B正确.
故选：B
3．函数的最小正周期为（ ）
A．4 B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据余弦函数的周期进行求解即可.
【详解】的最小正周期．
故选：A.
4．设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，，结合二次函数性质即可得解.
【详解】由得，．由得，．
于是
，，
故当时，取最小值．
故选：C．
5．若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数向左平移个单位后为，
当时，，
∵单调递增，
所以，即，
可得，
又，∴.
故选：B.
6．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题图得到，令并结合求参数，即可得.
【详解】由题图知，且，则，
不妨令，则，且，
则，可得，
此时，.
经验证，其他取值组合所得最简函数式均为上式.
故选：A
7．若函数满足如下条件，
①任意，
②存在唯一，
③存在．
则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由①得函数周期，结合②可得函数最小正周期，从而可求，再结合函数在给定范围上的单调性、对称性和二倍角的正弦公式可求的值.
【详解】因为， 故，
其中，且，
由①得，故的周期为，
若的最小正周期为，因为，故在的递增区间中，
故在上先增后减再增且，
故此时在上有两个不同的零点，这与②矛盾；
而周期为最小正周期的非零整数倍，故的最小正周期为，故，
故，
令，则图像的对称轴，
故图像在轴右侧的第一条对称轴为直线，
当时，，
又在上单调递增，
而，故在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
因为，故，
故，
故选：C.
8．已知函数的图象关于点对称，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称中心可得，结合最值分析可知当且仅当为y轴右侧的前2个最值点时，取到最小时，结合余弦函数运算求解即可.
【详解】因为的图象关于点对称可得，则，
又因为，则，可知，解得，
故．
令，解得，
可知的最值点为，
又因为的最大值为2，最小值为，且，
可知当且仅当为y轴右侧的前2个最值点时，取到最小时，
令，可得，
所以的最小值为．
故选：B.
9．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由四边形为平行四边形，可得，由可得；将点代入，可得，将代入解析式即可求解.
【详解】由四边形为平行四边形可知，，设，则，
所以，所以，解得，则，
将点代入得，，即，由于点在的增区间上，
所以，，则，，
所以，
故 .
故选：A.
10．已知函数的图象如图，轴，轴，四边形的面积为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的图象和条件，分别求出的值，即得解.
【详解】设函数最小正周期为T，根据函数的部分图象知，，
又，解得，
又，又 ；
综上，．
故选：B．
11．已知函数，在区间上恰有5个零点，在下述四个结论中：①在区间有三个极大值点；②在区间有三个极小值点；③在区间一定单调递增；④的取值范围是．所有正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用正弦函数的性质先计算的范围，结合题意一一判定结论即可.
【详解】由题意知时有，则，
解之得，即④正确；
作出部分图象如下，显然在区间上函数有3个极大值点，但不一定有3个极小值点，即①正确，②错误；
时，
因为，所以，
显然，此时单调递增，即③正确.
故选：C
【点睛】思路点睛：利用整体思想结合正弦函数图象先确定的范围是关键.
12已知函数．
(1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
x 0
1 0
(2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集．
【答案】(1)表格及作图见解析
(2)
【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；
（2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集．
【详解】（1）（1），补全列表如下：
0
x 0
1 0 0
画出在上的图象如图：
（2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象，
再向左平移个单位长度，得的图象．
令，则，
解得，
即的解集为．
13．已知函数的最大值为1.
(1)求实数；
(2)求使成立的的取值集合.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式及辅助角公式对函数的解析式化简，根据函数的最大值为1，可求得实数；
（2）由（1）得，解不等式，求得的范围，进而得到的取值集合.
【详解】（1）由题得
，
所以函数的最大值为，所以，即.
（2）由（1）得，
当时，，
所以，所以.
14．求下列函数的周期．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）（2）根据给定条件，利用正余弦函数周期公式，结合周期函数定义求解.
【详解】（1）由与的最小正周期都是，得的周期为，
，
所以的周期为.
（2）由函数的周期为，函数的周期为，得函数的周期为，
，
所以函数的周期为.
15．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合．
(1)若，求的值域；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据周期性求出的值，即可得到解析式，根据周期性转化为求出的值域即可；
（2）由，结合的值域及二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为函数的图象向左平移个单位长度后与原来的图象重合，
所以，所以，又，所以，
所以，且其最小正周期，
所以在上的值域与的值域相同，
由，则，所以，
所以当时的值域为.
（2）因为，
又，所以，
所以，即函数的值域为.
16．已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴．
(1)求的解析式和单调区间；
(2)保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围．
【答案】(1)，单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据周期性求出，再结合对称轴处的特殊值和的范围，可求出，从而求出解析式，利用整体代换来求单调区间即可；
（2）利用三角函数的伸缩平移变换，可求出的解析式，再利用整体代换和数形结合的思想来求的范围.
【详解】（1）由题设条件知的最小正周期，所以．
又因为，，所以，．
令，得的单调递增区间为，
令，得的单调递减区间为．
（2）由题可知，
所以当时，．
若在区间恰有两个极值点，
则在区间恰有两个极值点，
因此，解得的取值范围是．
17．已知函数（其中）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求与的解析式；
(2)求方程在区间内的所有实数解的和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由函数图象得及周期，即可求，再利用待定系数法求，求出函数的解析式，再根据平移变换写出函数的解析式；
（2）根据已知得，结合及余弦函数的周期性求解，进而求它们的和.
【详解】（1）由图知，函数的周期，所以，
所以，又，
所以，则，所以，
又，所以，所以，
因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
所以；
（2）由题设，则，
由，则，故或或或，
所以或或或，则所有解的和为.
18．已知函数，且对任意，若，则的最小值为.
(1)求和；
(2)求图像与在上的交点个数.
【答案】(1)，
(2)20
【分析】（1）根据求出，不妨令，根据，则的最小值为得到最小值为，故，求出；
（2），恒等变换得到，换元后，等价于，解得或，分两种情况，得到且的共有个，得到答案.
【详解】（1）因为，而，所以；
不妨令，
则
，
当且仅当或时该式取等.
故最小为，此时可取最小值.
而在单调递增，最小为，故不存在比更小的取值，
即不存在比更小的取值，即满足条件的最小值为，
，
且对任意满足的实数的最小值为，故.
（2），不妨令，
则
.
此时，图象与在上的交点个数
等于方程在上的解的个数.
令，则该方程等价于.
化简得，即.
此时，或，
即或.
时，共有这10个取值，
即有10个符合条件的；
时，，
共有这10个取值，即有10个符合条件的；
故满足且的共有个，
即图象与在上的交点个数为20.
19．直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
【答案】(1)
(2)秒．
【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解.
（2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式.
【详解】（1）由题意可知，，
设角是以Ox为始边，为终边的角，
由条件得，
将，代入，得，
∴，∴；
（2）由题意知，即，
∴，．
即，，
∴.
答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒．
20．如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？
【答案】(1)
(2)min
【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果.
【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系，
根据题意可得在 min内转过的角度为，
设为点在时间内转过的角度，所以；
以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为，
因此点的纵坐标为，
所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为，
化简得
（2）当时，
解得，
又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或，
即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m.

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