资源简介

1.1 探索勾股定理（第1课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版《义务教育教科书 数学》八年级上册（以下统称“教材”）第一章“勾股定理”1.1 探索勾股定理（第1课时），内容包括：通过观察、计算、猜想、验证等活动，探索直角三角形三边之间的数量关系——勾股定理，并初步运用定理解决简单问题．
2.内容解析
勾股定理是平面几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的本质数量关系，是解直角三角形、三角函数、两点间距离公式等后续知识的重要基础，在数学、物理、工程等领域有极其广泛的应用.
3.数学思想方法
·数形结合：将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密联系起来。
·从特殊到一般：从等腰直角三角形入手，再推广到一般直角三角形。
·归纳猜想：通过观察具体实例的数据，归纳出一般性结论。
·演绎验证：通过面积割补法（拼图法）对猜想进行逻辑证明。
根据以上分析，确定本节课的教学重点：探索勾股定理的过程，理解并掌握勾股定理的内容，在直角三角形中运用勾股定理求第三边。
1.教学目标
（1）经历探索勾股定理的过程，了解勾股定理的不同验证方法，理解勾股定理内容并会初步运用勾股定理进行简单的计算；
（2）通过观察方格图、计算面积、动手拼图等活动，将几何图形（正方形面积）与代数运算（平方和）紧密联系起来，体会数形结合、从特殊到一般等的数学思想方法，发展动手操作能力和合情推理能力，形成勾股定理解直角三角形的数学应用意识．
（3）经历“观察现象→提出猜想→实验验证→归纳结论→应用定理”的数学发现过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，初步形成勾股定理解直角三角形的数学模型观念．
2.目标解析
（1）学生能积极参与数格子、填表格、拼图等活动，并能清晰表述探索步骤和发现的关系。“理解定理”要求能用文字准确描述定理，并能将直角三角形的边正确代入公式进行计算.
（2）“发展能力”体现在学生能有效观察图形特征，合理选择计算面积的方法（数格子、分割、补全），并能与小组成员协作完成拼图验证。“体会思想方法”体现在学生能在教师引导下认识到探索过程体现的从特殊到一般、数形结合等策略.
（3）学生在经历定理的探究学习过程（观察现象→提出猜想→实验验证→归纳结论→应用定理）后，意识到勾股定理需要在直角三角形的条件下应用，所以部分学生开始形成由具体情境抽象出用来解决问题的直角三角形的数学模型观念.
·知识与能力基础：学生在学习本节课之前，八年级学生已熟练掌握正方形的面积公式（S=边长 ），具备一定的计算能力和代数式表示能力；具备基本的观察、比较、归纳能力，有初步的合作探究经验：在之前的学习中（如整式运算、图形面积）接触过数形结合思想，这为勾股定理的学习奠定了基础。
·认知特点：对动手操作、直观演示有较高兴趣；抽象逻辑思维正在发展，但仍需具体形象材料的支撑；运用数形结合思想探索复杂定理的经验尚浅。
·潜在困难与教学策略
结合学生的认知特点分析分析在教学过程中学生会遇到以下困难：①从具体数据归纳抽象出符号表达式（a + b = c ）可能存在思维跳跃；②在应用时容易混淆哪条边是斜边。
根据以上分析确定下面的教学策略：①采用“问题情境→活动探究→猜想验证→应用深化”的模式；②从特殊的等腰直角三角形入手降低起点（从特殊到一般的思想方法：从等腰直角三角形入手，再推广到一般直角三角形）；③利用方格纸提供直观支撑，观察具体的数据，归纳出一般性结论；④结合数学史激发兴趣。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：利用数格子和表格从特殊情况入手总结出勾股定理.
1.学习目标
（1）理解并掌握勾股定理的内容，会在直角三角形中运用勾股定理求第三边，形成勾股定理的应用意识；
（2）经历探索勾股定理的过程，了解先猜想后验证的数学定理学习方法和从特殊到一般的数学定理验证方法；
（3）会利用面积法（割补法/拼图法）验证勾股定理，体会数形结合的思想方法，提高推理能力。
（设计意图：让学生知道本节课要做什么，更有利于教学目标的达成）
（教学建议：教师展示学习目标，进行目标解读或学生读一读）
2.情景引入
某大楼不幸发生了火灾，消防队员在消防车上，向受灾的楼层搭建救灾梯，楼层、消防车顶所在水平面和救灾梯组成了一个直角三角形，已知楼与消防车的高度差和楼与消防车的水平距离，如果你们是消防队员，需准备多长的梯子呢？
通过测量楼与消防车的高度差为6m，楼与消防车的水平距离为8m，此时可以转化为纯数学问题：在一个直角三角形中，已知两条直角边的长，求斜边。其实在一个直角三角形中，任意两边确定了就可以求出第三边，这是因为直角三角形三边边长的平方满足一个关系，这一关系就是我们今天要学的勾股定理，接下来我们一起进入今天的学习，求出消防梯长。
(设计意图：构建现实中消防员救火情景，抽象出数学模型,将数学知识与生活实际相联系，激发学生兴趣)
3.温故知新
在学习勾股定理之前，先回顾一下三角形的相关知识：
(1)等腰三角形中的边角关系有哪些？
(2)直角三角形中的边角关系有哪些？
通过以上问题，猜想一下：直角三角形中的边长关系是什么？让我们赶紧进入勾股定理的探索吧！
（设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫）
（教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾直角三角形的相关知识和完全平方公式，有利于学生更好的进行勾股定理的探索和证明）
探究点1　探索勾股定理——探究等腰直角三角形三条边长之间的关系
给出由全等的等腰直角三角形拼成一副图案：
问题1.图案中的两个小正方形的面积和一个大正方形的面积有什么关系？
答：图案中的小正方形是由两个单位三角形组成，大正方形是由四个单位的三角形组成，所以两个小正方形的面积和等于大正方形的面积
※问题2.根据问题1的结论，请你分析等腰直角三角形的三边的边长平方之间的关系？
（提示：设图中等腰直角三角形的直角边长为a,斜边长为c）
答：S1+S2=2a2，S3=c2，2a2=c2，等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
（设计意图：从特殊的等腰直角三角形入手降低起点，采取从特殊到一般的思想方法：从等腰直角三角形入手，分析直角三角形的直角边和斜边的关系）
（教学建议：让学生观察图案中的等腰直角三角形，图形直观，更容易看出其中的面积关系，为后面用数格子的方法得出勾股定理作出铺垫；部分有能力的学生能总结出“等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的结论，并用数学符号表达）
探究点2　探索勾股定理——数格子和表格法归纳勾股定理
拿出准备好的方格纸（每个小方格代表1个单位面积），在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表。看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流。
直角三角形 a A的面积 b B的面积 c C的面积 SA，SB，SC之间的关系
3 3
2 2
2 3
4 3
问题1.分别求出图1中正方形A、B、C的面积
图1：正方形A的面积是 9 ，同理，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 18 .
问题2.用什么方法求出的A、B、C的面积？
A、B：数格子（3×3=9个）；
C：①数格子（不满一格按半格算)；②割：分割成4个等腰直角三角形（S正方形C=4××3×3=18）；
③补：补成一个6×6的大正方形（S正方形C=×6×6=18）
问题3.分别求出图2中的正方形（A、B、C）的面积，并完成表格的第3行
图2：正方形A的面积是 4 ，正方形B的面积是 4 ，正方形C的面积是 8 .
问题3.按照上述方法求出图3和图4中正方形的面积，并在小组内讨论正方形C的面积是怎样得出的？
图3：正方形A的面积是 4 ，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 13 .
图4：正方形A的面积是 16 ，正方形B的面积是 9 ，正方形C的面积是 25 .
例：图3中正方形C的面积的求法
①分割为4个直角三角形和1个小正方形 ②补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 ③将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
问题4.通过以上观察分析，三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？和直角三角形的三边有什么关系？
答：SA + SB = SC ；以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积
直角三角形 a SA b SB SC SA，SB，SC之间的关系
3 9 3 9 18 9+9=18
2 4 2 4 8 4+4=8
2 4 3 9 13 4+9=13
4 16 3 9 25 16+9=25
a2 b2 c2 SA+SB=SC，a2+b2=c2
问题5.如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.
∵2.4=0.8×3，1.6=0.8×2，32×22=13；∴0.82×32+0.82×22=0.82×13
问题6.从上面的分析中，归纳直角三角形三边长度之间存在什么关系？
答：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：a2+b2=c2；
（设计意图：让学生参与数格子、填表格、拼图的过程，总结出勾股定理的内容，从特殊到一般、由具体直观到抽象，更符合学生的认知）
（教学建议：用问题串的方式对学生进行提问，先得出等腰直角三角形的三边关系，再通过数格子验证等腰直角三角形满足直角边的平方等于斜边的平方，继而用数格子的方式发现一般的直角三角形的边长也满足这一关系。对于方格纸中正方形面积的求法，可以让学生进行小组交流，踊跃发言，展示不同的方法。体会数形结合的思想方法，提高推理能力）
归纳定理：勾股定理
通过上面的活动，我们发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
在古代，我们把直角三角形中较短的直角边(弯曲成直角的手臂的上半部分)称为勾，较长的直角边(弯曲成直角的手臂的下半部分)称为股，斜边称为弦.因此这一定理称为勾股定理。
·勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2，即表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2+b2=c2.
（设计意图：得出勾股定理，引入勾股定理的命名历史渊源，渗透数学文化）
例1.应用勾股定理求导入问题中的消防梯的长度
方法点拨：所求梯长为直角三角形的斜边，根据斜边的平方=两直角边的平方和求梯长。
解：因为62+82=100=102，所以建消防梯长10m
（设计意图：应用勾股定理解决情景中的问题，加深学生们对勾股定理的理解，形成勾股定理的应用意识）
例2.求出图中直角三角形第三边的长度.
（1） （2）
解：（1）由勾股定理，得152+x2=172，所以x2=64，所以x=8.
（2）由勾股定理，得x2=32+42+52，所以x2=169，所以x=13.
方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.
求下图中未知边的长度。
（设计意图：勾股定理的简单应用，在直角三角形中，已知任意两边的长，可以代入定理求出第三边.）
（教学建议：①让学生明白，在直角三角形中，已知两边求第三边时，可以使用勾股定理；②在使用勾股定理时，学生先要确定公式中的a、b、c指的是哪条边，正确对公式进行变形，将数据代入公式求值．）
（一）P3随堂练习1、2题
（二）题型总结
题型一.勾股定理与等面积法求三角形一边上的高
例1.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求CD的长.
解：因为∠ACB=90°，AC=3，BC=4，所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.
根据三角形的面积公式，AC·BC=AB·CD，所以CD=.
方法点拨：因为 ，所以 （等面积法），所以CD=，
最后勾股定理求出AB即可解题
变式1.（求等腰三角形的面积）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，所以BD=CD=5，所以AD2=AB2-BD2 =132-52 =144，AD=12，所以S△ABC=BC AD=×10×12=60．
方法点拨：已知等腰三角形三边边长，可以作等腰三角形底边上的高，构造新的直角三角形，根据“三线合一”的性质和勾股定理求高，继而求出三角形的面积.
（设计意图：应用勾股定理解直角三角形.）
（教学建议：提醒学生，若给出直角三角形可直接在直角三角形中应用定理，若题干中没有直角三角形，可以通过辅助线构造直角三角形）
题型二. 应用勾股定理和方程思想求边长
例2.如图，在中，，，垂足为D．已知，．设长为x．
(1)根据勾股定理，得 ．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵长为x，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
解得．
方法点拨：用含x的代数式表示出AC2，根据∠BAC=90°和勾股定理列出等式，转化为方程解决问题。
变式2-1.如图，在中，，点在边上，若，，且，求的长．
【分析】解题关键是根据勾股定理列出方程并求解：设，根据题意可知，，再根据勾股定理可知，代入数值求解后即可计算AB的长．
解：设，
∵，，，
∴，，
再中，，根据勾股定理可知，，
即，
解得，
∴．
变式2-2.如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则 ．

【分析】①运用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形：；②方程思想和勾股定理求AD：设CD或AD为x，在中运用勾股定理，
解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，
在中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案为：5．
（设计意图：将勾股定理解直角三角形与方程结合，综合性较强.）
（教学建议：学生分层探究作答，提醒学生：在运用勾股定理解直角三角形时，若给出的边长数据不够，无法直接运用勾股定理求未知边，可根据条件设某一边为x，再根据勾股定理列方程求解。）
应用勾股定理和方程解折叠问题
例3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合．折痕为，则的长为 ．
【分析】折叠问题(轴对称变换)和勾股定理的综合运用，由折叠得，设，则，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得长，掌握折叠的性质是解题的关键．
解：由折叠得，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
故答案为：．
方法点拨：①翻折前后图形全等，对应边相等；②在直角三角形中应用勾股定理和方程思想列出方程求解。
变式3.如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ．
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质可证得是直角三角形，得到，设，则，利用勾股定理列式计算即可求解．
解：由折叠可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
设，则，
由勾股定理得，即，
解得，
∴．
故答案为：．
（设计意图：将勾股定理解直角三角形与图形得轴对称变换结合，综合性较强.）
（教学建议：难度较大，学生分层探究作答）
1.（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，
使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得.
故答案为：3．
2.（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，
D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在
上的点F处，则 ．
解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
1. 基础必做题：教材P8，习题§1.1 第1、2题；
2. 开放探究题：查找勾股定理的其他证明方法（如总统证法、欧几里得证法）；
3. 实践操作题：用尺规作一个三边长为整数的直角三角形（如5、12、13）。
1.1.1探索勾股定理 一、定理内容： 直角三角形中：两直角边的平方和 = 斜边的平方 若直角边为 a、b，斜边为 c，则 a + b = c 符号表示：Rt△中，直角边为 a、b，斜边为 c，则 a + b = c 二、思想方法：数形结合、从特殊到一般、数格子+面积法

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