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4.3多边形和圆的初步认识（教学设计）
1.教学内容
本课时是北师大版七年级上册第四章基本平面图形，第三节多边形和圆的初步认识，内容为多边形及其相关概念及圆和扇形及其相关概念。
2.内容解析
本节初步认识多边形和圆，为后续学习做铺垫。本节内容包括两部分:一部分是多边形及其相关概念，另一部分是圆和扇形及其相关概念。学生在小学阶段对多边形和圆已有所认识，本节立足于小学阶段的学习基
础，引导学生经历概念的抽象过程，并利用概念解决一些简单问题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为从现实世界中抽象出平面图形的过程，在具体的情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形。
（1）经历从现实世界中抽象出多边形、圆的有关概念的过程，发展抽象能力。
（2）结合实例了解多边形、正多边形、圆、扇形。
（3）能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数。
（4）在活动中发展有条理的思考和表达能力。
2.目标解析
（1）多边形和圆是常见的几何图形，也是“图形与几何”领域研究的主要对象，其中正多边形和圆应用广泛，本节初步认识多边形和圆，为后续相关内容的学习奠定基础。
（2）本课时的主要任务是学生在小学对多边形和圆的认识基础上，以现实生活中的大量实例为素材，抽象出多边形和圆，认识多边形的构成要素，以及正多边形、圆和扇形及其相关概念，探究多边形和圆的基本性质并解决一些简单问题。结合实例了解多边形、正多边形、圆、扇形。能根据扇形和圆的关系求扇形圆心角的度数。经历从现实世界中抽象出多边形、圆的有关概念的过程，发展抽象能力。
（3）让学生联系生活中的角，在活动中发展有条理的思考和表达能力，从而提高学习数学的兴趣，关注学生空间观念和抽象能力的形成，感悟用数学眼光观察现实世界的意义，积累数学活动经验。
学生在小学阶段已经对多边形和圆有了感性的认识，但对多边形和圆的概念及其相关性质缺乏较为系统、深刻、抽象的理解。七年级学生的数学思考能力、抽象能力及使用数学语言符号语言表达思维对象和思维结果的能力还未达到一定的水平，事实上，这些也是我们希望让学生在学习活动中能够得到发展的方面。在本章前面几节中，学生学习了线段和角的相关知识，初步具备观察、分析、概括等能力，为多边形和圆的学习奠定了知识基础。由于这些图形在日常生活中比较常见，学生通过情境能从生活中抽象出基本图形。通过观察，学生能理解多边形、正多边形、圆、扇形的相关概念。求圆心角的度数和扇形的面积是学生没有学过的，但思维难度小，学生能通过整体与部分的关系来进行学习。教师要充分挖掘和利用现实生活中与多边形、圆、扇形密切相关的现实背景，激发学生的学习兴趣。
基于以上分析，确立本节课的教学难点为感受图形世界的丰富图形，养成把数学应用于生活实际问题的习惯。
创设情景，引入新课
观察图4-31，你能发现哪些熟悉的平面图形 与同伴进行交流。
（活动方法：学生通过对大量熟悉的平面图形的观察、比较、分析，描述多边形的特征，抽象概括出多边形的概念，这些实物给我们角的印象与线段一样，角也是一种基本的几何图形。）
(设计意图：通过学生熟悉的情境，引入新课，激发学生兴趣，明确本节课学习的内容和方法。)
探究点1　多边形再认识
活动：学生画出看到的多边形，通过分析三角形、四边形、五边形的共同特征，抽象出一般多边形的概念，并结合具体图形认识多边形的边、顶点、对角线等相关概念，从具体到一般，最后解决下面“尝试·思考”的问题。
尝试·思考
问题：请你画出看到的多边形，你能给出多边形的定义吗
追问1:三角形、四边形、五边形的共同特征是什么
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形。
追问2:这些图形是由线段如何组成的
不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形
追问3：你能给出多边形的定义吗？
多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形(我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧)。
追问4：多边形有哪些相关要素？指出下图多边形的各个元素？
多边形的边:组成多边形的各条线段。
多边形的顶点:相邻两条边的公共端点。
多边形的内角:过多边形一个顶点两条边构成的角。
多边形的对角线:连接不相邻两个顶点的线段。
如图 4-32，在多边形ABCDE中，点A，B，C，D，E是多边形的顶点;线段AB，BC，CD，DE，EA是多边形的边;∠EAB，∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEA 是多边形的内角(可简称为多边形的角);AC，AD都是连接不相邻两
个顶点的线段，像这样的线段叫作多边形的对角线。
(设计意图：通过学生熟悉的情境，由特殊到一般抽象出多边形的概念。)
典例分析
例1.如图，将四边形剪去一个角，剩下的部分是几边形？
【分析】根据所剪位置进行讨论，确定剩下部分是几边形。
【详解】过邻边上的两点（不含顶点)剪,如图①，剩下部分是五边形；过一个顶点和另一边上的一个点剪,如图②，剩下部分是四边形；过不相邻的两顶点剪,如图③，剩下部分是三角形。
(设计意图：强化对多边形的认识。)
探究点2　多边形的边数与各个元素之间数量关系
尝试.思考
追问1：n边形有多少个顶点、多少条边？多少个内角
n边形有n个顶点、n条边、n个内角。
追问2：过n边形的每一个顶点有几条对角线 一共有几条对角线
过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n边形有n个顶点，共有条对角线条对角线。
(设计意图：认识多边形的边数与各个元素之间数量关系。)
典例分析
例2.过十边形的一个顶点有多少条对角线？它一共有多少条对角线？
【分析】过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n边形有n个顶点，共有条对角线条对角线。
【详解】过十边形的一个顶点对角线条数是：(条)
过十边形共有对角线条数是：(条).
(设计意图：强化多边形的边数与对角线条数的认识。)
探究点3　正多边形
观察·交流
观察下图的多边形，它们的边、角有什么特点 与同伴进行交流。
追问1：上面的多边形的边有什么特点？角呢？
边都相等；角相等。
追问2：什么样的多边叫正多边形？上图中的多边形叫什么？
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。上图分别是正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形。
追问3:现实生活中有许多正多边形的实例，你能举出例子吗
略
(设计意图：由特殊到一般认识正多边形。)
典例分析
例3：如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为(　　)
A.34cm　　B.32cm　　　C.30cm　　　D.28cm
【分析】正三角形和正六边形的边长分别相等。
【详解】正三角形和正六边形的边长分别相等，得到正六边形木板的边长为正三角形边长的，所以正六边形木板的边长为（cm），故选Ｃ。
(设计意图：强化对正多边形的认识。)
探究4　圆再认识
下图中的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗 你能用一根细绳和笔画出一个圆吗
追问1:结合刚才的操作，你能给圆下个定义吗
如图，平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点0称为圆心，线段OA 称为半径。
　　　　　　
追问2：圆的相关要素有哪些？
圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧;由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB所组成的图形叫作扇形;顶点在圆心的角叫作圆心角。
(设计意图：认识圆与弧相关概念。)
典例分析
例4.将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。
【分析】一个周角为360 ，按圆心角的度数比求出这三个扇形的圆心角的度数。
【详解】解:因为一个周角为360 ，所以分成的三个扇形的圆心角分别是：
，，.
(设计意图：强化扇形的圆心角的求法。)
1.阅读材料:多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形,图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形，请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形.
【详解】图2分别将六边形分割成了4个、5个、6个小三角形；把这一结论推广至n边形时，割成了（n－2）个、(n 1)个、n个小三角形。具体如下：
在六边形的一个顶点处，连接该顶点与六边形的其他3个顶点，可将六边形分割成4个小三角形。在六边形的一条边上取一点（非顶点），连接该点与六边形的其他4个顶点，可将六边形分割成5个小三角形。在六边形的内部取一点，连接该点与六边形的6个顶点，可将六边形分割成6个小三角形。
推广至n边形时，结论如下：
若点取在n边形的一个顶点处，连接该顶点与n边形的其他n 3个顶点，可将n边形分割成(n－2)个小三角形。若点取在n边形的一条边上（非顶点），连接该点与n边形的其他n 2个顶点，可将n边形分割成(n 1)个小三角形。若点取在n边形的内部，连接该点与n边形的n个顶点，可将n边形分割成n个小三角形。
2.如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，求阴影部分的面积(结果保留π).
【详解】设大圆的半径为，小圆的半径为，则阴影部分的面积为；
因为圆环的面积是8，所以，所以。
(设计意图：强化对“三线”的认识)
课本课堂练习
1现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例。
2.如图，将一个圆分割成三个扇形，求这三个扇形的圆心角的度数。
答案：1.略。2.∠BOC=180°，∠AOB=72°,∠A0C=108°。
(设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略)
1.（2024－2025上，金安期末）过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成4个三角形的是(　　　　)
A.四边形　　B.五边形　　　C.六边形　　　D.七边形
【详解】过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成（n－2）个三角形，所以n－2＝4，
即n＝6.
2.（2024－2025上，南京期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆，有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地，老鼠见猫沿着大半圆行走它不敢与猫同行(怕被猫吃掉)，就沿着4个小半圆行走，假设猫和老鼠行走的速度相同，那么______先到达B地
【详解】根据圆的周长公式，猫和老鼠走的路程一样长，同时到达。
3.（2024－2025上，淮安期末）画出下面各图中多边形的所有对角线.
【详解】分别将三个图形中的与每个顶点不相邻的顶点连接起来，如图所示，即为所求:
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
1.多边形:由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形(我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧)。多边形的边:组成多边形的各条线段。多边形的顶点:相邻两条边的公共端点。多边形的内角:过多边形一个顶点两条边构成的角。多边形的对角线:连接不相邻两个顶点的线段。
2.过n边形的每一个顶点和其余的（n－3）个顶点之间都构成一条对角线，有（n－3）条对角线；n边形有n个顶点，共有条对角线条对角线
3.各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形。
4.平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点0称为圆心，线段OA 称为半径。
5.圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧;由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径 OA，OB所组成的图形叫作扇形;顶点在圆心的角叫作圆心角。
（设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性）
必做题：习题4.3第1、2题.
探究性作业：习题4.3第3题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 4.3多边形和圆的初步认识 探究点1　多边形再认识 探究点2　多边形的各个元素之间 探究点3　正多边形 探究4　圆再认识 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演

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