资源简介

5.1变量与函数(1)--函数的概念
【学习目标】
1．了解常量和变量的意义，掌握函数的定义并会根据问题情景求出函数值．
2．探索分析实例中两个变量之间的数量关系和变化规律，归纳出函数的定义，能根据定义判断两个变量之间的关系是不是函数，并将函数关系用代数式表示出来．
3．在探究的过程中感受抽象、归纳思想，增强模型意识．
【学习重点】观察分析实例中两个变量之间的数量关系，归纳函数的定义.
【学习难点】正确理解函数定义中“唯一”的意义，会判断两个变量之间的关系是不是函数.
【学习过程】
一、情景引入
问题1：某列车在13:25到13:30这个时段从甲地匀速驶往乙地．该时段中涉及哪些量？哪些量不变？哪些量发生变化？这些量之间有怎样的关系？
问题2：用30m长的篱笆靠墙围成一个长方形小兔乐园，在这个过程中有哪些量？哪些量不变？哪些量发生变化？这些量之间有怎样的关系？
问题3：若购买同一品种的橘子，则购买的费用随购买＿＿＿的变化而变化：若购买的数量不变，则购买的费用随购买的＿＿＿的变化而变化；若购买的费用不变，则购买的＿＿＿随购买的单价的变化而变化．
二、新课讲解
1、讨论交流：请你再举出一些类似的实例，并指出其中哪些量是不变的，哪些量是变化的；哪个量的数值确定后，另一个量也随之确定.
2、概念讲解：
在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量(constant)，数值发生变化的量叫作变量(variable).
例如：
问题1中，常量是 ，变量是 ； 随着 的变化而变化，
当 确定时， 也随之确定.
问题2中，常量是 ，变量是 ； 随着 的变化而变化，
当 确定时， 也随之确定.
问题3中，常量是 ，变量是 ； 随着 的变化而变化，
当 确定时， 也随之确定.
注意：常量与变量是相对的.
3、尝试练习：
(1)指出下列各式的常量和变量：
①求余角的计算公式为β＝90°－α；常量是 ；变量是 .
②圆周长C和半径r的关系式为C＝2πr；常量是 ；变量是 .
③三角形的底为a，底上的高为h，面积S＝ah．常量是 ；变量是 .
(2)已知长方形的长为a，宽为b，面积为S，则有关系：S＝ab．
在下面的三种情况中，试说出常量和变量:(1)面积S一定；(2)长a一定；(3)宽b一定．
4、概念讲解：
在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数(function)，x是自变量．对于自变量x的每一个取值，函数y的对应值称为函数值(function value)．
三、例题讲解
1、讲解例1：如果某轮船从甲港以30 n mile/h的速度匀速驶向相距500 n mile的乙港，其与乙港的距离s n mile是航行时间t h的函数吗？用含t 的代数式表示s．
2、探究：某轮船从甲港匀速驶向相距500 n mile的乙港，全程用时t h是速度 v n mile/h的函数吗？如果要在12.5h内到达，那么速度至少要达到多少？
3、练习(书本第139页练习第1题)
1．判断下列变量之间的关系是否为函数关系：
(1) 在平静的湖面上投入一粒石子，激起的圆形波纹的面积S cm2和半径r cm；
(2) 沿倾角为30°的斜坡登山，爬升的高度h m和前进的水平距离lm；
(3)长方形的面积y和长x ．
2．如图是某人在医院体检时心电图的一部分，图上横轴表示时间t s，纵轴表示心脏的心肌在活动中产生的电压U mV，电压是时间的函数吗？为什么？
3．某种蔬菜的售价为每斤3元，判断销售额y元是否是销售数量x斤的函数，并用含 x的代数式表示 y ．
四、课堂小结
五、当堂练习：
1．（2025春 城厢区校级期中）水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．在等式s＝3.14r2中，常量是（　 　）
A．S B．3.14 C．r D．r2
2．（2025春 复兴区期末）在球的体积公式中，下列说法正确的是（　　 ）
A．V、π、R是变量，为常量； B．V、R是变量，π为常量；
C．V、R是变量，为常量； D．V、R是变量，为常量；
3．（2025春 北京期中）下列图象不能表示y为x的函数的是（ 　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 温江区校级期末）某市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于3千米），超过3千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收2元，则出租车费y（元）与行程x（千米）（x＞3）之间的关系式为 　 　 ．
5．（2025春 泾阳县期末）某通信公司开设了两种通讯业务“全球通”和“快捷通”．“全球通”：使用者先交50元租费，然后每通话一分钟付0.4元话费；“快捷通”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为P元，Q元．
（1）请你分别用含x的代数式表示P= ，Q= ；
（2）若某用户一个月内通话时间为120分钟，你认为选择哪种通讯业务更划算？

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