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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第2课时
一、教学目标
1.理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念.
2.了解证明的基本步骤和书写格式.
3.能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
4.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：理解和掌握定理的概念，了解证明(演绎推理)的概念.
难点：了解证明的基本步骤和书写格式，并能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题.
三、教学过程设计
环节一 ：情境导入
情境：观察几副“神奇”的图案，并结合问题思考、回答.
第一幅图：横向的线都是互相平行的吗？
预设答案：这些横向的线都是互相平行的！
第二幅图：你能看到几个黑色的点？
预设答案：其实一个黑色的点都没有！
第三幅图：这两条线段哪条长？
预设答案：其实这两条线段一样长！
因此，判断一个结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够；必须有有根有据的推理过程才能确定.
设计意图：创设情境，激发学生学习的兴趣和求知欲.
环节二 ：探究新知
【交流】
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
这种范式要求学科中每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
如：“对顶角相等”“同角的补角相等”等.
其中“对顶角相等”是从“基本事实”出发，“同角的补角相等”是从“其它真命题”出发.
设计意图：以交流的方式讨论本节要学习的知识，让学生很轻松的浸入学习的状态，从而总结得到定理的概念.
【归纳】
可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
(这里的“真命题”是需要判断的)
【思考】
如何判断命题是真命题呢？
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
设计意图：由上边的定理的概念引出思考，使内容更加连贯，从而引出证明的概念.
【探究】请你试着证明“内错角相等，两直线平行”.
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；②∠1=∠3(对顶角相等)；③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
证明：因为∠1=∠2，(已知)
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
这里的证明过程中存在很多“因为”“所以”，为了书写方便，我们把“因为”简写为“∵”，“∵”读作“因为”；“所以”简写为“∴”，“∴”读作“所以”.
我们把上边的证明过程改写一下就是：
证明：∵∠1=∠2，(已知)
又∵∠1=∠3，(对顶角相等)
∴∠2=∠3.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
设计意图：通过具体实例，让学进一步了解证明，并熟悉证明的过程.
【总结】
证明的一般步骤：
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
(注意数学符号的运用！)
设计意图：总结概括证明的一般步骤，培养学生的总结概括能力和语言表达能力.
环节三： 应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
分析：要证明的是OE⊥OF，只要能得到∠1+∠2=90°即可.
已知：① ∠AOB+∠BOC=180°.
② OE平分∠AOB， 即∠1=∠AOB；
③OF平分∠BOC，即∠2=∠BOC.
(具体分析过程观看课件展示)
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.(角平分线的定义)
又 ∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
例2 已知：如图，直线b∥c，a⊥b.
求证：a⊥c.
分析：关键是得到∠2等于90°.
(具体分析过程观看课件展示)
证明：∵ a⊥b，(已知)
∴∠1=90°. (垂直的定义)
∵b∥c ，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°. (等量代换)
∴ a⊥c. (垂直的定义)
设计意图：通过典型例题的分析和讲解，让学生进一步巩固对证明的认识和理解，并熟练掌握证明的过程.
环节四： 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
1.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B.
求证：∠C=∠2.
证明：∵∠1=∠B，( )
∴AD∥BC.( )
∴∠C=∠2.( )
2.已知：如图，∠1=∠2.
求证：AB∥CD.
证明：∵∠1=∠2，( )
又∵∠2=∠3，( )
∴∠1=∠3.( )
∴AB∥CD.( )
答案：
1.已知 同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
2.已知 对顶角相等 等量代换
同位角相等，两直线平行
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 ：总结归纳
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

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