资源简介

5.1认识二元一次方程组教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 五单元
课题 5.1认识二元一次方程组 课时 1
课标要求 依据 2022 版数学新课标 “数与代数” 领域 “方程与不等式” 主题要求，本节需引导学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解二元一次方程、方程组及其解的概念，发展运算能力与模型思想.通过实际情境抽象等量关系，培养应用意识，注重从直观感知到抽象思维的过渡，渗透数学抽象、逻辑推理的核心素养，为后续学习方程组解法奠定基础，同时落实 “用数学的语言表达现实世界” 的课程目标.
教材分析 本节是第五章 “二元一次方程组” 的开篇，承接七年级一元一次方程知识，是方程体系从 “一元” 到 “多元” 的关键延伸.教材以种植实践、公园购票两个贴近学生生活的情境为载体，遵循 “问题情境 — 建立模型 — 解释应用” 的思路，引导学生逐步抽象出二元一次方程、方程组的概念，既巩固了建模思想，又为后续学习方程组解法、实际应用搭建认知桥梁，体现数学知识的连贯性与应用性，是培养学生抽象思维的重要载体.
学情分析 学生已掌握一元一次方程的概念、解法及应用，具备从实际情境中抽象单一等量关系的初步能力，但受 “单一未知数” 思维定式影响，面对两个未知数时，难以理解其内在关联；对 “方程组的解是多个方程的公共解” 的本质理解存在困难，列方程时易忽略隐含等量关系，需通过具象情境与实例辨析突破认知难点，引导学生实现从 “一元” 到 “二元” 的思维转换.
教学目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，能判断给定式子是否为二元一次方程(组)，能检验一组值是否为方程(组)的解； 2.能从实际情境中抽象出两个独立等量关系，列出二元一次方程(组)，发展模型思想与抽象思维能力； 3.通过小组合作探究，体会数学与生活的紧密联系，增强应用意识，提升合作交流与逻辑表达能力.
教学重点 1.理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的核心概念； 2.能从实际情境中准确抽象等量关系，列出二元一次方程(组).
教学难点 理解二元一次方程组的解是组成方程组的两个方程的公共解，及从实际情境中精准提取两个独立等量关系.
教法与学法分析 教法采用情境教学法、问题驱动法，结合小组合作探究，通过生活实例引导学生抽象概念；学法以自主思考为基础，通过 “观察 — 辨析 — 归纳” 过程理解概念，借助小组讨论突破难点，落实 “教为主导、学为主体”，培养主动探究能力.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 情景引入： 小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植.已知小明栽种的绿植比小颖多2株，如果将小颖栽种的绿植减少1株，将小明栽种的绿植增加1株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的2倍. (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设小明栽种了x株绿植，小颖栽种了y株绿植，由此你能得到怎样的方程？ 解：(1)涉及的量：小明栽种的绿植株数、小颖栽种的绿植株数； 等量关系：①小明栽种的绿植比小颖多2株，即小明栽种的绿植株 数=小颖栽种的绿植株数+2；②将小颖栽种的绿植给小明1株后，小明 的绿植株数是小颖的2倍，即 2(小颖栽种的绿植株数-1)=小明栽种 的绿植株数+1. (2)方程：x=y+2，x+1=2(y-1). 展示 “小明和小颖种植绿植” 情境，提问引导学生识别量与等量关系，指导设未知数列方程. 分析情境中的数量关系，设未知数并列出含两个未知数的方程. 以生活情境切入，激发兴趣，初步感知 “含两个未知数的方程”，为后续概念学习铺垫.
探究活动一： 尝试思考： 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共8人，买门票花了34元.已知每张成人票5元，每张学生票3元. (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ (2)设他们中有成人x人、学生y人，由此你能得到怎样的方程？ 解：(1)情境中的量有：成人人数、学生人数、总人 数、总花费. 等量关系： 成人人数+学生人数＝8人 成人票总价+学生票总价＝21元 (2)设成人有x人，学生有y人，则可得： x+y=8； 5x +3y=34 . 呈现 “小亮一家公园购票” 情境，引导学生提取 “总人数”“总费用” 两个等量关系，尝试列方程. 小组讨论找出两个等量关系，设成人、学生人数为未知数，列出两个方程. 强化从实际情境抽象多个等量关系的能力，为二元一次方程组概念奠定基础.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 观察思考： 在上面两个情境中，我们分别得到方程x-y=2和x+1=2(y-1)，以及x+y=8和5x+3y=34.观察这些方程，它们有什么共同特征？ 提示：可以从未知数的个数、次数方面思考 总结归纳：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. 练习：判断下列方程是不是二元一次方程？ (1)x+y=11；(2)m+1=2；(3)x2+y=5；(4)3x-π=11； (5)-5x=4y+2；(6)7+a=2b+11c；(7)x-=2；(8)4xy+5=0. 解：(1)(5)是二元一次方程，(2)(3)(4)(6)(7)(8)不是二元一次方程. 总结归纳：判断一个方程是否是二元一次方程必须满足以下条件： (1)有且只有两个未知数； (2)含有未知数的项的次数都是1； (3)方程的左右两边都必须是等式. 引导观察前两个情境中的方程，从未知数个数、次数总结共同特征，明确二元一次方程定义，结合练习辨析. 归纳方程特征，通过判断题巩固概念，掌握二元一次方程的判断标准. 通过对比分析抽象概念，提升学生数学抽象能力，明确二元一次方程的核心要素.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 思考交流： 方程x+y=8和5x+3y=34中，x所代表的对象相同吗？y呢？ 分析：两个方程中的x所代表的都是成人人数，y所代表的都是儿童人数，因而x，y必须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34，把它们联立起来，得 总结：二元一次方程组的概念：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组(system of linear equations with two unknowns). 例如，和都是二元一次方程组. 练习：判断下列方程组是不是二元一次方程组，并说明理由. (1)　(2)　(3)　(4) (5) 解：(1)不是.理由：第一个方程含未知数的项xy的次数不是1；(2)不是.理由：第二个方程不是整式方程；(3)不是.理由：方程组中共有3个未知数；(4)是.理由：方程组中共有2个未知数，且两个方程都是一次方程；(5)是.理由：方程组中共有2个未知数，且两个方程都是一次方程. 方法归纳：判断一个方程组是否为二元一次方程组必须满足以下条件： (1)方程组中有且只有两个未知数； (2)方程组中含有未知数的项的次数为1； (3)方程组中每个方程均为整式方程. 探究活动四： 尝试思考： (1)x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x，y的值适合方程x+y=8吗？ 解：这三组x，y的值均适合x+y=8，且还能找到无数多组x，y的值适合x+y=8. (2)x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？ 解：这两组x，y的值均适合5x+3y=34，且还能找到无数多组x，y的值的适合5x+3y=34. 总结　二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. 注意：一般情况下二元一次方程的解的个数有无数多个. 练习：二元一次方程x-3y=1的整数解可能是　　　　. 解：(答案不唯一，合理即可) (3)你能找到一组x，y的值同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？ 解：x=5，y=3既适合方程x+y=8，又适合方程5x+3y=34，也就是说x=5，y=3既是方程x+y=8的一个解，也是方程5x+3y=34的一个解. 总结　二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解. 提问 “购票情境中两个方程的 x、y 意义是否相同”，引导联立方程，总结二元一次方程组定义，结合练习辨析. 引导验证几组值是否满足方程，总结二元一次方程的解的概念；再验证公共解，明确方程组的解的定义. 理解未知数的一致性，尝试联立方程，通过判断题掌握方程组的判断标准. 代入数值验证方程的解，找出同时满足两个方程的公共解，理解 “公共解” 的意义. 理解方程组中 “未知数统一” 的本质，建立二元一次方程组的概念认知. 通过具象的数值验证，突破 “方程组的解是公共解” 的难点，深化对 “解” 的理解.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.以 为解的二元一次方程组是( ) A.　B. C.　D. 2.如果是方程组的解，那么m＝____，n＝ ____. 3.写出一个以为解的二元一次方程为_________________. 4.若方程2x2m+3+3y3n-7＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝____，n＝____. 5.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程x-3y＝1的解？ A. 　　　　　　　　　　B. C.　　　　　 　　　　 D. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.知识： 二元一次方程：含两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程； 二元一次方程组：共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程； 二元一次方程的解是适合该方程的一组未知数的值(无数个)；方程组的解是同时满足所有方程的公共解. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是 (　　) A. B. C. D. 2.下列四组数值中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是 (　　) A. B. C. D. 3.已知3x|m|+(m+1)y=6是关于x，y的二元一次方程，则m的值为 (　　) A.1 B.-1 C.±1 D.2 4.某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4 kg荔枝，每个小箱装3 kg荔枝.该果农现采摘有32 kg荔枝，根据市场销售需求，大、小箱都要装满，则所装的箱数最多为 (　　) A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱 5.若方程2x2m+3+(n+3)y|n|-2=4是关于x，y的二元一次方程，则mn=　　　　. 能力提升： 6.若关于x，y的二元一次方程组的解是则m+n的值为　　　　. 7.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2 kg，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克.设小亮妈妈买了甲种水果x kg，乙种水果y kg，则可列方程组为　 . 8.观察下列方程组：① ②….若第④个方程组满足上述方程组的数字规律，则第④个方程组为　　　　　　. 9.若关于x，y的方程(a-2)x2+3ax+2y=4是二元一次方程，当x=时，求y的值. 拓展迁移： 10.若关于x，y的方程组的一个解为x=-2，求k的值. 11.某电视台在黄金时段2 min广告时间内，计划插播长度为15 s和30 s的两种广告.15 s广告每播一次收费0.7万元，30 s广告每播一次收费1.2万元.若要求每种广告播放不少于2次.请问： (1)两种广告的播放次数有几种安排方式？ (2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
教学反思 本节通过生活情境引入，多数学生能理解二元一次方程(组)的概念，但部分学生对 “公共解” 的本质仍模糊，需后续通过数轴表示解的集合强化认知.情境设计虽贴近生活，但部分学生列方程时仍漏找等量关系，需增加变式情境练习.此外，应多给学生展示列方程思路的机会，及时发现思维误区，后续教学需优化互动环节，提升学生抽象建模的主动性与准确性，更好落实核心素养目标.

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